1/ Rappeler l’´ equation de Schr¨ odinger d´ ependant du temps pour la fonction d’onde ψ(x, t) d´ ecrivant l’´ etat quantique d’une particule de masse m sur une ligne, soumise au potentiel V (x).

Nom : Christophe Texier L3 - Physique-Chimie

Test de m´ ecanique quantique – 29 octobre 2015

1/ Rappeler l’´ equation de Schr¨ odinger d´ ependant du temps pour la fonction d’onde ψ(x, t) d´ ecrivant l’´ etat quantique d’une particule de masse m sur une ligne, soumise au potentiel V (x).

i ~ ∂

∂t ψ(x, t) = − ~

2m

∂

∂x

ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) 2/ Quel est le sens physique de ψ(x, t) ?

|ψ(x, t)|

dx = Proba {particule ∈ [x, x + dx]}

i.e. ψ(x, t) est une amplitude de densit´ e de probabilit´ e.

3/ Marche de potentiel.– On consid` ere la situation o` u le potentiel est V (x) = 0 pour x < 0 et V (x) = V

> 0 pour x > 0.

a) Justifier que la fonction d’onde ψ(x, t) = ϕ(x) e

d´ ecrit une particule d’´ energie E bien d´ etermin´ ee. Comment d´ epend-t-elle de ω ? Comment appelle-t-on un tel ´ etat ? ` A quelle ´ equation diff´ erentielle ob´ eit ϕ(x) ?

une unique pulsation ω ⇔ une unique ´ energie E = ~ ω (Planck-Einstein)

ψ(x, t) = ϕ(x) e

est un ´ etat stationnaire. ϕ(x) ob´ eit ` a l’´ equation diff´ erentielle ϕ

(x) = 2m

~

(V (x) − E)ϕ(x) (1)

b) On consid` ere le cas o` u E < V

. Montrer que la fonction d’onde ϕ(x) est de la forme

ϕ(x) = e

+ r e

pour x < 0 (2)

= (1 + r) e

pour x > 0 (3)

o` u k et q sont r´ eels et positifs. Que repr´ esentent les diff´ erents termes de ϕ(x) ? Comment k et q sont-ils reli´ es ` a E et V

? Pourquoi n’y a-t-il pas de terme e

?



 

 

e

: onde incidente r e

: onde r´ efl´ echie (1 + r) e

: onde ´ evanescente

• Pour x < 0 (r´ egion permise classiquement), en posant E =

, l’´ eq. (1) prend la forme ϕ

(x) = −k

ϕ(x) ⇒ solutions e

ou e

• Pour x > 0 (r´ egion interdite classiquement), en posant E = V

−

, l’´ eq. (1) prend la forme

ϕ

(x) = +q

ϕ(x) ⇒ solutions e

ou e

on ´ elimine la premi` ere qui n’est pas normalisable.

1

c) On impose la continuit´ e de la d´ eriv´ ee ` a l’origine : ϕ

(0

) = ϕ

(0

). D´ eduire r en fonction de k et q. Que vaut |r| ? Justifier physiquement.

ϕ(x) est d´ ej` a continue en x = 0. Reste ` a imposer la continuit´ e de ϕ

(x)

⇒ −(1 + r)q = ik(1 − r), d’o` u r = ik + q

ik − q o` u l’on rappelle que q = q

k

− k

avec V

= ~

k

2m (4)

|ik + q| = |ik − q| ⇒ |r| = 1, i.e. la probabilit´ e de r´ eflexion est R = |r|

= 1.

On s’y attendait puisque la fonction d’onde ne p´ en` etre que sur une distance finie ∼ 1/q dans la marche de potentiel.

On peut facilement v´ erifier que le courant J

=

Im

ϕ

(x)ϕ

(x)

est nul pour x > 0, donc ´ egalement pour x < 0, ce qui implique que r = e

.

d) Bonus : ^{Que vaut r} dans la limite E → 0 et E → V

; dessiner l’allure de la fonction d’onde dans les deux cas.

• Pour E → 0 (pr´ ecis´ ement E V

ou k k

), on a k → 0 et q → k

, donc r → −1 la marche devient effectivement imp´ en´ etrable puisque la fonction d’onde prend la forme

ϕ(x) ' 2i sin kx pour x < 0

-100 -80 -60 -40 -20 x

-0.2 -0.1 0.1 0.2

φ(x)

• Pour E → V

(pr´ ecis´ ement E − V

V

ou q k

), on a k → k

et q → 0, donc r → +1. Dans cette situation la fonction d’onde p´ en` etre dans la marche de potentiel sur une distance ∼ 1/q beaucoup plus grande que la longueur d’onde λ = 2π/k. La fonction d’onde est de la forme

ϕ(x) ' 2 cos kx pour x < 0

-20 -10 10 20 30 x

-2 -1 1 2

φ(x)

2