(8 points environ) La loi triangulaire est beaucoup utilis´ee en traitement du son

CPP-la pr´epa des INP 2 `eme ann´ee lundi 10 d´ecembre 2012

Examen de Probabilit´es

Exercice 1. (8 points environ) La loi triangulaire est beaucoup utilis´ee en traitement du son. Sa densit´e est donn´ee par,

f_X(x) = 1

a²(a− |x|)1_[−a,a](x) o`ua est un param`etre r´eel strictement positif.

1) V´erifier quefX est bien une densit´e de probabilit´e et repr´esenter cette densit´e.

On a bienf ≥0 et Z +∞

−∞

fX(x)dx= Z a

−a

1

a²(a− |x|)dx= 2 Z a

0

1

a² (a−x)dx= 2 hx

a−x² 2a²

ia 0 = 1.

2) Calculer son esp´erance et sa variance.

On a

E[X] = Z +∞

−∞

xf_X(x)dx= Z a

−a

x

a²(a− |x|)dx= 0 et

E[X²] = Z +∞

−∞

x²fX(x)dx= Z a

−a

x²

a² (a− |x|)dx= 2 Z a

0

ax²−x³ a² dx

= 2hax³ 3a² −ax⁴

4a² ia

0 = a² 6 . D’o`u V ar(x) =E[X²]−(E[X])²= ^a₆².

3) Calculer P(2|X| ≥a).

Par sym´etrie, on a P(2|X| ≥a) =P

|X| ≥ a 2

= 2 Z a

a 2

f_X(x)dx= 2hx a − x²

2a² ia

a 2

= 2

1−1 2 −

1 2 −1

8

= 1 4. 4) On consid`ere ici a = 1. Donner la loi de la variable al´eatoire Y = p|X|. On pourra commencer par d´eterminer l’ensemble de ses valeurs, sa fonction de r´epartition puis sa densit´e.

1

Xest `a valeurs dans [−1,1] doncY est `a valeurs dans [0,1]. Soitt∈[0,1], la fonction de r´epartition de Y est donn´ee par

F_Y(t) =P(p

|X| ≤t) =P(−t²≤X ≤t²)

= 2 Z t²

0

fX(x)dx= 2 Z t²

0

1−xdx= 2 h

x−x² 2

it²

0 = 2t²−t⁴. Sit <0, on aFY(t) = 0 et sit >1,FY(t) = 1.

La densit´e fY de Y s’obtient en d´erivant la fonction de r´epartition:

f_Y(t) = (4t−4t³)1_[0,1](t) = 4t(1−t²)1_[0,1](t) (≥0).

Exercice 2. Les deux parties sont ind´ependantes.

On consid`eren”menteurs” I1, I2, . . . In. Le menteur I1 re¸coit une infor- mation sous la forme de ”oui” ou ”non” et la transmet `a I₂ et ainsi de suite jusqu’`a In. Chaque menteur transmet ce qu’il a entendu avec probabilt´e p (0< p <1) et transmet l’information contraire avec probabilit´e 1−p. On suppose que chaque menteur ment ou transmet fid`element l’information de mani`ere ind´ependante des autres menteurs.

Pour i = 1, . . . n, on note A_i l’´ev`enement: ”le menteur I<sub>i</sub> transmet ce qu’il a entendu” et B<sub>i</sub> l’´ev`enement: ”le menteur i transmet l’information initiale.

On notep_nla probablit´e que le menteurI_n transmette l’information ini- tiale.

Partie A (6 points environ)

1) Que valentP(Bi+1|B_i) etP(Bi+1|B^c_i)?

D’apr`es l’´enonc´e P(B_i+1|B_i) = p etP(B_i+1|B_i^c) = 1−p. Plus pr´ecisement, P(B_i+1|B_i) =P(A_i+1|B_i) =P(A_i+1) =p par ind´ependance.

2) Calculer p_n+1 en fonction de p_n.

pn+1 =P(Bn+1) =P(Bn+1∩Bn) +P(Bn+1∩B_n^c)

=P(Bn+1|B_n)P(Bn) +P(Bn+1|B_n^c)P(B^c_n)

=p p_n+ (1−p)(1−p_n) = (2p−1)p_n+ 1−p

3) On posev_n=p_n−¹₂. Montrer quev_n+1=cv_navecc∈R`a d´eterminer.

En d´eduire l’expression dev_n et de p_n.

vn+1=pn+1−1

2 = (2p−1)pn+1

2−p= (2p−1)(pn−1

2) = (2p−1)vn. 2

On a doncv_n= (2p−1)ⁿv₀ = ¹₂(2p−1)ⁿcarp₀ = 1. Doncp_n= ¹₂+¹₂(2p−1)ⁿ. 4) Quelle est la limite de pn quand n→+∞?

Quandn→+∞,pn→ ¹₂ car −1<2p−1<1.

Partie B (6 points environ)

On note maintenantYnle nombre de menteurs parmi les menteursI1, . . . , In

qui ont transmis l’information fid`element (c’est-`a-dire celle qu’ils ont enten- due).

5) Quelle est la loi deYn?

On note Xi = 1 si le i-`eme menteur transmet fid`element l’information et Xi = 0 sinon. Les Xi sont des variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Bernoulli de param`etre p. De plus, Y_n = Pn

i=1X_i. Donc Y_n est de loi binomialeBin(n, p). (Son esp´erance est doncnp et sa variancenp(1−p)).

6) Que peut-on dire de la quantit´e ^Y_nⁿ quandntend vers +∞?

D’apr`es la loi faible des grands nombres: ^Y_nⁿ converge en loi versE[X1] = pquand ntend vers +∞

7) On souhaite d´eterminer une taille d’´echantillon suffisanten₀ telle que

`

a partir de n0, on ait P

Yn

n −p

≥0.01

≤0,05.

On utilisera ici le th´eor`eme central limite et on rappelera que p(1−p)≤ ¹₄ et queP(|Z| ≥1,96)'0,05 si Z suit une loi normale N(0,1).

Le th´eor`eme central limite dit que la quantit´e

√n pV ar(X₁)

Yn

n −E[X1]

=

√n pp(1−p)

Yn

n −p

converge en loi vers une loi normale centr´ee r´eduiteN(0,1).

Donc P

Y_n n −p

≥0.01

=P

√n pp(1−p)

Y_n n −p

≥ 0.01√ n pp(1−p)

!

'P |Z| ≥ 0.01√ n pp(1−p)

! .

Cette quantit´e est inf´erieure `a 0.05 si 0.01√

n

pp(1−p) ≥1,96

c’est-`a-dire n≥ ^1.96_0.01^2p(1−p)2 . On veut que ceci soit vrai pour tout 0< p <1, donc on prendn≥ ^1.962₄¹⁰⁰² soitn0= 9604.

3