PS12 AUTOMNE 2012
EXAMEN FINAL (Correction)
Tous les calculs numériques du sujet sont facilement faisables « de tête ».
La notation tiendra compte de la longueur du sujet qui est volontairement trop long pour deux heures. Le but de l’évaluation est de voir ce que vous êtes capable de produire en deux heures sur des sujets variés.
Questions de cours ou très proches du cours.
1. a ) i
1.5 9 V u b)
u fem = 9V
Pente -1.5
Icc = 6 A I
c) Le schéma Norton correspondant est : 1.5
= 6A
2. L’équation différentielle est d²q dq q
L R 0
dt² dt C . Il faut que le discriminant de l’équation caractéristique associée soit négatif soit R < Rc = L
2 C où Rc est la résistance critique.
3. En parallèle, les admittances s’ajoutent d’où : Y= 1
G j(Cw ).
Lw
Exercice n°1 : On considère le circuit suivant :
5 i1 i2
2 V
V
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 9i 3i 4i
1 3i 14i 6i
3 4i 6i 11i
Exercice n°2: Pont diviseur de courant. Déterminer numériquement les deux courants i1 et i2 dans les résistances du circuit suivant :
La formule du pont diviseur de courant a été vue en cours :
1
2
5*18 90
i 3A
12 18 30
5*12 60
i 2A
12 18 30
+
i
1i
25A 12 18
Exercice n°3: On considère le circuit suivant (la ligne basse est au potentiel zéro).
2 A 4
6V
4
8V
1. Déterminer le potentiel du point A en utilisant le théorème de Millman.
D’après Millman, on aura : A
6 0 8
2 4 4
V 1 1 1 1V
2 4 4
2. En utilisant par exemple la technique du pont diviseur de tension, déterminer la tension entre le point A1
et la ligne basse du circuit dans le circuit suivant. Expliquer clairement votre méthode.
2 A1 4 3
1V
4
i
36V
4
Les deux résistances de 4 sont équivalentes à une résistance de , donc on a un pont diviseur avec deux résistances égales et valant 2 . La tension demandée vaudra donc A1 6*2
V 3V
2 2
3. En utilisant par exemple la technique du pont diviseur de tension, déterminer la tension entre le point A2
et la ligne basse du circuit dans le circuit suivant. Expliquer clairement votre méthode.
2 A2 4
4 8V
Les deux résistances de gauche sont équivalentes à une seule valant 2*4 4 2 4 3
. Il suffit d’appliquer la formule du pont diviseur pour avoir A2
8*4
V 3 2V
4 4 3
4. En utilisant le théorème de superposition et les questions 2 et 3, retrouver le résultat de la question 1.
Le circuit de la question 1 peut être vu comme la superposition des circuits des questions 2 et 3. Il suffit donc d’appliquer le théorème de superposition pour trouver VA VA1VA2 3 2 1V
Exercice n°4 : On considère le circuit de la figure (les deux résistances sont identiques R et les deux bobines également L). A l’instant t = 0-, tous les courants sont nuls et on ferme l’interrupteur. Le générateur a une fem e(t) qui dépend à priori du temps.
R i(t) L
e(t) L R u(t)
i
1(t) i
2(t)
Première partie : on se propose de déterminer l’équation différentielle permettant de trouver u(t) connaissant e(t) pour t > 0.
1. En écrivant la loi des nœuds, donner la relation lianti(t), i1(t) et i2(t).
On a évidemment : i(t) = i1(t) + i2(t).
2. En écrivant la loi des mailles dans la maille de gauche, trouver la relation liant e(t), R, L, u(t) et i(t).
e(t) = Ri + Ldi dt +u(t).
3. Donner les relations liant : a. u(t), R et i2(t).
u(t) = Ri2(t).
b. u(t), L et i1(t).
di1
u(t) L
dt
4. En vous servant des équations trouvées précédemment, trouver l’équation différentielle liant e(t), u(t) , L et R. Attention : il ne devra plus y avoir aucun courant dans l’équation. On mettra l’équation sous la forme de d²u du
a b cu
dt dt² dt où on exprimera a, b et c en fonction de L et R.
On dérive l’équation 2. :
1 2 1 2
d(i +i ) d²(i +i )
de di d²i du du
= R + L + R + L +
dt dt dt² dt dt dt² dt
de L d²u du R
3 u
dt R dt² dt L
Ce qui est bien la forme demandée.
5. On suppose que e(t) est une constante : e(t) = E.
a. Ecrire l’équation différentielle correspondante.
L d²u du R
0 3 u
R dt² dt L
puisque e est une constante.
b. Quel est le signe du discriminant associé ? L’équation caractéristique associée est L R
0 x² 3x
R L
, dont le discriminant est 9 4 5 qui est positif.
c. Quel sera alors le type de régime transitoire (pseudopériodique, apériodique ou critique) ? Le discriminant étant positif, le régime sera apériodique.
6. Donner la forme générale de la solution u(t) en faisant apparaitre deux constantes d’intégration A et B qu’on ne cherchera pas à calculer.
Les deux solutions de l’équation caractéristique associée sont : 1/ 2
3 / 5
x L
2R
.
On aura donc u(t) = Aexpx1t + B expx2t où A et B sont deux constantes à déterminer en fonction des conditions initiales.
Deuxième partie: Utilisation du circuit précédent pour fabriquer un oscillateur.
A K B
u(t)
0 V
On utilise le montage précédent pour fabriquer le circuit ci-dessus. Dans ce montage K représente un amplificateur, composant électronique tel que le potentiel du point A soit K fois plus grand que le potentiel du point B (K entier), le point bas du circuit étant conventionnellement au potentiel zéro. On supposera que l’équation différentielle de fonctionnement du montage en pointillé est la même que dans la première partie (autrement dit le courant consommé en sortie de montage pour aller en B est négligeable).
7. En utilisant l’équation différentielle trouvée en 4, déterminer l’équation différentielle vérifiée par u(t).
Il suffit dans l’équation différentielle de remplacer e(t) par Ku(t).
dKu L d²u du R
3 u
dt R dt² dt L
L d²u du R
0 (3 K) u
R dt² dt L
8. Donner la valeur de K qui annule le terme en du
dt dans cette équation.
Il suffit de prendre K = 3.
9. Montrer qu’on a alors fabriqué un oscillateur sinusoïdal dont on donnera la pulsation en fonction de L et R.
L’équation différentielle devient alors: L d²u R d²u R²
0 u soit 0 u
R dt² L dt² L²
dont la solution est de la forme u(t)
= A coswt + B sinwt avec R
w L qui est l’équation d’un oscillateur non amorti.
Exercice n°5: Courant alternatif sinusoïdal. Circuit RLC et filtres.
On considère le montage suivant dans lequel le générateur de tension parfait délivre une tension alternative sinusoïdale de la forme e(t) = E cos wt soit en notation complexee(t) E exp jwt .
u
R(t) u
L(t)
R i(t) L
e(t) ~ C u
c(t)
1. Déterminer Z, impédance complexe du montage vu du générateur en fonction de R, L, C et w (j² = -1).
Z R j(Lw 1 )
Cw
2. En utilisant la loi d’Ohm complexe, donner i(t), courant complexe traversant le circuit. On mettra i(t) sous la forme i(t) I exp j(wt ). On exprimera I en fonction de R, L, C, w et E. On exprimera en fonction de R, L, C et w.
Lw 1 E exp j(wt Arc tan( Cw))
e(t) E exp jwt R
i (t)
Z R j(Lw Cw1 ) R² (Lw Cw1 )²
3. Exprimer i(t), courant réel traversant le circuit.
Il suffit de prendra la partie réelle de cette expression :
Lw 1 E cos(wt Arc tan( Cw)) i(t) R
R² (Lw 1 )²
Cw
, l’amplitude du
courant est donc
E
R² (Lw 1 )²
Cw et le déphasage avec la tension générateur
Lw 1 Arc tan( Cw)
R
.
4. Que vaut l’amplitude de ce courant lorsque la fréquence tend vers zéro (très basse fréquence).
Si la fréquence tend vers 0, w tend vers 0 et l’amplitude tend vers O.
5. Que vaut l’amplitude de ce courant lorsque la fréquence tend vers l’infini (très hautes fréquences).
Si la fréquence tend vers , w tend vers et l’amplitude tend vers O.
6. Pour quelle valeur w0 de w, cette amplitude est-elle maximale ? On exprimera w0 en fonction de L et C.
L’amplitude est maximale lorsque le terme sous la racine est minimum soit 0
1 1
Lw soit w
Cw LC
7. Que vaut alors le déphasage entre courant et tension ? Pour w = w0, le déphasage est alors nul d’après 3.
8. Donner l’allure générale de l’amplitude du courant en fonction de la fréquence.
9. Ce circuit est qualifié de résonant. Pourquoi ?
Pour certaines fréquences proches de w0, le courant sera important, d’où une sélection des fréquences par ce circuit.
10. Que vaut alors (en réel) uR(t).
On a évidemment uR(t) = Ri(t) =
Lw 1 RE cos(wt Arc tan( Cw)) i(t) R
R² (Lw 1 )²
Cw
11. Que vaut u (t)C représentation complexe de la tension aux bornes de la capacité. On mettra u (t)C sous la forme u (t) U exp j(wtc C c). On exprimera Uc et c en fonction des différents paramètres.
Il suffit d’utiliser la loi d’Ohm :
c
1 1
Lw Lw
Cw Cw
E exp j(wt Arc tan( ) ) E exp j(wt Arc tan( ) )
1 1 E exp jwt R 2 R 2
u (t) jCw i (t) jCwR j(Lw Cw1 ) Cw R² (Lw Cw1 )² R²C²w² (LCw² 1)²
12. Exprimer alors la tension réelle uc(t) correspondante.
Il suffit de prendre la partie réelle de l’expression précédente :
c
Lw 1
E cos(wt Arc tan( Cw) )
R 2
u (t)
R²C²w² (LCw² 1)²
13. Que vaut u (t)L représentation complexe de la tension aux bornes de la bobine. On mettra u (t)L sous la forme u (t) U exp j(wtL L L). On exprimera UL et L en fonction des différents paramètres.
L
Lw 1
ELw exp j(wt Arc tan( Cw) )
E exp jwt R 2
u (t) jLw i (t) jLwR j(Lw Cw1 ) R² (Lw Cw1 )²
14. Exprimer alors la tension réelle uL(t) correspondante.
Il suffit de prendre la partie réelle de l’expression précédente :
L
Lw 1
ELw cos(wt Arc tan( Cw) )
R 2
u (t)
R² (Lw 1 )²
Cw
15. Filtre : le générateur envoie maintenant un signal possédant toute une gamme de fréquence entre 0 et l’infini. Pour chaque cas déterminer aux bornes de quel composant la tension est la plus grande :
a. w << w0.
La tension est la plus forte sur le condensateur où elle vaut E en amplitude et 0 sur R et L. Le condensateur joue le rôle d’un interrupteur ouvert pour les très basses fréquences.
b. w # w0
La tension aux bornes de la résistance a pour amplitudeE, celle aux bornes de la capacité
0
E
RCw et celle aux bornes de la résistance est ELw0
R =
0
E
RCw puisque LCw0² = 1. Tout dépend donc du rapport Lw0 R . Si ce rapport est supérieur à 1, la tension est la plus forte sur L et C, sinon c’est sur R.
c. w >> w0.
La tension est la plus forte aux bornes de la bobine où elle vaut E en amplitude et 0 sur R et C. La bobine joue le rôle d’interrupteur car elle ne laisse pas passer les hautes fréquences.
