EXERCICE 1 Soit A =

TS/Spé Puissances de matrices et inverse _2013-2014

EXERCICE 1 Soit A =





1 1 1 0 1 1 0 0 1



.

1. Quelle particularité a cette matrice ? 2. Calculer A

, A

et A

.

3. Émettre des conjectures sur A

. Les démontrer.

EXERCICE 2 On considère une matrice carrée A = (a

) ∈ M

( R ) telle que : a

= 0 si i > j et a

= i + j si i < j

1. Écrire la matrice A avec tous ces coefficients. Quelle particularité a cette matrice ? 2. Calculer A

, A

et A

.

3. En déduire A

pour tout entier naturel non nul n.

EXERCICE 3 Soit A =





1 2 2 2 1 2 2 2 1



. On souhaite calculer A

pour n entier naturel.

1. Calculer les premières puissances de A à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice. Quelle forme particulière remarque-t-on pour ces matrices ?

2. (a) Écrire A sous la forme 2B − I

, où I

est la matrice identité d’ordre 3 et B une matrice à préciser.

(b) Montrer que B

= 3B.

(c) En déduire A

en fonction de B et I

, puis A

.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout n > 1, A

= ( − 1)

I

+ 1

3 (5

− ( − 1)

)B.

4. Écrire A

avec tous ces coefficients en fonction de n, pour n ∈ N

EXERCICE 4 Soit A =





2 1 0

− 1 2 3

0 5 6



.

1. Soit B =



 3

− 6 5



. Calculer le produit AB.

2. En déduire que A n’est pas inversible.

EXERCICE 5 Soit A =





1 0 0

− 1 1 0

− 1 − 1 1



 et N =





0 0 0 1 0 0 1 1 0



.

1. (a) Calculer N

puis N

.

(b) Développer puis simplifier l’ expression :

(I − N)(I + N + N

) 2. En déduire que A est inversible et calculer A

.

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