Integration

Exercice 1. Primitives - Gammes

Pour chaque fonction, donner une primitive et indiquer un intervalle sur lequel votre réponse est valide :

1. f₁(x) = x−3 2

2. f2(x) = 3x²+ 2x+ 1 3. f₃(x) =−x²+ 1 4. f4(x) =−1

x 5. f5(x) =e^x 6. f6(x) =x− 1

x² 7. f₇(x) =x⁷ 8. f8(x) = 1 x³

9. f9(x) = x⁴+ 1 x²

10. f₁₀(x) = 5x²+x+2 x 11. f11(x) = e^x+ 4

3 12. f12(x) = 2(2x+ 1)³ 13. f13(x) = (3x+ 1)⁻⁵ 14. f14(x) = (−2x+ 1)⁵ 15. f₁₅(x) = 2x+ 1

(x²+x+ 1)⁴

16. f₁₆(x) = 1 x(lnx)² 17. f17(x) =−3√

x x² 18. f₁₈(x) = 2√

x 5x³ 19. f₁₉(x) =√³

x⁴ 20. f20(x) =e^2x 21. f21(x) = 3x²

2√ x³+ 1 22. f₂₂(x) = 2^x

23. f23(x) =e^−x/2 Exercice 2. Intégrales - Gammes Calculer les intégrales suivantes :

1. A= Z 2

1

lnx x dx 2. B =

Z 4 0

√u(u−2√ u) du 3. C=

Z 4 1

(2z−1)e^z2−z dz 4. D=

Z 2 0

3x⁴+ 5x+e^3x dx 5. E=

Z 0 1

(x²+ 1)e^x3+3x dx 6. ∀n∈N, Fn=

Z n 0

tⁿ dt

7. G= Z 1

0

5x 1 +x² dx 8. H =

Z 1 0

5x (1 +x²)² dx 9. ∀n>2, In=

Z 1 0

5t (1 +t²)ⁿ dt 10. J =

Z 2 1

3^u du 11. K =

Z 1 0

(2x−1) exp(x²−x+ 1)dx 12. L=

Z 4 1

e⁻

√x

√x dx

Exercice 3. IPP - Gammes Calculer les intégrales suivantes par intégrations par parties :

A= Z e

1

ln(x) dx B=

Z e

1

xln(x)dx C=

Z e

1

x²ln(x)dx D=

Z e

1

t²(lnt)³ dt(*)

E= Z 5

2

√

3slns ds

F = Z −1

0

(2x²+ 1)e^5x dx(*)

G= Z 1

0

(1 +x) ln(1 +x) dx Pour (*), plusieurs IPP sont nécessaires.

(Pour G, après l’IPP, on pourra utiliser l’égalitéx²+ 2x= (x²+ 2x+ 1)−1) Exercice 4. Changement de variable - Gammes

Calculer les intégrales suivantes à l’aide du changement de variables indiqué :

A= Z 1

0

1

2x+ 1 dx (u= 2x+ 1) B=

Z ¹

5

0

1

1−4x dx (u= 1−4x) C=

Z 1 0

1

(2x+ 1)² dx (u= 2x+ 1) D=

Z ¹

5

0

dx

(1−4x)² (u= 1−4x) E=

Z 1 0

√ x

x²+ 1 dx (u=x²+ 1)

F = Z 1

0

x√

3x+ 1dx (u= 3x+ 1)

G= Z e

1

ln(t)

t dt (x= ln(t)) H=

Z 2 1

3yp

5−2y dy (x= 5−2y)

I = Z 3

0

x 1 +√

x+ 1 dx (t=√ x+ 1)

Plus dur : G=

Z 1 0

1

e^x+ 1 dx (u=e^x) (penser à découper 1

u(u+ 1) en une somme) H=

Z 1 0

(t²+√

t²+ 1)²

√

t²+ 1 t dt (u=p t²+ 1)

Exercice 5. Décomposition en éléments simples - Gammes Calculer les intégrales suivantes :

Pour cela, on cherchera à chaque fois des réelsa, b, c tels que la fraction proposée du type 1

uv (ou 1

uvw) s’écrive comme une somme de fractions plus simples a

u + b v (+c

w).

G= Z 1

2

1

x(x+ 1) dx H= Z 1

0

1

(x+ 1)(x+ 3) dx I =

Z 2 1

1

x(x+ 1)(x+ 2) dx Exercice 6. Découper et/ou changer de variable 1. Soit f la fonction définie sur [0,2] par f(x) =

x si x∈[0,1]

x² si x∈[1,2] . Calculer Z 2

0

f(x) dx.

2. Soita >0.

Montrer que : Z _a

1 a

ln(x)

1 +x² dx= 0 grâce au changement de variable x= 1 t. 3. Soitg: [−1,1]→Rune fonction continue et impaire.

Démontrer que : Z 1

−1

g(x) dx= 0 (Indication : poser t=−x)

Exercice 7. Fonctions définies par une intégrale - Gammes

Pour chacune des fonctions suivantes, donner le domaine de définition, justifier que la fonction estC¹ sur son domaine de définition et expliciter sa dérivée.

a : x7→

Z x 1

ln(t)dt b : x7→

Z x

−2

1 1−t² dt c : x7→

Z x

−3

pt⁴−1dt

d : x7→

Z 1 x

√ t

t³+ 1 dt e : x7→

Z x

1 2

1 t²−t dt

Exercice 8. Dériver des intégrales - Gammes Dériver les fonctions suivantes :

a(x) = Z _x

0

pt²+ 1dt b(x) =

Z 0 x

e^−t2 dt c(x) =

Z 2x 0

1 1 +t² dt

d(x) = Z x²

x

1

1 +t+t² dt e(x) =

Z e^x

−x

p1 +e^−t dt

Exercice 9. Suites définies par une intégrale

Etudier la monotonie des suites suivantes, (ici,n∈N^∗) : a_n=

Z n 0

exp(−t²) dt

bn= Z n

1

ln

1 + 1 x

dx

cn= Z 0

2

yexp(ny) dy dn=

Z 0

−1

zexp(n²z) dz

Exercice 10. IPP et suite

Pour tout(m, n)∈N², on pose : I_m,n = Z 1

0

x^m(1−x)ⁿ dx 1. CalculerI_m,0.

2. Établir une relation entre I_m,n+1 etI_m+1,n; 3. En déduire une expression simple de I_m,n. Exercice 11. Fonction définie par une intégrale

On considère la fonction numériqueΦdéfinie par :Φ(x) = Z _2x

x

√ 1

4 +t⁴ dt 1. CalculerD_Φ et montrer queΦest une fonction impaire (utiliser le changement

de variablesu=−t).

2. Établir, pour toutx∈R+ : x

√

4 + 16x⁴ 6Φ(x)6 x

√

4 +x⁴. En déduire la limite deΦ(x)quand xtend vers +∞.

3. Justifier la dérivabilité deΦsurR et calculerΦ⁰(x).

Exercice 12. Une série exponentielle On pose :∀n∈N, In= 1

n!

Z 1 0

(1−t)ⁿe^t dt 1. CalculerI0 etI1.

2. Montrer que :∀n∈N, 06I_n6 e n!. En déduire lim

n→+∞In.

3. Par une intégration par parties, montrer que :∀n∈N^∗, I_n=In−1− 1 n!

4. Montrer que :∀n>0, In=e−

n

X

k=0

1 k!. En déduire la valeur de lim

n→+∞

n

X

k=0

1 k!

Exercice 13. Un aperçu d’Arctangente On considère la fonction :F(x) =

Z x 0

1 1 +t² dt.

1. Donner le domaine de définition de F, notéD_F.

Justifier queF est dérivable sur D_F, et calculer sa dérivée.

2. Monter queF est impaire.

3. Déterminer la monotonie deF. 4. Montrer que ∀x>1,

Z x 1

1

1 +t² dt61.

(comparer (1 +t²) par rapport à t²)

5. En déduire que la fonction F admet une limite en+∞.

On noteL= lim

x→+∞F(x).

6. On pose G(x) =F(x) +F 1

x

.

a) Justifier queG est dérivable surR^∗₊ et calculer G⁰. Que dire de G? b) En faisant tendre x vers+∞, montrer queL= 2F(1).

Exercice 14. Suites et intégrales convergentes Pour tout n∈N, on pose : I_n= lim

a→+∞

Z _a

0

xⁿe^−x dx.

1. CalculerI0, I1, I2, I3.

2. Énoncer une conjecture pour In et démontrez-la.

Exercice 15. Appelez Riemann !

Étudier la convergence des suites définies par : u_n= 1

n

n−1

X

i=0

exp i

n

v_n=

n−1

X

i=0

r i

n³ s_n=

n−1

X

k=0

1 n+k

t_n= ⁿ v u u t

n−1

Y

k=0

1 + k

n

(on pourra étudier w_n= ln(t_n) ) (on pourra poser u= 1 +t)

Exercice 16. Segments k−1, k, k+ 1 Soitn>2. On pose un= ln(n!)

ln(nⁿ).

1. Encadrer ln(k)par des intégrales avec k>2.

2. En déduire un encadrement deu_n. (on fera apparaître

Z n 1

ln(t) dt) Que vaut lim

n→+∞u_n?

Exercice 17. Un encadrement Soitn∈N. On poseIn=

Z 1 0

xⁿe^−x dx.

Montrer que pour toutn, on a06In6 1

n+ 1. En déduire la limite deIn. Exercice 18

Soitf continue sur[0,1],n∈NetI_n= Z 1

0

xⁿf(t) dt.

1. Montrer que(I_n) converge vers 0, Puis que ∀x>0,06ln(1 +x)6x.

2. Limite quandn→+∞ deJ_n= Z 1

0

ln(1 +xⁿ) dx.

3. On pose u_n= Z 1

0

xⁿ 1 +xⁿ dx.

a) Montrer que ∀n∈N^∗,u_n= ln 2 n − 1

n Z 1

0

ln(1 +xⁿ) dx.

b) En déduire lim

n→+∞u_n et lim

n→+∞ nu_n Exercice 19

SoitIn= Z 1

0

xⁿ√

1−x dx. CalculerI0, puis trouver une relation entreInetIn+1. En déduireI_n en fonction den.

Exercice 20

Même exercice avecn>ketI_n,k = Z 1

0

x^k(1−x)^n−k dx.

TrouverIn,0 et montrer queI_n,k = k

n−(k−1)In,k−1. En déduire que I_n,k= 1

(n+ 1) ⁿ_k

Exercice 21. Comparaison à une intégrale Soitf la fonctionf(t) =tln(t) surR^∗+. 1. Étudier les variations def.

2. Montrer que ∀n∈N^∗,f(n)6 Z n+1

n

f(t) dt6f(n+ 1).

3. On pose pourn >0,Sn=f(1) +· · ·+f(n).

a) Encadrer S_n par : Z n

1

f(t) dt6S_n6 Z n

1

f(t) dt+nlnn b) Calculer

Z n 1

f(t)dt.

c) En déduire les deux limites suivantes :

n→+∞lim 1

n²ln(1¹ 2² 3³ 4⁴· · ·nⁿ) et lim

n→+∞

1

n² 1¹ 2² 3³ 4⁴· · ·n^{n 4}

n2

(on pourra prendre le lnde la seconde expression avant de conclure)

Exercice 22

Soitn∈N. On posea_n= Z 1

0

tⁿ 1 +t² dt.

1. Calculera₀.

2. Montrer que∀n∈N, 06an6 1

n+ 1. En déduire la convergence de (an).

3. Calculeran+an+2 pour tout n>0.

4. Déterminer alors lim

n→+∞Sn oùSn=

n

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1

Exercice 23

Soitx∈R, on poseH(x) = Z 2x

x

exp(−t²) dt.

1. Étudier les variations deH, et montrer queH est impaire.

2. Montrer que ∀x ∈ R⁺, xexp(−4x²) 6 H(x) 6 xexp(−x²), et en déduire

x→+∞lim H(x).

Exercice 24. Interversion Limite/Intégrale ?

Soit la suite de fonctions(f_n) définies sur[0,1]parf_n(x) = 2nxe^−nx2. On poseIn=

Z 1 0

fn(t) dt.

1. Calculer pour tout t∈[0,1]la limite de f_n(t) lorsque ntend vers l’infini 2. CalculerI_n. Que vaut lim

n→+∞I_n? 3. A-t-on l’égalité suivante : lim

n→+∞

Z 1 0

f_n(t) dt= Z 1

0

n→+∞lim f_n(t) dt?

Exercice 25. Inégalités et intégrale

En utilisant une intégrale, montrer les deux encadrements suivants : a) ∀x >1, 1

x 6ln(x)−ln(x−1)6 1 x−1 b)∀x >0, 1

2√

x+ 1 6√

x+ 1−√

x6 1 2√

x