Chapitre 8

Chapitre 8 : géométrie dans l’espace ; synthèse

Notation : E : espace affine (ensemble de points) (E) espace vectoriel (ensemble de vecteurs) I. Repérage dans l’espace :

1. Coordonnées cartésiennes :

 Repère cartésien de E : 𝑅 = (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ) avec O un point, 𝑖 , 𝑗 𝑒𝑡 𝑘 3 vecteurs non coplanaires

 Base de (E) : 𝐵 = (𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ) avec 𝑖 , 𝑗 𝑒𝑡 𝑘 3 vecteurs non coplanaires

 ∀𝑀 ∈ E ∃! 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ³ tels que 𝑂𝑀 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘

 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 sont les coordonnées cartésiennes de 𝑀 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑅 𝑂𝑀 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵

 Le repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ) est orthogonal ⟺ idem géométrie plane

 Le repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ) est orthonormal ⟺ idem géométrie plane 2. Orientation dans l’espace

 Le repère 𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 est direct lorsque le repère 𝑂, 𝑖 , 𝑗 est direct quand on “regarde au dessus” de 𝑘 (les “3 doigts de la main droite”)

 Pour orienter un plan dans l’espace déjà orienté, on choisit une base (𝑢 , 𝑣 ) orthonormale de ce plan

 La base (𝑢 , 𝑣 ) sera directe lorsque (𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ) est directe (les 3 doigts de la main droite)

 La base (𝑢 , 𝑣 ) sera indirecte lorsque (𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ) est indirecte (les 3 doigts de la main gauche)

Dans toute la suite, le repère (𝑶, 𝒊 , 𝒋 , 𝒌 ) est orthonormal direct

3. Coordonnées cylindriques

(𝜌 ; 𝜃 ; 𝑧) sont les coordonnées cylindriques du point 𝑀 et du vecteur 𝑂𝑀 et on a : 𝑥 = 𝜌cos⁡(𝜃)

𝑦 = 𝜌sin⁡(𝜃) 𝑧 = 𝑧 4. Coordonnées sphériques :

(𝜌 ; 𝜃 ; 𝜑) sont les coordonnées sphériques du point 𝑀 et du vecteur 𝑂𝑀 et on a : 𝑥 = 𝜌 cos⁡(𝜃)sin⁡(𝜑)

𝑦 = 𝜌 sin⁡(𝜃)sin⁡(𝜑) 𝑧 = 𝜌 cos⁡(𝜑)

II. Produit scalaire (analogue au plan)

Définition : 𝑢 . 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos⁡(𝑢 , 𝑣 ) (𝑢 . 𝑣 = 0 lorsque 𝑢 ou 𝑣 est nul ) Propriétés : 𝑢 . 𝑣 = 0 ⟺ u ⊥ v

𝑢 = 𝑢 . 𝑢

Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique Dans une base ( 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ) orthonormale :

 𝑢 . 𝑣 = 𝑥𝑥^′ + 𝑦𝑦^′ + 𝑧𝑧′ ; 𝑢 = 𝑥² + 𝑦² + 𝑧²

 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝑥_𝐵 − 𝑥_𝐴 ²+ 𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴 ²+ (𝑧_𝐵 − 𝑧_𝐴)²

 𝑢 = (𝑢 . 𝑖 ) 𝑖 + (𝑢 . 𝑗 ) 𝑗 + (𝑢 . 𝑘 ) 𝑘 III. Produit vectoriel :

Définition :

𝑢 ∧ 𝑣 = 0 lorsque 𝑢 et 𝑣 sont colinéaires 𝑢 ∧ 𝑣 = 𝑤 𝑎𝑣𝑒𝑐

𝑤 ⊥ 𝑢 𝑒𝑡 𝑤 ⊥ 𝑣 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒 𝑤 = 𝑢 𝑣 sin⁡(𝑢 , 𝑣 )

Propriétés :

 𝑢 ∧ 𝑣 = 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙é𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚é 𝑝𝑎𝑟 𝑢 𝑒𝑡 𝑣

 Le produit vectoriel est une application bilinéaire et antisymétrique

 𝑢 𝑣 = 0 ⟺ 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 sont colinéaires

 Dans une base orthonormale directe : 𝑢 ∧ 𝑣 = 𝑦 𝑦′

𝑧 𝑧′ 𝑖 + 𝑧 𝑧′

𝑥 𝑥′ 𝑗 + 𝑥 𝑥′

𝑦 𝑦′ 𝑘 𝑤

𝑣

𝑢

IV. Produit mixte de trois vecteurs ; déterminant

Définition : 𝐷𝑒𝑡 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = 𝑢 . ( 𝑣 ∧ 𝑤 ) noté aussi [ 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ]

Dans une base orthonormale directe : 𝐷𝑒𝑡 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 =

x x′ x"

y y′ y"

z z′ z"

= cf chapitre 7

Propriétés :

 Le produit mixte (le déterminant) est antisymétrique (changement de signe si on permute 2 vecteurs )

 𝐷𝑒𝑡 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = ( 𝑢 ∧ 𝑣 ) . 𝑤

 Le produit mixte (le déterminant) est trilinéaire

 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 est une base directe ⟺ D𝑒𝑡 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 > 0

 𝐷𝑒𝑡 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = 0 ⟺ les vecteurs 𝑢 , 𝑣 𝑒𝑡 𝑤 sont coplanaires

 𝐷𝑒𝑡 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = Aire parallélépipède construit sur 𝑢 , 𝑣 𝑒𝑡 𝑤

 Donc : Volume du tétraèdre ABCD : ¹

6 Det(AB , AC , AD ) V. Plan dans l’espace :

Un plan de l’espace est défini par : 3 points non alignés 𝑃(𝐴𝐵𝐶)

1 point et 2 vecteurs non colinéaires ∶ 𝑃 𝐴, 𝑢 , 𝑣 1 point et un vecteur normal ∶ 𝑃 𝐴, 𝑛

1. Paramétrage d’un plan : Soit le plan 𝑃 𝐴, 𝑢 , 𝑣 on a :

𝑀 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ 𝑃 ⟺ 𝐴𝑀 , 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 ⟺ ∃ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ² 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒

𝑥 = 𝑥_𝐴 + 𝛼𝑢₁+ 𝛽𝑣₁ 𝑦 = 𝑦_𝐴 + 𝛼𝑢₂+ 𝛽𝑣₂ 𝑧 = 𝑧_𝐴+ 𝛼𝑢₃+ 𝛽𝑣₃

2. Equation cartésienne d’un plan

𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑃 𝐴𝐵𝐶 ⟺ 𝐷𝑒𝑡 𝐴𝑀 , 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 = 0 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑃 𝐴, 𝑢 , 𝑣 ⟺ 𝐷𝑒𝑡 𝐴𝑀 , 𝑢 , 𝑣 = 0 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑃 𝐴, 𝑛 ⟺ 𝐴𝑀 . 𝑛 = 0

Utile dans la pratique :

 Si A , B et C sont trois points non alignés du plan alors 𝐴𝐵 𝐴𝐶 est normal à (𝑃)

 L’équation cartésienne d’un plan est de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 et 𝑛 𝑎; 𝑏; 𝑐 est normal à (P)

VI. Droite de l’espace

Une droite de l’espace est définie par : 2 points 𝐷 = (𝐴𝐵)

1 point et un vecteur (directeur) 𝐷(𝐴, 𝑢 ) Paramétrage d’une droite : cf chapitre 4 : géométrie plane

NB : dans l’espace, on ne peut pas parler de l’équation d’une droite ; une droite est définie par un système de 2 équations cartésiennes de plans ;

la droite est alors vue comme l’intersection de ces 2 plans

.

Si 𝑛 est normal à (𝑃) et si 𝑛’ est normal à (𝑃’) alors 𝑛 𝑛 est directeur de 𝐷 = 𝑃 ∩ (𝑃^{′ ′}) VII. Sphère de l’espace :

Sphère de centre Ω et de rayon R : { 𝑀 ∈ E tels que Ω𝑀 = 𝑅 } Boule fermée de centre Ω et de rayon R : { 𝑀 ∈ E tels que Ω𝑀 ≤ 𝑅 } Boule ouverte de centre Ω et de rayon R : { 𝑀 ∈ E tels que Ω𝑀 < 𝑅 } Equation cartésienne d’une sphère

𝑀 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ 𝑆 Ω, 𝑅 ⟺ 𝑥 − 𝑎 ²+ 𝑦 − 𝑏 ²+ 𝑧 − 𝑐 ² = 𝑅² avec Ω(𝑎; 𝑏; 𝑐) VIII. Distances

Distance d’un point et d’un plan : 𝑑 𝑀₀, 𝑃 = ^{𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑}

𝑎²+𝑏²+𝑐² avec 𝑃 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 Distance d’un point à une droite : 𝑑 𝑀₀, 𝐷 = ^𝑢 𝐴𝑀 0

𝑢 avec 𝐷(𝐴, 𝑢 )