Produit scalaire
I/ Définitions, propriétés La norme d’un vecteur Soient u
et v
deux vecteurs.
La norme du vecteur u
est la longueur du vecteur u
se note || u
||.
Propriétés :
|| AB
|| = AB.
|| u
|| = 0 u
=0
|| 5u
|| = 5 || u
|| ; || - 3u
|| = 3 || u
|| ; || u
|| = | | . || u
||
En général, || u
+ v
|| || u
|| + || v
||
|| u
+ v
|| = || u
|| + || v
|| u
et v
ont la même direction et le même sens.
Propriété : - || u
|| - || v
|| || u
+ v
|| || u
|| + || v
||
1/ Première définition du produit scalaire, avec la projection orthogonale u
et v
sont deux vecteurs non nuls.
O, A et B sont trois points tels que u
= OA
et v
= OB
. H est le projeté orthogonal de B sur ( OA ).
Si OA
et OH
sont de même sens, alors u
.v
= OA . OH.
v
B
u
O H A
Attention, le produit scalaire de deux vecteurs est un réel.
Si OA
et OH
sont de sens contraires, alors u
.v
= - OA . OH B
v
u
H O A
Si O et H sont confondus, alors u
.v
= 0.
Dans ce cas * les vecteurs u
et v
sont orthogonaux ( on note u
v
) * OH
= 0
.
B v
u
H = O A
On peut examiner quelques cas particuliers : Propriété : si u
et v
ont la même direction et le même sens, alors u
.v
= || u
|| . || v
||.
Propriété : si u
et v
ont la même direction et sont de sens contraires, alors u
.v
= - || u
|| . || v
||.
Démonstration : si u
et v
ont la même direction et le même sens, alors B et H sont confondus, alors OH = OB.
Comme OA
et OH
ont le même sens, u
.v
= OA . OB = || u
|| . || v
||.
v
= OB
u
= OA
O B = H A
Démonstration : si u
et v
ont la même direction et sont de sens contraires, alors B et H sont confondus, alors OH = OB.
Comme OA
et OH
sont de sens contraires, u
.v
= - OA . OB = - || u
|| . || v
||.
v
= OB
u
= OA
B = H O A
Remarque : dans tous les cas, OA
. OB
= OA
. OH
. Exercice : ABC est isocèle en A. Montrer que B C
. BA
= B C
. AC
. A Soit M le milieu de [ BC ].
M est le projeté orthogonal de A sur [ BC ] donc
B C
. BA
= BC . BM = 1 2 BC
2 B M C
et B C
. AC
= BC . BM = 1 2BC
2.
Finalement, B C
. BA
= B C
. AC
.
Vecteur nul Si v
= 0
, alors O = H, alors OH = 0, alors OA . OH = 0. On dira que u
.0
= 0.
Si u
= 0
, alors O = A, alors OA = 0, alors OA . OH = 0. On dira que 0
.v
= 0.
C’est la moindre des choses pour un produit.
Orthogonalité
Définition : deux vecteurs u
etv
sont orthogonaux si u
.v
= 0.
On note u
v
.
Pour des vecteurs non nuls, cela revient à dire que deux vecteurs sont orthogonaux s’ils forment un angle droit.
Cela revient aussi à dire que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur, car u
.0
= 0.
L’orthogonalité se rencontre donc dans deux cas : * si cos = 0, c’est-à-dire si u
et v
forment un angle droit.
v
u
* si u
= 0
ou v
= 0
.
2/ Deuxième définition du produit scalaire, avec le cosinus : u
.v
= || u
|| || v
|| cos
où est l’angle formé par les vecteurs u
et v
( on note = (u
,v
) ).
On démontre que ces deux définitions sont équivalentes. Voir à la fin du fichier.
Remarque : - 1 cos 1 donc - || u
|| . || v
|| u
.v
|| u
|| . || v
||.
Exemple : si || u
|| = 2 et || v
|| = 3, alors - 6 u
.v
6.
Remarque : (u
,v
) est un angle orienté qui dépend du sens dans lequel on tourne pour aller de u
àv
. Les angles orientés ont un signe : (v
,u
) = - (u
,v
). Pour le produit scalaire, cela n’a pas d’importance car deux angles opposés ont le même cosinus : cos (v
,u
) = cos (u
,v
).
Le produit scalaire est le même dans ces deux cas : v
u
u
v
Propriété :u
.v
=v
.u
.
On dit que le produit scalaire est symétrique.
Démonstration : u
.v
= || u
|| || v
|| cos (u
,v
) = || v
|| || u
|| cos ( v
,u
) = v
.u
. En effet, les angles (u
;v
) et ( v
;u
) ont le même cosinus car ils sont opposés.
Si 0 < <
2 , alors cos > 0 et u
.v
0.
v
u
Si
2 < < , alors cos < 0 et u
.v
0.
v
u
Si u
et v
sont colinéaires et de même sens, alors = 0 donc cos = 1 donc u
.v
= || u
|| . || v
||.
Si u
et v
sont colinéaires et de sens contraires, alors = donc cos = - 1
donc u
.v
= - || u
|| . || v
||.
Orthogonalité
Avec cette définition, on peut aussi dire que u
et v
sont orthogonaux si u
.v
= 0.
Appliquons la règle du produit nul : u
.v
= 0 u
= 0
ou v
= 0
ou cos = 0.
On peut encore dire que u
v
u
= 0
ou v
= 0
ou u
et v
forment un angle droit.
3/ Propriétés On a vu que u
.v
= v
. u
. Le produit scalaire est symétrique.
Propriété : - 1 cos 1 donc - || u
|| . || v
|| u
.v
|| u
|| . || v
||
Propriété : ( 3 u
) .v
= 3 (u
.v
), on note 3 u
.v
. Démonstration : ( 3 u
) .v
= || 3u
|| . || v
|| cos ( 3 u
,v
)
= 3 || u
|| . || v
|| cos (u
.v
) = 3 u
.v
. Propriété : ( - 3 u
) .v
= - 3 (u
.v
), on note - 3 u
.v
. Démonstration : ( - 3 u
) .v
= || - 3u
|| . || v
|| cos ( - 3 u
,v
) = 3 || u
|| . || v
|| cos ( (u
,v
) + )
= - 3 || u
|| . || v
|| cos (u
,v
) = - 3 u
.v
. On montre de même que ( u
) .v
= ( u
.v
) et que u
. ( v
) = ( u
.v
).
Propriétés : (u
+v
) . w
= u
. w
+ v
. w
u
. ( v
+ w
) = u
.v
+ u
. w
L’ensemble de ces trois propriétés porte un nom : on dit que le produit scalaire est bilinéaire.
Démonstration : plus tard.
Question: est ce que (u
.v
) . w
= (u
.w
) .v
? Question : u
,v
et w
sont trois vecteurs non nuls. Est-ce que u
.v
= u
.w
v
= w
? Définition : carré scalaire d’un vecteur : u
2 = u
.u
= || u
|| 2. Propriété : AB
2
= AB 2.
Exercice : ABCD est un carré. I est le milieu de [ AB ] et J est le milieu de [ BC ].
Montrer que ( AJ ) ( DI ).
A D
I
B C J
AJ
. DI
= ( AB
+ BJ
) . ( DA
+ AI
) = AB
. DA
+ AB
. AI
+ BJ
. DA
+ BJ
. AI
. AB
. DA
= 0 car AB
DA
. AB
. AI
= AB . AI = 1 × 1 2 =
1
2 car AB
et AI
ont la même direction et le même sens.
BJ
. DA
= - 1
2 × 1 = - 1
2 car BJ
et DA
ont la même direction et le sens contraire.
BJ
. AI
= 0 car BJ
AI
. Finalement AJ
. DI
= 0 + 1 2 -
1
2 + 0 = 0 donc ( AJ ) ( DI ).
Exercice : ABC est isocèle en A. Montrer que BA
. B C
= AC
. B C
. A Soit M le milieu de [ BC ].
BA
. B C
= ( BM
+ MA
) . B C
= BM
. B C
+ MA
. B C
= BM
. B C
car MA
B C
. B M C AC
. B C
= ( AM
+ MC
) . B C
= AM
. B C
+ MC
. B C
= MC
. B C
car AM
B C
= BM
. B C
car BM
= MC
car M est le milieu de [ BC ].
Finalement, BA
. B C
= AC
. B C
.
Les trois identités : Propriété : || u
+ v
|| 2 = ||u
|| 2 + 2 u
.v
+ ||v
|| 2 Démonstration : || u
+ v
|| 2 = ( u
+ v
) . ( u
+ v
) = u
2
+ 2 u
.v
+ v
2
= ||u
|| 2 + 2 u
.v
+ ||v
|| 2 On montre de même que
|| u
- v
|| 2 = ||u
|| 2 - 2 u
.v
+ ||v
|| 2 et que ( u
+ v
) . ( u
- v
) = u
2 - v
2.
Exercice : i
2 = ? Question: est ce que (u
.v
) 2 = u
2
.v
2
? Remarques : pour tout vecteur u
, ( - u
) 2 = u
2
u
2 0
u
2 = 0 u
= 0
. Exercice : que peut-on dire si u
2
= v
2
?
Troisième définition du produit scalaire : avec la norme u
.v
= 1 2 ( || u
+ v
|| 2 - || u
|| 2 - || v
|| 2 )
Démonstration : c’est une conséquence immédiate de || u
+ v
|| 2 = ||u
|| 2 + 2 u
.v
+ ||v
|| 2.
3/ Quatrième définition du produit scalaire : avec les coordonnées dans un repère orthonormé Dans le plan
On donne les coordonnées de deux vecteurs : u
u u
1 2
et v
v v
1 2
Cela signifie que u
= u 1 i
+ u 2 j
et v
= v 1 i
+ v 2 j
. u
.v
= ( u 1 i
+ u 2 j
) . ( v 1 i
+ v 2 j
) = ( u 1i
) ( v 1i
) + ( u 1i
) ( v 2 j
) + ( u 2 j
) ( v 1i
) + ( u 2 j
) ( v 2 j
) = u 1 v 1 i
2 + u 1 v 2 i
. j
+ u 2 v 1 i
. j
+ u 2 v 2 j
2
= u 1 v 1 + u 2 v 2 car i
2 = j
2 = 1 et car i
. j
= 0.
Quatrième définition du produit scalaire : dans un repère orthonormé, u
.v
= u 1 v 1 + u 2 v 2 . On en déduit que || u
|| 2 = u
.u
= u 1 2 + u 2
2 puis que || u
|| = u12 u22 . Cette troisième définition permet d’achever la démonstration de la bilinéarité :
(u
+v
) . w
= ( u 1 + v 1 ) . w 1 + ( u 2 + v 2 ) . w 2. = u 1 w 1 + v 1 w 1 + u 2 w 2 + v 2 w 2.
u
. w
+ v
. w
= u 1 w 1 + u 2 w 2 + v 1 w 1 + v 2 w 2. donc (u
+v
) . w
= u
. w
+ v
. w
. On démontre de la même façon que u
. ( v
+ w
) = u
.v
+ u
. w
.
Exercice : dans un repère orthonormé, on donneu
5 7
et v
21 15 . u
et v
sont-ils orthogonaux ?
u
.v
= 5 × ( - 21 ) + 7 × 15 = - 105 + 105 = 0 donc u
et v
sont orthogonaux.
Exercice : ABCD est un carré. I est le milieu de [ AB ] et J est le milieu de [ BC ].
Montrer que ( AJ ) ( DI ).
A D
I
B C J
Travaillons dans le repère ( B ; BA
; BC
).
Ce repère est orthonormé car ABCD est un carré.
Dans ce repère donnons les coordonnée des point utiles : A ( 0 ; 1 ) ; B ( 0 ; 0 ) ; I ( 0 ; 1 2 ) ; J (
1 2 ; 0 ).
On en déduit que AJ
1 2
1
et que DI
1
1 2
donc AJ
. DI
= - 1 2 +
1 2 = 0 donc ( AJ ) ( DI ).
Dans l’espace
Si u
u u u
1 2 3
et v
v v v
1 2 3
, alors u
.v
= u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 .
On en déduit que || u
|| = u12 u22 u32
Exercice : donner la longueur de la diagonale d’un cube de côté 1.
G H
D C
E F
A B
Cherchons la longueur de la diagonale [ AH ].
Travaillons dans le repère ( A ; AB
; AD
; AE
).
Ce repère est orthonormé car ABCDEFGH est un cube.
Dans ce repère A ( 0 ; 0 ; 0 ) et H ( 1 ; 1 ; 1 ) donc AH
1 1 1
donc AH = 12 12 12 = 3.
Remarque : on trouve le même résultat en appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles ABF puis AFH.
Exercice : donner la longueur de la diagonale d’un pavé de dimensions 1, 2 et 3.
On trouve 12 22 32 = 14.
II/ Applications du produit scalaire 1/ La formule d’Al-Kashi
Soit ABC un triangle de côtés a, b et c. est l’angle opposé au côté de longueur a.
BC
2
= ( BA
+ AC
) 2 = AB
2 + AC
2 - 2 AB
. AC
= AB 2 + AC 2 - 2 AB . AC . cos .
Formule d’Al-Kashi : dans un triangle de côtés a, b et c, tel que est l’angle opposé au coté a, a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos .
Remarque : si est un angle droit, le triangle est rectangle et on retrouve le théorème de Pythagore.
Exemple : a = 4 ; b = 5 ; c = 6. Donner .
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos donc 4 2 = 5 2 + 6 2 - 2 × 5 × 6 cos donc 30 cos = 45 donc cos = 2
3 donc il y a deux solutions : 0,841 ou - 0,841.
En degré, cela fait 48,2 ° ou - 48,2 °.
En fait, on obtient deux triangles semblables :
b = 5
48,2 ° a = 4
a = 4 c = 6 c = 6 48,2 °
b = 5
Exemple : a = 4 ; b = 7 ; = 20°. Donner c.
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos donc 4 2 = 7 2 + c 2 - 2 × 7 × c cos 20°
donc c 2 - 14 c cos 20° + 33 = 0.
Cette équation du second degré admet deux solutions : c 9,78 ou c 3,37 ( 41,07 ).
c 9,8
a = 4 c 3,4 a = 4 = 20° = 20°
b = 7 b = 7
2/ Transformation de l’expression MA
. MB
. Soit I le milieu de [ AB ].
MA
. MB
= ( M I
+ IA
) ( M I
+ IB
) = M I
2
+ M I
. IB
+ M I
. IA
+ IA
. IB
= M I
2
+ M I
. ( IA
+ IB
) + IA
. ( - IA
) = M I
2
+ M I
.0
- IA
2
= M I
2 - AB
2
2
.
Propriété : l’ensemble des points M tels que MA
. MB
= 0 est le cercle de diamètre [ AB ].
Autrement dit : MA
. MB
= 0 M appartient au cercle de diamètre [ AB ].
Démonstration : Soit O le milieu de [ AB ]. O est aussi le centre du cercle de diamètre [ AB ]. Le rayon de ce cercle est AB
2 .
D’après la propriété précédente, MA
. MB
= 0 MO 2 - AB 2
2
= 0 MO 2 = AB
2
2
OM = R
M appartient au cercle de centre O et de rayon R
M appartient au cercle de diamètre [ AB ].
Cette propriété a été vue au collège : si ABM est rectangle en M, alors M appartient au cercle de diamètre [ AB ].
M
A B
Et la réciproque ? si M appartient au cercle de diamètre [ AB ], alors le triangle ABM est rectangle en M.
Au collège, cette réciproque est fausse. Enfin, elle est vraie pour tous les points du cercle sauf si M = A ou si M = B car dans un triangle, les sommets doivent être distincts.
Au collège, on dit « ( AM ) ( BM ) » ou « le triangle ABM est rectangle en M », ce qui n’a pas de sens si M = A ou M = B. En première, on peut dire « MA
. MB
= 0 », ce qui est vrai même si M = A ou M = B.
Montrons que les deux premières définitions du produit scalaire sont équivalentes Si u
= 0
ou v
= 0
, il est évident que les deux définitions donnent u
.v
= 0.
La suite concerne deux vecteurs u
etv
non nuls.
Premier cas : 0 < <
2 . Dans ce cas, OA
et OH
sont de même sens.
v
B
u
O H A
La première définition donne u
.v
= OA . OH.
La deuxième définition donne u
.v
= || u
|| || v
|| cos .
Dans le triangle rectangle OBH, cos = OH OB . Remarquons aussi que || u
|| = OA et que || v
|| = OB.
On en déduit que
|| u
|| || v
|| cos = OA . OB . OH
OB = OA . OH.
Les deux définitions du produit scalaire donnent bien le même nombre.
Deuxième cas Premier cas :
2 < < . Dans ce cas, OA
et OH
sont de sens contraires.
B v
- u
H O A
OA
et OH
sont de sens contraires donc la première définition donne u
.v
= - OA . OH.
La deuxième définition donne u
.v
= || u
|| || v
|| cos .
Dans le triangle rectangle OBH, cos ( - ) = OH
OB donc cos = - OH OB . Remarquons aussi que || u
|| = OA et que || v
|| = OB.
On en déduit que
|| u
|| || v
|| cos = OA . OB . ( - OH
OB ) = - OA . OH.
Les deux définitions du produit scalaire donnent bien le même nombre.
Troisième cas : = 2 . cos = 0 donc || u
|| || v
|| cos donc la première définition donne u
.v
= 0.
O et H sont confondus donc OH = 0 donc OA . OH = 0 donc la deuxième définition donne u
.v
= 0.
Les deux définitions du produit scalaire donnent bien le même nombre.
B v
u
H = O A
