Correction devoir maison n°12

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Correction devoir maison n°12

Exercice 1

1) Pour 0, on cherche à déterminer les points tels que

0, autrement dit .

Comme et sont des longueurs, elles sont positives et donc .

Ceci est équivalent à dire que appartient à la médiatrice du segment .

2) est un réel quelconque.

a. d’après la relation de Chasles

2. 2. 2. car 0

Or avec la relation de Chasles.

D’où : 2.

b. On suppose que . On a alors . .

Introduisons le point à l’aide de la relation de Chasles : . . . . Or et sont perpendiculaires par construction donc . 0.

On en déduit donc que . . De plus, . . .. Finalement .

c. et sont colinéaires par construction donc . cos;

Comme l’angle ; est soit égal à 0, soit égal à , on a . qui est soit égal à , soit à – . Dans tous les cas, en prenant les valeurs absolues (pour éviter les problèmes de signes) :

ce qui veut dire : ^||

!" et comme 4, on a ^||

$ %&

Pour la position de : si est positif, alors et sont de même sens.

Si est négatif, alors et sont de sens contraires.

d.

' ( ) ) . 2 ) ||

8 et - et de même sens si est positif et de sens contraire si est négatif9 Pour obtenir (, on place donc tel que ^||

$ , en prenant bien le bon sens pour , puis ( est la perpendiculaire à passant par .

e. Pour $ : $ 1 et et $ sont de même sens. ($ est la perpendiculaire à passant par $. Pour ;<= : ;<= 2 et et ;<= sont de sens contraires. (;<= est la perpendiculaire à passant par ;<=. Exercice 2

1) ( existe car la somme des coefficients est égale à 5 et de plus : ( _? existe car la somme des coefficients est égale à 1 et de plus .

2) 3 2 3( ( 2( ( 5( 3(ABBCBBD 2(

EF

5(.

De même : 2 2 2ABBCBBD

EG

Finalement : 3 2. 2 5(.

3) ' Γ ) 5MG.MH 0 ) MG et orthogonaux ) ( et perpendiculaires

(2)

4) L’ensemble des points tels que ( et sont perpendiculaires est le cercle de diamètre (. Donc Γ est le cercle de diamètre GH

Exercice 3

1) On se place dans le repère Q;^!"_R :^!T_RU.

On a alors : 0; 0 ; V; 0, WV; V,Y0; V et par définition de Z : Z QV;^R_[U. On note \ la longueur Y] et alors les coordonnées du point ] dans ce repère sont \; V.

Alors ^_`a WZ Z] W] or WZ ^b_[V ; W] V \ et Z] cQ^b_[VU V \ en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle WZ] rectangle en W.

D’où l’équation : 2V ^b_[V V \ cQ^b_[VU V \ Cette équation est équivalente à ^R

[ \ cQ^b_[VU V \

Comme tout est positif, on peut élever au carré : Q^R_[ \U_<=^d V V \ En développant, on trouve : ^R^e

<=^Rf \_<=^d V V 2V\ \ Ceci est équivalent à ^?Rf

^bV d’où Y] ^b_?V 2) Z gV_R

[h et ] g^b?V

Vh d’où Z.] V ^b_?V ^R_[ V VQ^b_?^<_[U ^<i_GV On trouve bien Z.] ^<iR_G^e

3) On peut aussi calculer ce produit scalaire à l’aide de l’angle Z]j : Z.] Z ] cosZ;]

On calcule les longueurs Z et ] en utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles Z et Y] rectangles respectivement en et Y. On trouve Z cV Q^<_[VU c^<iR_<=^e^R√<i_[ puis

] cV Q^b_?VU c^b[R_?^e^R√b[_? et finalement :

cosZ;] 17V V√1720

4 V√34 5

17V

20 20

V√17 34 17

17√2 √2 2

On en déduit alors : Z]j ^m_[

4) n!à ^<Z ] sinZ]j ^<^R√<i_[ ^R√b[_? ^√ ^Rê^√<ib[_$G ^<i_[GV D’où : n!à ^<i_[GV