quelques méthodes de calcul numérique
Utilisation des formules sur les puissances
85 = (23)5 = 23×5 = 215 car 8 = 23 et (an)m = an××××m 104 = (2 × 5)4 = 24× 54 car (ab)n = an×××× bn 203 = (2² × 5)3 = (2²)3× 53 = 28× 53
donc 85 × 104
203 = 215 × 24 × 54
28 × 53 = 215 × 24 28 ×55
53 = 215+4−853−2 = 2115 car an×××× am = an+m et an
am = an−−−−m
Passer de l'écriture décimale d'un nombre à la notation scientifique 86315 doit s'écrire a × 10n
a est compris entre 1 et 10 , donc a = 8,6315 et 86 315 = 8,6315 × 10 000 = 8,6315 × 104 (Pour passer de 8,6315 à 86 315 , il faut décaler la virgule de 4 rangs vers la droite) 0,00023 = 2,3
10 000 = 2,3
104 = 2,3 × 10− 4 car a−−−−n = 1 an
(Pour passer de 2,3 à 0,00023 , il faut décaler la virgule de 4 rangs vers la gauche)
Utilisation des formules sur les racines
Par définition de la racine , 5 × 5 = ( 5)² = 5
48 = 16 × 3 = 16 × 3 = 4 3 , 16 est le plus grand carré qui divise 48
Sommer des puissances ou des racines carrées
Il n'existe pas de formules pour simplifier an + am ou an + bn ou a + b mais on peut transformer les écritures pour factoriser
48 + 75 = 16 × 3 + 25 + 3 = 4 3 + 5 3 = (4 + 5) 3 = 9 3
4 × 104 + 3 × 103 = 4 × 10 × 103 + 3 × 103 = 40 × 103 + 3 × 103 = (40 + 3)103 = 43 × 103
Utilisation des identités remarquables (a + b)² = a² + 2ab + b²
(3x + 4y)² = (3x)² + 2(3x)(4y) + (4y)² = 3²x² + (2×3×4)xy + 4²y² = 9x² + 24xy + 16y² (a − b)² = a² − 2ab + b²
(3 2 − 5)² = (3 2)² − 2×3 2× 5 + ( 5)² = 18 − 6 10 + 5 = 23 − 6 10 (a − b)(a + b) = a² − b²
( 5 − 2)( 5 + 2) = ( 5)² − ( 2)² = 5 − 2 = 3
Eliminer les racines au dénominateur des fractions 15
2 5 ; on multiplie le numérateur et le dénominateur par 5 15 × 5
2 5 × 5 = 15 5
2 × 5 = 3 × 5 × 5
2 × 5 = 3 5 2 6
5 − 2 ; on multiplie le numérateur et le dénominateur par 5 + 2 6( 5 + 2)
( 5 − 2)( 5 + 2) = 6( 5 + 2)
( 5)² − ( 2)² = 6( 5 + 2)
5 − 2 = 6( 5 + 2)
3 = 2( 5 + 2)
Simplification de fractions : ka kb = a
b 48
72 = 8 × 6 8 × 9 = 6
9 = 2 × 3 3 × 3 = 2
3
On peut utiliser la décomposition en nombres premiers : 48
72 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2
3 On peut utiliser le PGCD de 48 et 72 qui est 24. 48
72 = 24 × 2 24 × 3 = 2
3 Addition de fractions : a
c + b
c = a + b c 3
4 − 1
5 = 3×5 4×5 − 1×4
4×5 = 15 20 − 4
20 = 11 20
On doit rechercher le plus petit dénominateur commun 5
6 + 1
8 ; on ne choisit pas 48 = 6 × 8 , mais 24 qui est un multiple de 6 et 8 5
6 + 1 8 = 5×4
6×4 + 1×3 8×3 = 20
24 + 3 24 = 23
24 Pour ajouter un entier n , on écrit n
1 5 + 1
3 = 5 1 + 1
3 = 15 3 + 1
3 = 16 3 Multiplication de fractions : a
b××××c
d = a ×××× c b ×××× d 24
25×15
32× 10 = 24 × 15 × 10
25 × 32 = 8 × 3 × 5 × 3 × 5 × 2
5 × 5 × 8 × 4 = 3 × 3 × 2
4 = 9 × 1 2 = 9
2 On simplifie avant de faire le produit
Division de fractions : diviser par un nombre , c'est multiplier par son inverse 7
3 2 5
= 7 3 × 5
2 = 35 6
Priorité des opérations 13 − 5 ×
1 2
2
On commence par la puissance 13 − 5 × 1
4
Ensuite la multiplication 13 − 5
4 Puis l'adition 13 × 4 − 5
4 = 47 4
1 3 + 1 1 5 + 1
2
signifie en fait (1
3 + 1)/(1 5 + 1
2) On commence par les parenthèses 1
3 + 1 = 4 3 et 1
5 + 1 2 = 7
10 donc
1 3 + 1 1 5 + 1
2 =
4 3 7 10
= 4 3 × 10
7 = 40 21
Fractions et racines carrées 48
72 = 16 × 3 36 × 2 = 4 3
6 2 = 4 × 3 × 2
6 × 2 × 2 , pour éliminer 2 au dénominateur = 2 × 2 × 6
2 × 3 × 2 , on décompose 4 et 6 et 2 × 2 = 2 = 6
3
