AIDE AU TRAVAIL PERSONNEL - MATHÉMATIQUES 2de - CALCUL ALGÉBRIQUE -
Savoir CALCULER AVEC DES PUISSANCES
Tous les calculs se font sans calculatrice.
Ils utilisent les formules de collège sur les puissances.
Retenez bien qu'une même formule peut servir à deux choses.
Par exemple ( a × b )n = an × bn peut servir :
- à réduire 57 × 27 en 107 qui se calcule facilement,
- à décomposer 153 en 33 × 53 pour pouvoir simplifier une fraction.
L'exercice 1. est purement numérique.
Les exercices 2. et 3. utilisent les mêmes formules mais en calcul littéral.
L'exercice 4. est un exercice d'approfondissement.
1.
Écrire sous la forme d'un entier ou d'une fraction irréductible :A = 57 × 210 ; B = ((72)5)7
((77)2)5 ; C = 107
54 ; D = 153
63 ; E = 213 × 14‒3 ; F = 153 × 45
27 × 1 000 ; G = 235 × 0,536 .
2.
Simplifier les écritures suivantes : H = b²a3 × a² b3 × b
a ; I = (2a)5 × a11
(2a2)4 ; J = (a3b5)3
(a5b7)2 ; K = (a2b2)3 × (a3b)5 a6 × (a3b2)6 × b .
3.
n et k désignent des nombres entiers positifs.Simplifier les écritures, sous la forme d'un entier ou d'une fraction irréductible : a) L =5n+2
5n ; M = 7k–1
7k+1 ; N = 32n
3n ; P = 102k+3
102k–5 ; Q = 5n–1 × 3n
3n+2 × 5n–2 ; R = 22n+1 × 2n 23n . b) S =23 × (2n)2
21+2n ; T = 10m+n
2m × 5n ; U = 6k 2k+1 × 3k+1 .
4.
a) Calculer et vérifier que 210 est très proche de 103 . b) Montrer qu'une estimation de 230 est un milliard.c) Sans calculer sa valeur, donner une estimation de l'écriture scientifique de 233 . En déduire le nombre de chiffres qu'il faut utiliser pour écrire ce nombre.
d) Même question avec le nombre 247 .
e) Le plus grand nombre premier actuellement connu a été découvert le 23 août 2008 par des chercheurs de l'Université de Californie à Los Angeles (UCLA).
Il s'agit d'un nombre de Mersenne, de la forme 2n ‒ 1 . Il vaut 243 112 609 ‒ 1 .
Donner une estimation du nombre de chiffres qu'il faut utiliser pour l'écrire.
À raison d'un chiffre par seconde, combien de temps mettrait-on pour l'écrire ?
