On consid` ere une particule quantique soumise ` a un potentiel quartique. L’´ equation de Schr¨ odin- ger stationnaire est

L3 - Physique-Chimie 23 octobre 2015 M´ ecanique quantique

Potentiel quartique – M´ ethode variationnelle

On consid` ere une particule quantique soumise ` a un potentiel quartique. L’´ equation de Schr¨ odin- ger stationnaire est

~ ² 2m

− d ² dx ² + 1

3 α x ⁴

ϕ(x) = E ϕ(x) . (1)

1/ Pour simplifier, on pourra poser E = ~ ² λ/(2m). Quelle est la dimension de λ ? Et de la constante de couplage α ? Par un argument d’analyse dimensionnelle, d´ eduire l’´ energie fonda- mentale E ₀ (` a un facteur d’ordre 1 pr` es).

2/ Comme on ne sait pas r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle simplement, on cherche la fonction d’onde de l’´ etat fondamental sous la forme d’un

ansatz

(une fonction d’essai)

ϕ(x) = C e ⁻

^{ω x}

, (2) d´ ependant d’un param` etre ω que nous allons d´ eterminer. Exprimer la constante de normalisation C en fonction de ω.

3/ Justifier que l’´ energie cin´ etique moyenne est donn´ ee par hE _c i _ϕ =

Z

dx ~ ² 2m

dϕ(x) dx

2

. (3)

Calculer explicitement hE _c i _ϕ pour la fonction d’onde (2) (en fonction de ω et ~ ² /(2m)).

4/ Calculer l’´ energie potentielle moyenne hE _p i _ϕ . Interpr´ eter physiquement la d´ ependance de hE _c i _ϕ et hE _p i _ϕ en fonction de ω (penser ` a l’in´ egalit´ e de Heisenberg).

5/ Principe variationnel.– On admet que la

meilleure

valeur du param` etre ω (i.e. celle pour laquelle la fonction test est la plus proche de la solution de l’´ equation diff´ erentielle), est celle qui minimise E _ϕ (ω) = hE _c i _ϕ + hE _p i _ϕ . D´ eduire la valeur optimale de ω, not´ ee ω ∗ , puis l’´ energie associ´ ee E ₀ ^var = E _ϕ (ω ∗ ). Comparer avec l’´ energie fondamentale obtenue num´ eriquement

E 0 ' 0.7352 pour ~ = 2m = α = 1 . (4)

6/ Facultatif.– Adapter l’analyse pr´ ec´ edente ` a l’´ etude de l’´ energie du premier ´ etat excit´ e.

Comparer au r´ esultat num´ erique E 1 ' 2.6345 pour ~ = 2m = α = 1. Quelle complication apparaˆıt ` a partir du deuxi` eme ´ etat excit´ e ?

Annexe : on donne les int´ egrales Z +∞

−∞

dx x ²ⁿ e ⁻

^x

√ 2π = (2n − 1)!! = (2n − 1) × (2n − 3) × 5 × 3 × 1 (5)

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