Moments d inertie de solides homogènes. 1- Théorème de Huygens. Z (tel que. Z ) r G : Entre le point M et l axe (G, Z ) et (G,

Moments d’inertie de solides homogènes 1- Théorème de Huygens

Soit un solide S de masse m et de centre de gravité G.

Soit deux axes parallèles de vecteur directeur ^→Z (tel que ^→Z est un vecteur unitaire : ||^→Z || = 1 ) et passant par les points O et G.

Soit un point M quelconque de ce solide S.

On pose les distances :  d : Entre les axes (O,^→Z ) et (G,^→Z )

 rG : Entre le point M et l’axe (G,^→Z )

 rO : Entre le point M et l’axe (O,^→Z ) Sachant que ||^→Z || = 1 et que par définition du produit vectoriel :

||^→u ∧^→v || = ||^→u || . ||^→v || . sin (^→u ,^→v ) On en déduit : d² =

(

OG∧^{→ →}Z

)

2

rG2

=

(

GM∧^{→ →}Z

)

2 rO2

=

(

OM∧^{→ →}Z

)

2

d

O G

M

r

_G

r

_O

Z

M_G

M_O

G_O

∆G

∆

Par définition du moment d’inertie par rapport à l’axe (O,^→Z ) on a :

I

_Ο^→_Ζ

(S) =

_^   S

r

O2

.dm =

_^  

S

( OM∧

^{→ →}

Z ) 2

.dm =

_^  

S

( ^{( OG +}

^→

^GM

^→

⁾ ∧

^→

Z ) 2 .dm I

_Ο^→_Ζ

(S) =

_^  

S

( ^{( OG +}

^→

^GM

^→

⁾ ∧

^→

Z . ) ( ^{( OG +}

^→

^GM

^→

⁾ ∧

^→

Z .dm )

I

_Ο^→_Ζ

(S) =

_^   S 



( OG∧

^{→ →}

Z ) 2

+ ( GM∧

^{→ →}

Z ) 2

+ 2. ( OG∧

^{→ →}

Z . ) ( GM∧

^{→ →}

Z ) .dm I

_Ο^→_Ζ

(S) =

_^  

S

d

²

.dm +

_^   S

r

G2

.dm + 2.

_^  

S

( GM∧

^{→ →}

Z . ) ( OG∧

^{→ →}

Z .dm )

I

_Ο^→_Ζ

(S) = d

²

.

_^  

S

dm + I

G

→

Ζ

(S) + 2.





  

S

GM.dm ∧

^{→ →}

Z . ( ^OG∧

^{→ →}

Z )

Or par définition du centre d’inertie :   

S GM.dm = ^{→ →}0 et de la masse : m =   S dm

Donc :

I

_Ο^→_Ζ

(S) = I

_G^→_Ζ

(S) + m . d

²

Conclusion

Soit un solide S de masse m et de centre de gravité G. Soit deux axes parallèles : ∆ quelconque et ∆G

passant par G distant d’une distance d l’un de l’autre. Alors si on pose I∆ et I∆G les moments d’inertie par rapport aux axes ∆ et ∆G on a :

I

_∆

= I

_∆G

+ m . d

²

Remarque :

Ce théorème de Huygens ne peut s'appliquer que si G est le centre de

gravité du solide S.

2- Moments d’inertie de solides homogènes

2.1- Cylindre plein

Soit un cylindre homogène :  D’axe ∆  De rayon R

 De hauteur h  De masse volumique ρ On décompose ce cylindre en volumes élémentaires. Ces volumes élémentaires sont des cylindres creux :  D’axe ∆  De rayon r

 De hauteur h  D’épaisseur dr

Tous les volumes élémentaires dv de masse dm = ρ.dv sont constitués de points tous équidistants de l’axe ∆. Cette distance étant r, on en déduit pour ce cylindre le moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ :

I_∆ =   

S r².dm

∆

h

r dr

R

Etant donné les caractéristiques du volume élémentaire : dm = ρ.dv = ρ.2.π.r.h.dr Donc : I_∆ = 

0R r².ρ.2.π.r.h.dr = 2.π.h.ρ. 

0R r³.dr

I_∆ = 2.π.h.ρ. 



 r⁴

4 R

0 = 2.π.h.ρ. R⁴

4 = π.R⁴.h.ρ 2

Sachant que la masse m d’un cylindre homogène de rayon R de hauteur h et de masse volumique ρ est :

m = π .R

²

.h. ρ

On en déduit le moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ :

I

_∆

= m.R

²

2

2.2- Cylindre creux

Soit un cylindre creux homogène :  D’axe ∆  De rayon extérieur Rext

 De rayon intérieur Rint  De hauteur h  De masse volumique ρ Ce volume est la soustraction d’un cylindre plein de rayon Rint à un cylindre plein de rayon Rext. Etant donné l’expression établie précédemment concernant le moment d’inertie d’un cylindre plein, on a pour ce cylindre creux homogène un moment d’inertie : I_∆ = π.Rext4.h.ρ

2 − π.Rint4.h.ρ 2

∆

h Rint

R_ext Donc : I_∆ = π.(Rext4 − Rint4).h.ρ

2 I_∆ = π.(Rext2

+ Rint2

).(Rext2 − Rint2).h.ρ 2

Sachant que la masse m d’un cylindre creux homogène de rayon extérieur Rext de rayon intérieur Rint de hauteur h et de masse volumique ρ est :

m = π .(R

ext2

− R

int2

).h. ρ

D’où le moment d’inertie :

I

_∆

= m. (R

_ext²

+ R

_int²

)

2

2.3- Parallélépipède rectangle

Soit un parallélépipède rectangle homogène :

 D’axe ∆ passant par les milieux de deux faces opposées

 De hauteur h (parallèlement à l’axe ∆)

 De largeur a et de longueur b

 De masse volumique ρ

On décompose ce parallélépipède en volumes élémentaires. Ces volumes élémentaires sont des parallélépipède rectangle:

 De hauteur h (parallèlement à l’axe ∆)

 De largeur dx et de longueur dy

∆

h

b a

x y

dx

dy

Tous les volumes élémentaires dv de masse dm = ρ.dv sont constitués de points équidistants de l’axe ∆.

Cette distance étant r = x² + y², D’où pour ce parallélépipède le moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ : I_∆ =   

S r².dm =   

S (x² + y²).dm

Etant donné les caractéristiques du volume élémentaire : dm = ρ.dv = ρ.h.dx.dy Donc : I_∆ =   

S (x² + y²). ρ.h.dx.dy I_∆ = ρ.h. 

−b/2+b/2 





−a/2+a/2 (x² + y²).dx .dy I_∆ = ρ.h. 

−b/2+b/2 

 x³ 

3 + y².x +a/2

−a/2.dy I_∆ = ρ.h. 

−b/2+b/2 



 a³

12 + y².a .dy I_∆ = ρ.h.

 a³ 

12.y + y³

3.a +b/2

−b/2 I_∆ = ρ.h.

 a³.b 

12 + b³.a 12 I_∆ = ρ.h.a.b.(a² + b²)

12

Sachant que la masse m d’un parallélépipède rectangle homogène de dimensions a x b x h est :

m = ρ .h.a.b

On en déduit le moment d’inertie :

I

_∆

= m.(a

²

+ b

²

) 12

5.4- Sphère pleine Soit une sphère homogène :

 De rayon R

 De masse volumique ρ

On décompose ce cylindre en volumes élémentaires.

Ces volumes élémentaires sont des cylindres creux :

 D’axe ∆  De rayon r

 De hauteur h  D’épaisseur dr

∆

h

r dr

R

∆ h

r

R dr

θ

Tous les volumes élémentaires dv de masse dm = ρ.dv sont constitués de points équidistants de l’axe ∆.

Cette distance étant r, on en déduit pour ce cylindre le moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ : I_∆ =   

S r².dm = 

0R r².dm

Etant donné les caractéristiques du volume élémentaire : dm = ρ.dv = ρ.2.π.r.h.dr

On pose θ l’angle défini par un plan perpendiculaire à l’axe ∆ et la droite passant par l’arrêt intérieure de ce cylindre creux. Ce plan et cette droite passant tout deux par le centre de la sphère.

On a alors : r = R.cos θ dr = − R.sin θ.dθ h = 2.R.sin θ

On a donc : I_∆ = − 

π/20 (R.cos θ)² . ρ.2.π. R.cos θ . 2.R.sin θ . R.sin θ dθ I_∆ = 4.π.R⁵.ρ.

0π/2 cos³θ . sin² θ . dθ I_∆ = 4.π.R⁵.ρ.

0π/2

(

cos θ . (1 − sin²θ) . sin²θ . dθ

)

I_∆ = 4.π.R⁵.ρ.

0π/2 ( cos θ . sin²θ − cos θ . sin⁴ θ ) . dθ I_∆ = 4.π.R⁵.ρ. 

 sin³θ 

3 − sin⁵θ 5

π/2 0 I_∆ = 4.π.R⁵.ρ. 



 1 3 − 1

5 = 4 x 2

3 x 5.π.R⁵.ρ

Sachant que la masse m d’une Sphère homogène de rayon R et de masse volumique ρ est :

m = 4

3 . π .R

³

. ρ

On en déduit le moment d’inertie par rapport à tout axe ∆ passant par le centre de la sphère :

I

_∆

= 2

5 m R

²

5.5 Plaque rectangulaire de faible épaisseur Soit une plaque parallélépipédique homogène :

 D’axe ∆ passant au milieu de la plaque et parallèle à celle-ci

 De hauteur h (parallèlement à l’axe ∆)

 De largeur a et d’épaisseur e

 De masse volumique ρ

Cette plaque est un parallélépipède rectangle homogène de masse volumique ρ dont la masse est donc :

M = ρ.a.h.e Et le moment d’inertie par rapport à cet axe ∆

Ι_∆ = m.(a² + e²) 12

∆ h

a e

Avec e<<a e<<h

Or l’épaisseur e de cette plaque étant négligeable devant sa largeur a on a : e² négligeable devant a² Donc cette plaque homogène de hauteur h, largeur a, épaisseur e, masse volumique ρ a une masse de :

m = ρ .a.h.e

Et un moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ parallèle à la hauteur et passant par le milieu de la plaque :

I

_∆

= m.a

²

12

5.5- Barre de faible section

Soit une plaque parallélépipédique homogène :

 D’axe ∆ passant orthogonalement au milieu de la barre.

 De Longueur

l

(orthogonalement à l’axe ∆)

 De largeur a et d’épaisseur b

 De masse volumique ρ

Cette barre est un parallélépipède rectangle homogène de masse volumique ρ dont la masse est donc :

m = ρ.

l

_.a.b

Et le moment d’inertie par rapport à cet axe ∆ Ι∆ = m.(

l

² _{+ b}²₎

12

a ∆

l

Avec a<< l

b<< l

b

Or l’épaisseur b de cette plaque étant négligeable devant sa longueur

l

_{on a : b}² négligeable devant

l

²

Donc cette plaque homogène de hauteur h, largeur a, épaisseur e, masse volumique ρ a une masse de :

m = ρ . l _.a.b

Et un moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ parallèle à la hauteur et passant par le milieu de la plaque :

I

_∆

= m. l

²

12

Remarque :

On montre que cette expression reste valable pour toute barre.

Même si la section n’est pas rectangulaire. A la condition que les

dimensions de cette section restent faibles devant la longueur.