MATHS Term SUITES NUMERIQUES COURS 1 Ce document n’est pas un cours à proprement parler. Son objectif est de récapituler l’essentiel et d’expliquer un certain nombre de notions.

Ce document n’est pas un cours à proprement parler. Son objectif est de récapituler l’essentiel et d’expliquer un certain nombre de notions.

1 Définitions générales

Une suite numérique

( )

un n_∈ℕ est une liste ordonnées de termes (ici : réels) u_n où n représente le rang du terme (sa position dans la suite).

Classiquement, le premier terme, terme initial, est noté u₀. un, pour n quelconque, est nommé terme général de la suite.

L’enchaînement des valeurs u₀, u u u u₁, ₂, ₃, ₄, ... répond en général à une logique.

Le terme général peut être défini :

* en fonction de n, par une formule (on parle de suite fonctionnelle),

* en fonction du terme précédent, ou de plus d’un (on parle de suite récurrente) Exemple de suite fonctionnelle :

2 5

n 1 u n

n

= −

+ . Quelques termes : _{0 1 2} 1 _{3 4} 11

5, 2, , 1, , ...

3 5

u = − u = − u =− u = u = Exemple de suite récurrente :

0 1

2

3 5

n n

u u ₊ u

=



= −

 . Quelques termes : u₀=2, u₁=1, u₂= −2, u₃ = −11, u₄= −38, ...

2 Raisonnement par récurrence

Ce raisonnement est utilisé pour démontrer qu’une affirmation est vraie, affirmation qui dépend d’un paramètre n entier, et que l’on veut vraie, plus précisément, pour tout n supérieur ou égal à un entier n0

donné.

Pour démontrer cela, nous avons besoin de deux vérifications (qui s’avéreront suffisantes) :

* l’initialisation : l’affirmation est-elle vraie pour n = n0 ?

* la récurrence (ou hérédité) : si l’affirmation est vraie pour un entier n, l’est-elle pour le suivant (n+1) ? Pour se représenter la logique de ce raisonnement, on peut imaginer une suite infinie de dominos, positionnés verticalement les uns devant les autres, la question étant de savoir s’ils vont tous tomber.

Les deux conditions nécessaires et suffisantes pour affirmer qu’ils vont tous tomber sont :

* le premier va basculer (parce qu’on va le pousser)

* si, n’importe où, un domino bascule, alors il entraînera le suivant dans sa chute

(on comprend bien que si l’une des deux conditions n’est pas respectée, l’affirmation « ils vont tous tomber » est fausse)

Exemple : formule pour une suite

Soit la suite

( )

un n_∈ℕ telle que u₀ =1 et u_n+1=u_n+2n+3. Démontrer que un=

(

n+¹

)

².

* initialisation : pour n=0, u₀=1 et

(

ⁿ⁺¹

) (

^{2= 0+1}

)

^{2=1. ok !}

* récurrence : supposons que pour un entier n, un=

(

n+¹

)

². A-t-on alors u_n+1=

(

n+2

)

² ?

( )

^{2 2 2}

( )

²

1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 4 4 2

n n

u ₊ =u + n+ = n+ + n+ =n + n+ + n+ =n + n+ = n+ . ok ! Conclusion : pour tout entier naturel n, ^un=

(

ⁿ⁺¹

)

^2.

Exemple : formule calculatoire

Montrer que tout entier naturel n,

( )

0

1 2

n

k

k n n

=

= +

∑

^.

* initialisation : pour n=0,

0

0

k

k

=

∑

= ^et

⁽

¹

⁾

^{0 0}

⁽

¹

⁾

⁰

2 2

n n+ +

= = . ok !

* récurrence : supposons que pour un entier n,

( )

0

1 2

n

k

k n n

=

= +

∑

. A-t-on alors ¹

( )( )

0

1 2

2

n

k

n n

k

+

=

+ +

∑

= ^?

( ) ( ) ( ) ( )( )

1

0 0

1 1 2 1 1 2

1 1

2 2 2

n n

k k

n n n n n n n

k k n n

+

= =

+ + + + + +

= + + = + + = =

∑ ∑

^{. ok !}

Conclusion : pour tout entier naturel n,

( )

0

1 2

n

k

k n n

=

= +

∑

^.

3 Variations et limites

Une suite montre une évolution. Comme pour toute autre fonction (les suites sont des fonctions), on peut se poser la question du sens de variation et celle des limites en l’infini.

3.1 Sens de variation

* Une suite

( )

un n_∈ℕ est strictement croissanteà partir du rang p si, pour tout entier n≥p^, on a u_n+1 >u_n.

* Une suite

( )

un n_∈ℕ est strictement décroissanteà partir du rang p si, pour tout entier n≥p^, on a u_n+1<u_n.

En exercice, pour connaître le sens de variation d’une suite, on peut : - étudier le signe de u_n+1−u_n

- essayer de comparer ^{n 1}

n

u u

+ à 1 (en prenant soin de noter le signe de ses termes)

Par exemple, avec

2 5

n 1 u n

n

= −

+ :

-

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

( )( ) ( )( )

2 2 3 2 2

1

1 5 1 5 2

1 5 5 3 6

2 1 2 1 2 1

n n

n n n n

n n n n

u u

n n n n n n

+

+ − + − − +

+ − − + +

− = − = =

+ + + + + +

Le numérateur n’a pas de racine, il est donc du signe de son premier coefficient : positif.

Ainsi, u_n+1−u_n>0 et donc la suite

( )

un n_∈ℕ est strictement croissante.

- Autre façon d’étudier ses variations : pour n≥3, u_n est positif. Dans ces conditions, ^{n 1} 1

n

u u

+ > signifie que

( )

un n_∈ℕ est strictement croissante à partir du rang 3.

( )

( ) ( )

( ) ^{( )}

2

3 3 2

1

2 2 3 2

1 5

1 5 1 3 2 4

2

5 5 2 2 5 10

1

n n

n

n n

u n n n n

n

u n n n n n

n

+

+ −

+ − + + − −

= + = =

− − + + − −

+

, rapport qui est supérieur à 1 à

condition que 3n²−2n− >4 2n²−5n−10⇔n²+3n+ >6 0, ce qui est le cas.

Autre exemple, avec  u⁰ =2

 = − :

Démontrons cela par récurrence :

* initialisation : ₀ 5

2 2

u = <

* récurrence : si 5

n 2

u < , a-t-on ₁ 5

n 2

u ₊ < ? ₁ 5 5

3 5 3 5

2 2

n n

u ₊ = u − < × − = Effectivement, pour tout n, 5

n 2

u < et notre suite est décroissante.

- Autre façon d’étudier ses variations : en admettant que u_n<0 à partir d’un certain rang (démonstration par récurrence), ^{n 1} 1

n

u u

+ > signifierait que

( )

un n_∈ℕ est strictement décroissante.

1 3 5 5 5 5

3 1 2

2

n n

n

n n n n

u u

u u u u u

+ = − = − > ⇔ < ⇔ < (que l’on a démontré par récurrence au-dessus, mais qui est de toute façon vrai si on admet que u_n<0).

Démontrons cela par récurrence que u_n<0 à partir d’un certain rang :

* initialisation : u₂= − <2 0

* récurrence : si u_n<0, a-t-on u_n+1<0 ? u_n+1=3u_n− < − <5 0 5 0 Effectivement, pour tout n ≥2 u_n<0.

3.2 Suite bornée et limite

* Une suite

( )

un n_∈ℕ majorée par Mà partir du rang p si, pour tout entier n≥p^, u_n≤M ^.

* Une suite

( )

un n_∈ℕ minorée par mà partir du rang p si, pour tout entier n≥p^, un ≥m. Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Une suite est dite convergente ssi lim

n un

→+∞ existe dans ℝ_.

Une suite non convergente est dite divergente. Dans ce cas, sa limite peut être infinie ou encore peut ne pas exister (suites alternées par exemple).

Toute suite convergente est bornée, et par contraposée, toute suite non bornée est divergente.

Théorème de convergence monotone :

* Toute suite croissante et majorée converge.

* Toute suite décroissante et minorée converge.

En exercice, ces deux derniers résultats sont souvent efficaces pour montrer qu’une suite converge.

Théorème des gendarmes : si

( )

vn et

( )

wn convergent vers la même limite finie l, et si v_n ≤ ≤u_n w_n ^à partir d’un certain rang, alors la suite

( )

un converge vers l.

Théorème de comparaison :

si

( )

wn tend vers −∞^{, et si} un ≤wn à partir d’un certain rang, alors la suite

( )

un tend vers −∞^. si

( )

vn tend vers +∞^{, et si} un ≥vn à partir d’un certain rang, alors la suite

( )

un tend vers +∞^.

4 Etudes de suites particulières

4.1 Suites arithmétiques

Une suite est dite arithmétique lorsque la différence entre un terme et le précédent est constante :

1

n n

u ₊ −u =r Ce nombre fixé r est appelé raison de la suite.

L’évolution des valeurs, terme après terme, se fait donc « à vitesse constante ».

Si r < 0, la suite est décroissante, si r = 0, elle est constante, si r > 0, elle est croissante.

On a aussi les résultats suivants :

n 0

u =u + ×n r

( )(

⁰

)

0

1 2

n

n k

k

n u u

u

=

+ +

∑

=

pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1 sans avoir à calculer les premiers termes

précédents

En exercice, pour savoir si une suite est arithmétique, on montrera que u_n+1−u_n est constant.

Exemple : montrer que la suite

( )

un n_∈ℕ telle que u_n =2n+5 est arithmétique.

( ) ( )

1 2 1 5 2 5 2

n n

u ₊ − =u n+ + − n+ = . C’est une suite arithmétique de raison 2.

4.2 Suites géométriques

Une suite est dite géométrique lorsque le rapport entre un terme et le précédent est constant :

n 1 n

u q

u

+ =

Ce nombre fixé q est appelé raison de la suite. Il est en général choisi positif.

Dans le cas q positif et u₀ positif :

Si q < 1, la suite est décroissante, si q = 1, elle est constante, si q > 1, elle est croissante.

On a aussi les résultats suivants :

0 n

un= ×u q

1 0 0

1 1

n n k k

u u q q

+

=

= −

∑

−

pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1 sans avoir à calculer les premiers termes

précédents

En exercice, pour savoir si une suite est géométrique, on montrera que ^{n 1}

n

u u

+ est constant.

Exemple : Soit la suite

( )

un n_∈ℕ telle que ⁰

1

5

2 3

n n

u u ₊ u

=



= −

 . Montrer que la suite

( )

vⁿ n_∈ℕ telle que

n n 3

v = −u est géométrique.

( )

1 1 3 2 3 3 2 6 2 3

n 2

n n n n u

v ₊ =u ₊ − = u − − = u − = − = . C’est une suite géométrique de raison 2.

4.3 Suites arithmético-géométriques

Les objectifs principaux sont d’étudier le sens de variation de telles suites, et aussi de trouver leur expression fonctionnelle (u_n en fonction de n) en s’appuyant sur une autre suite, définie par un énoncé.

Exemple : Soit la suite

( )

un n_∈ℕ telle que ⁰

1

5

2 3

n n

u u ₊ u

=



= −

 .

1) Montrer que cette suite est strictement croissante.

1 3

n n n

u ₊ −u = −u , qui est strictement positif à condition que u_n>3. Montrons cela par récurrence :

* initialisation : u₀ = >5 3

* récurrence : supposons u_n >3 ; a-t-on u_n+1>3 ? u_n+1=2u_n− > × − =3 2 3 3 3. On a établi par récurrence que pour tout n, u_n>3.

Donc u_n+1−u_n >0 et la suite

( )

un n_∈ℕ est strictement croissante.

2) a. Montrer que la suite

( )

vⁿ n_∈ℕ telle que v_n=u_n−3 est géométrique.

( )

1 1 3 2 3 3 2 6 2 3

3 3 3 3 2

n n n n n

n n n n n

v u u u u

v u u u u

+ = + − = − − = − = − =

− − − − . C’est une suite géométrique de raison 2.

b. Exprimer v_n en fonction de n. réponse : v_n= ×v₀ 2ⁿ= × =2 2ⁿ 2ⁿ⁺¹ c. En déduire u_n en fonction de n. réponse : u_n = + =v_n 3 2ⁿ⁺¹+3

4.4 Exemple de suite récurrente plus complexe

Prenons l’exemple de la suite définie par :

2 1

5

2 1

n n

n

u u

+ = u +

+ .

Les variations d’une telle suite dépendent en général du choix de son premier terme.

Pour en savoir plus, on introduit la fonction :

2 5

2 1

f x x x

+

֏ + , ainsi que la droite d’équation y=x^. Ci-dessous : représentation graphique de ces deux expressions.

Après avoir choisi la valeur de u₀, on reporte cette dernière sur l’axe des abscisses.

Comme ^{u1 = f u}

( )

⁰ , on trouve cette dernière sur l’axe des ordonnées en s’appuyant sur la courbe de cette fonction ; puis, à l’aide de la droite, on replace u₁ sur l’axe des abscisses. On reprend le

processus pour positionner u2= f u

( )

1 , puis u3= f u

( )

2 , et ainsi de suite.

La figure ci-dessous montre quelques termes, à partir de u₀=8.

Par le calcul, on obtient u₀=8 ; u₁=4,0588 ; u₂=2,3552 ; u₃=1,8470 ; u₄=1,7919 ; u₅=1,7913 ; ...

On assiste à une progression « en escalier » qui semble converger vers le point d’intersection de la courbe et de la droite.