Continuité des fonctions de matrices symétriques

A2021 – MATH II MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,

IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,

Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est

amené à prendre.

Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité

Dans ce problème, on propose de définir la notion d’image d’une matrice réelle symétrique par une fonction d’une variable réelle, puis d’étudier quelques propriétés de cette notion (en particulier, relativement à la continuité et à la convexité). Ces notions présentent un intérêt en sciences physiques (statistique ou quantique).

Notations

Dans tout le problème :

— ndésigne un entier naturel non nul ;

— si p etq sont des entiers naturels, l’ensemble des entiers k tels quep ≤k≤q est notéJp, qK;

— siietj sont des entiers naturels, alorsδ_i,j = 1 si i=j etδ_i,j = 0 sinon ;

— Bn désigne l’ensemble des bijections de J1, nK dans lui-même ;

— I est un intervalle deR qui n’est ni vide ni réduit à un singleton ;

— C⁰(I,R) désigne l’ensemble des fonctions continues de I dansR;

— une fonctionϕdeI dansR est dite polynomiale s’il existeP un polynôme réel tel que, pour toutx∈I,ϕ(x) =P(x) ;

— M_n(R) (respectivementD_n(R), resp.S_n(R), resp.O_n(R)), désigne l’ensemble des matrices carrées (resp. diagonales, resp. symétriques, resp. orthogonales) d’ordren à coefficients réels, et on confond un élément deM₁(R) avec son unique coefficient ;

— on note Tr l’application trace définie sur M_n(R) ;

— si M ∈ M_n(R), on note ^tM sa transposée, on note Sp(M) son spectre réel, et si (i, j)∈J1, nK

2, [M]_i,j est le coefficient deM situé à lai-ème ligne etj-ème colonne ;

— on munitM_n(R) de sa norme infinie, notée|| · || et définie par :

∀M ∈ M_n(R), ||M||= max{|[M]_i,j|,1≤i, j ≤n} ;

— S_n(I) désigne l’ensemble des matrices de S_n(R) dont le spectre réel est inclus dansI;

— si u = (u_i)_1≤i≤n ∈ Rⁿ, on dit que ce n-uplet est croissant si pour tout (i, j) ∈ J1, nK

2,

(i≤j) =⇒(u_i≤u_j) ;

— si i0 ∈ J1, nK, on appelle nombre d’occurrences de ui0 dans u le cardinal de l’en- semble{i∈J1, nK;u_i =u_i0};

— enfin Diag (ui)_1≤i≤ndésigne l’élément D de Dn(R) tel que :

∀i∈J1, nK, [D]_i,i =u_i

on pourra noter cet élément en extension D= Diag(u₁, . . . , u_n).

Matrices de permutations

Le but de cette partie est d’étudier l’action sur les matrices diagonales de la conjugai- son par des matrices de permutations. On considère l’applicationω de Bn dansM_n(R) définie par :

∀σ∈B_n,∀(i, j)∈J1, nK

2, [ω(σ)]_i,j =δ_i,σ(j).

1 . Démontrer que pour tout (σ, σ⁰)∈B_n²,ω(σ◦σ⁰) =ω(σ)ω(σ⁰).

2 . Démontrer queω(B_n)⊂O_n(R).

3 . Soitσ ∈B_n et (d_i)_1≤i≤n∈Rⁿ. Vérifier que :

Diag (di)_1≤i≤nω(σ) =ω(σ) Diag (d_σ(i))_1≤i≤n.

4 . En déduire l’équivalence suivante concernant deux éléments DetD⁰ de D_n(R), i) D et D⁰ ont le même ensemble de coefficients diagonaux, chacun ayant le

même nombre d’occurrences dans DetD⁰. ii) il existeM ∈ω(B_n) telle que D⁰ = ^tM DM.

Fonctions de matrices symétriques

Cette partie a pour objectif de définir une correspondance entre l’espace des fonctions deIdansRet l’espace des fonctions deS_n(I) dansS_n(R), puis d’en démontrer quelques propriétés. Dans cette partie, f est une fonction deI dansR.

5 . SoitS ∈S_n(I). Justifier l’existence de Ω∈O_n(R) et de (s_i)_1≤i≤n∈Iⁿ tels que : S= ^tΩ Diag (s_i)_1≤i≤nΩ.

6 . Pour tout (si)1≤i≤n∈Iⁿ, justifier l’existence d’un élément P de R[X] tel que :

∀i∈J1, nK, P(s_i) =f(s_i).

Soit S∈Sn(I). On suppose que l’on dispose des deux écritures : S = ^tΩ Diag (s_i)1≤i≤n

Ω et S = ^tΩ⁰Diag (s⁰_i)1≤i≤n Ω⁰, avec Ω,Ω⁰ ∈O_n(R) et (s_i)_1≤i≤n,(s⁰_i)_1≤i≤n∈Iⁿ.

7 . Montrer que l’on a alors :

tΩ⁰Diag f(s⁰_i)_1≤i≤nΩ⁰= ^tΩ Diag f(si)_1≤i≤nΩ, puis que ^tΩ Diag f(si)_1≤i≤nΩ∈Sn(R).

Dans la suite du problème, on note u l’application qui, à toute fonctionϕ de I dans R, associe u(ϕ) la fonction deSn(I) dans Sn(R) définie par :

∀S ∈Sn(I), u(ϕ)(S) = ^tΩ Diag ϕ(si)_1≤i≤nΩ, où S= ^tΩ Diag (s_i)_1≤i≤nΩ, avec Ω∈O_n(R) et (s_i)_1≤i≤n∈Iⁿ.

Cette fonction est bien définie puisque, d’après la question précédente, u(ϕ)(S) ne dépend pas du choix des matrices Ω∈On(R) etD= Diag (si)_1≤i≤navec (si)_1≤i≤n∈ Iⁿ, tel queS= ^tΩDΩ.

Enfin, on désigne par v l’application Tr◦u.

8 . Vérifier queuetv sont linéaires, puis calculer, pour toute fonctionϕde I dansR et pour toutx∈I,u(ϕ)(xI_n).

9 . Étudier l’injectivité et la surjectivité deu.

10 . On suppose que f est polynomiale ; montrer qu’il existe P ∈ R[X] tel que pour toutS ∈Sn(I),u(f)(S) =P(S).

Réciproquement, est-il vrai que, s’il existeP ∈R[X] tel que pour tout S∈Sn(I), u(f)(S) =P(S), alors f est polynomiale ?

11 . Démontrer que, si (ϕ_k)_k∈N est une suite de fonctions de I dans R qui converge simplement sur I vers une fonction ϕ, alors les suites u(ϕk)_k∈N et v(ϕk)_k∈N convergent simplement surS_n(I).

Y a-t-il convergence uniforme sur S_n(I) si l’on suppose que (ϕ_k)_k∈N converge uniformément surI?

Norme et convexité

L’objectif de cette partie est de munirS_n(R) d’une nouvelle norme qui permettra de compléter l’étude des fonctions de matrices symétriques.

12 . On note Σ =ⁿX∈ M_n,1(R) ; ^tX X = 1^o. Démontrer que siS ∈Sn(R) on a : min Sp(S)= min^tX S X;X ∈Σ et max Sp(S)= max^tX S X;X∈Σ . 13 . Montrer finalement queS_n(I) est une partie convexe deS_n(R) et que l’application

ρ, de S_n(R) dans R, qui à toute matriceM ∈S_n(R) associe max|λ|;λ∈Sp(M) ,

est une norme sur S_n(R).

Continuité des fonctions de matrices symétriques

Dans cette partie, à l’aide de la norme précédemment introduite, on démontre quelques résultats relatifs à la continuité des fonctions de matrices symétriques. On suppose dé- sormais Sn(R) muni de la norme ρ et on appelle χ l’application de Sn(R) dans R[X]

qui, à tout élément de Sn(R), associe son polynôme caractéristique.

On définit aussi l’application, notée Sp_↑, qui à toute matrice S ∈S_n(R), associe son spectre croissant (c’est-à-dire len-uplet croissant des valeurs propres deSdans lequel le nombre d’occurrences de chaque valeur propre coïncide avec son ordre de multiplicité).

14 . Démontrer queχ est continue.

On souhaite maintenant prouver que Sp_↑ est continue. À cet effet, on introduit un élémentM de S_n(R) et une suite (M_k)_k∈N à valeurs dansS_n(R) qui converge vers M.

Sik∈N, on note Λk= Sp_↑(Mk).

15 . Démontrer que la suite (Λ_k)_k∈N admet une valeur d’adhérence croissante.

16 . Montrer que, siαest une application strictement croissante deNdansNtelle que la suite (Λ_α(k))_k∈N converge, alors : Λ_α(k)−−−−→

k→+∞ Sp_↑(M).

17 . En déduire que Sp_↑ est continue.

18 . Démontrer queOn(R) est une partie compacte deM_n(R).

19 . Démontrer que, siϕ∈ C⁰(I,R), alors u(ϕ) et v(ϕ) sont continues.

Convexité des fonctions de matrices symétriques

On démontre maintenant quelques résultats relatifs à la convexité des fonctions de matrices symétriques. Dans cette partie, f est une fonction de I dans R.

20 . On suppose ici quef est convexe sur I et que S∈S_n(I). On note U_S =^tΩSΩ ; Ω∈O_n(R) .

Justifier que pour tout U ∈ U_S, pour toutk∈J1, nK, [U]_k,k∈I.

Démontrer alors que : max

( _n X

k=1

f [U]_k,k;U ∈ U_S )

=v(f)(S).

21 . En déduire que, si f est convexe sur I, pour tout (A, B) ∈ S_n(I)², pour tout t∈[0,1], on a :

v(f) (1−t)A+t B≤(1−t)v(f)(A) +t v(f)(B).

On dit qu’une fonction ψ de S_n(I) dans R est convexe sur S_n(I) si elle vérifie la relation :

∀(A, B)∈Sn(I)², ∀t∈[0,1], ψ (1−t)A+tB≤(1−t)ψ(A) +tψ(B).

22 . Démontrer finalement que la fonctionv(f) est convexe sur S_n(I) si, et seulement si,f est convexe sur I.

Fin du problème