Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee Fili`ere Ing´enieur MACS
Ann´ee universitaire 2019-2020
Probl` eme 3 : Temps de passage d’une marche al´ eatoire
A rendre pour le mardi 24 septembre 2019.
On consid`ere une variable al´eatoire r´eelle discr`ete X d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,A,P). On suppose que X admet une esp´erance finieE(X)>0.
Soit (Xk)k≥1une suite de variables al´eatoires discr`etes `a valeurs dansR∗+sur (Ω,A,P), ind´ependantes et identiquement distribu´ees, de mˆeme loi queX. On note (Sk)k≥0la suite d´efinie par :
S0= 0 et pour toutn≥1, Sn=
n
X
k=1
Xk.
L’objet de ce probl`eme est l’´etude du nombre (al´eatoire) d’´el´ements de la suite (Sn)n≥0qui appartiennent `a l’intervalle [a, b], d´efini pourω∈Ω par :
N(a, b)(ω) = Card{k∈N, Sk(ω)∈[a, b]}, et en particulier son estimation en fonction de la longueur de l’intervalle [a, b].
1. Soient`≥0 etn∈N.
(a) Montrer l’´egalit´e entre ´ev`enements : (N(0, `) =n+ 1) = (Sn≤` < Sn+1).
(b) En d´eduire que : (Sn≤`) = (N(0, `)≥n+ 1).
(c) Montrer que : (Sn ≥`)⊂(N(0, `)≤n+ 1).
2. SoitY une variable al´eatoire `a valeurs dansNet qui admet une esp´erance.
(a) Justifier que, pour toutk≥0,P(Y =k) =P(Y ≥k)−P(Y ≥k+ 1).
(b) Montrer que
E(Y) =
+∞
X
k=1
P(Y ≥k).
3. Soient`≥0 etn∈N.
(a) Montrer que pour toutω ∈Ω, 1(Sn≤`)(ω) ≤exp(`−Sn(ω)) o`u 1(Sn≤`) est la fonction caract´eristique de l’´ev`enement (Sn≤`).
(b) Montrer que : P(Sn≤`)≤E(exp(`−Sn)).
(c) En d´eduire que : P(Sn≤l)≤e`(E(exp(−X)))n.
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4. Soit`≥0. On suppose dans cette question que la variable al´eatoireN(0, `) admet une esp´erance.
(a) Montrer queP(Sn≤`)−−−−−→
n→+∞ 0.
(b) Montrer que :
E(N(0, `)) =
+∞
X
k=0
P(Sk ≤`).
(c) En d´eduire que :
E(N(0, `))≤ e`
1−E(exp(−X)). 5. Soientx∈R,`≥0,k, n∈N∗.
(a) Montrer que :
P((Sn−1< x≤Sn)∩(N(x, x+`)≥k))≤P(Sn−1< x≤Sn)P((Xn+1∈[0, `])∩. . .∩(Xn+1+· · ·+Xn+k−1∈[0, `])).
(b) En d´eduire que :
P((Sn−1< x≤Sn)∩(N(x, x+`)≥k))≤P(Sn−1< x≤Sn)P(N(0, `)≥k).
6. Montrer que :
∀x∈R, ∀`≥0, E(N(x, x+`))≤ e`
1−E(exp(−X)).
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