x √x2+ 3 L’équation cherchée en a est : y=f′(a)(x−a) +f(a)⇔y= a √a2+ 3(x−a

(1)

Terminale S Devoir maison n˚4 2018 - 2019

EXERCICE 1 : Soit f(x) =√

x²+ 3 pour tout x réel etC la courbe représentative def.

1. Équation de la tangente à la courbe C en son point d’abscisse a où a est un réel quelconque :

f = √

u est dérivable sur R car u : x 7→ x² + 3 est dérivable et strictement positive sur R. f^′ = u^′

2√

u donc, pour tout x∈R, f^′(x) =. . .= x

√x²+ 3

L’équation cherchée en a est : y=f^′(a)(x−a) +f(a)⇔y= a

√a²+ 3(x−a) +√ a²+ 3

y= a

√a²+ 3x+ 3

√a² + 3

2. (a) il existe une tangente à C parallèle à la droite d’équation y = 1

2x si et seulement si, il existe a tel que f^′(a) = 1

2 ⇔ a

√a²+ 3 = 1 2 (C1).

√ a

a²+ 3 = 1

2 ⇒ a²

a² + 3 = 1

4 ⇔4a² =a² + 3⇔a² = 1⇔a= 1 oua=−1.

Parmi les deux solutions, seule la solution a = 1 est valable (elle remplit la condition (C1)). Au point deC d’abscisse 1, la tangente est parallèle à la droite d’équation y= 1

2x.

Elle a pour équation : y= 1 2x+ 3

2

(b) Une tangente à C passe par le point P(0; 1) si, et seulement si, 1 = 3

√a²+ 3 (C2)

1 = 3

√a²+ 3 ⇒ a² + 3 = 9 ⇔ a² = 6 ⇔ a = √

6 oua = −√

6. Les deux solutions conviennent car les valeurs vérifient la condition (C2).

Les équations des deux tangentes sont : y =

√6

3 x+ 1 et y=−

√6 3 x+ 1.

• • EXERCICE 2 :

Une méthode consiste à poser f(x) = cos³(x) + sin³(x) définie surR. Résoudre l’équation revient à résoudre f(x) = 1.

∀x ∈ R, f(x+ 2π) = f(x) donc f est 2π−périodique ; on peut donc se contenter d’étudier f sur [0; 2π[.

f = cos³+ sin³ dérivable sur R etf^′ = 3 cos^′cos²+3 sin^′sin² =−3 sin cos²+3 cos sin². Pour tout x dans [0; 2π[,

f^′(x) =−3 sin(x) cos²(x) + 3 cos(x) sin²(x) = 3 sin(x) cos(x)(sin(x)−cos(x)) Annulation sur [0; 2π[ : f^′(x) = 0⇔sin(x) = 0 ou cos(x) = 0 ou sin(x) = cos(x)⇔

x= 0 oux=π oux= π

2 oux= 3π

2 oux= π

4 oux = 5π 4

Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 3

(2)

Signe sur [0; 2π[ : Pour le signe de sin(x) et de cos(x), on reporte dans le tableau sans justifier.

sin(x)−cos(x)>0⇔sin(x)>cos(x) ; une simple référence au cercle trigonométrique donne : sur [0; 2π[, sin(x)>cos(x)⇔x∈]^π₄;⁵₄^π[.

De même, sur [0; 2π[, sin(x)<cos(x)⇔x ∈[0;^π₄[∪]⁵₄^π; 2π].

On résume dans un tableau : x

Signe de sin(x) Signe de cos(x)

Signe de sin(x)−cos(x)

Signe de f^′(x) Variations

def

0 ^π₄ ^π₂ π ⁵₄^π ³₂^π 2π

+ + + 0 − − −

+ + 0 − − − 0 +

− 0 + + + 0 − −

0 − 0 + 0 − 0 + 0 − 0 +

11

v1

11

−1

v₂ v₂

−1

11

v1 =f(^π₄) = cos³(^π₄) + sin³(^π₄) = 1 8(2√

2 + 2√ 2) =

√2 2 v2 =f(⁵₄^π) = cos³(⁵₄^π) + sin³(⁵₄^π) = 1

8(−2√

2−2√

2) = −

√2 2

On remarque donc que dans l’intervalle [0; 2π[,f(x) = 1⇔x= 0 oux= π 2. Finalement, compte-tenu de la périodicité, l’ensemble des solutions sur R est :

S ={2kπ, k ∈Z} ∪ {(4k+ 1)^π₂, k∈Z}

• • EXERCICE 3 :

Soit θ un réel de l’intervalle [0; 2π]. On considère l’équation (E) d’inconnue z : z²−6zcos(θ) + 9 = 0

• On reconnaît une équation du second degré, il est aisé d’en calculer le discriminant :

∆ =b²−4ac= (−6 cos(θ))²−4×9 = 36(cos²(θ)−1) = −36 sin²(θ).

⊲ Siθ /∈ {0;π; 2π}, ∆<0 et l’équation admet deux racines complexes conjuguées qui sont z1 = 3(cos(θ) + i sin(θ)) et z1 = 3(cos(θ)−i sin(θ))

⊲ Siθ ∈ {0;π; 2π}, ∆ = 0 et l’équation n’admet qu’une seule solution réellez3 = 3 pourθ = 0 ouθ = 2π, et z4 =−3 pour θ =π.

• Dans tous les cas, pour tout z ∈ {z1, z2, z3, z4}, on a : Re(z)²+ Im(z)² = 9

(3)

ce qui signifie que, dans le plan complexe, le pointM(z) appartient au cercle de centre O et de rayon 3.

réciproquement, si l’on considère un point d’affixe z du cercle de centre O et de rayon 3, on peut dire, via la trigonométrie élémentaire, qu’il existe θ ∈[0; 2π] tel que z = 3 cos(θ) + 3i sin(θ).

z est solution de l’équation (E) ; en effet,

(3 cos(θ) + 3i sin(θ))²−6(3 cos(θ) + 3i sin(θ)) cos(θ) + 9

=9 cos²(θ) + 18i sin(θ) cos(θ)−9 sin²(θ)−18 cos²(θ)−18i sin(θ) cos(θ) + 9

=−9(sin²(θ) + cos²(θ)) + 9

= 0

L’ensemble décrit dans le plan complexe par les points images des solutions de (E) quandθdécrit [0; 2π] est donc bien le cercle de centre O et de rayon 3.

• •