Exercice 1.1. Montre que l’algèbre de Weyl A

Travaux dirigées Introduction aux D-modules - C. Huyghe, A. Marmora Année 2013-2014

1 TD4 – D-modules, algèbre de Weyl, cohomologie de de Rham

Exercice 1.1. Montre que l’algèbre de Weyl A

:= C [x, ∂

] est simple, c’est-à-dire que ses idéaux bilatéraux sont (0) et A

.

Exercice 1.2. Soient K un corps de caractéristique zéro et X = A

= Spec(K[x]). Calculer la variété caracté- ristique des modules suivants :

1. D

; 2. O

; 3. D

/ D

∂

; 4. D

/ D

x ; 5. D

/ D

(x∂

) ; 6. D

/ D

(x

∂

+ 1) ;

7. M

:= D

/ D

(x∂

− α)

, pour α ∈ K et p ≥ 1 entier.

Lesquels des ses modules sont holonomes ? Lesquels holonomes réguliers ?

Exercice 1.3. Soit p : C → C l’application z 7→ z

. Calculer le D-module image directe par p de O

. Est-il holonome ?

Exercice 1.4. Dans cet exercice on se propose de démontrer la version suivante du lemme du serpent.

Soit A un anneau unitaire (non nécessairement commutatif). Supposons d’avoir un diagramme commutatif de A-modules

M

^//

f⁰

M

β1

// M

f⁰⁰

// 0

0 ^// N

^// N

^// N

où les lignes sont exactes. Montrer qu’il existe une suite exacte

ker( f

) −→

ker( f) −

→

ker( f

) − →

coker( f

) −→

coker( f ) −

→

coker( f

) qui s’insère dans le diagramme commutatif

0

0

0

ker( f

)

^//

ker( f )

β0

// ker( f

)

δ

M

^//

f⁰

M

β1

// M

f⁰⁰

// 0

0 ^// N

α2

// N

β2

// N

// coker( f

)

^//

coker( f )

β3

// coker( f

)

0 0 0

où les colonnes sont les suites exactes canoniques associées aux noyaux et conoyaux.

De plus, montrer que α

est injectif si et seulement si α

est injectif ; de même, montrer que β

est surjectif si et seulement si β

est surjectif.

Exercice 1.5. Calculer la cohomologie de Rham de A

et de P

.

1