1 Groupe « Centrale »

(1)

Récolte 2019 (53 planches)

1 Groupe « Centrale »

1.1 Écoles Centrale, Sup’Optique

Exercice 1 : Centrale MP 2018 maths 1 (Thomas Maurette) PLANCHE A DEBUGUER PUIS CORRIGER !

Soitf une application réelle de classeC^∞sur[0,1]et vérifiant :

∀x∈[0,1], ∃n∈N / f⁽ⁿ⁾(x) = 0.

On dit quef est polynomiale sur un intervalleIde[0,1]lorsquef coïncide surIavec la fonction polynomiale associée à un polynôme.

Le but de l’exercice est de démontrer quef est polynomiale sur[0,1].

1. Supposons qu’il existe deux intervallesI et J de[0,1], d’intersection non-vide, sur lesquelsf est polynomiale.

(a) Supposons queI∩J ne se réduit pas à un singleton. Démontrer que la fonctionf est polynomiale surI∪J. (b) Supposons queI∩J est réduit à un singleton. Démontrer que la fonctionf est polynomiale sur[0,1]tout

entier. A FAIRE !

2. Notons Z_n={x∈[0,1]/ f⁽ⁿ⁾(x) = 0}.

Soitx∈[0,1]limite d’une suite(x_k)_k d’éléments deZ₀non stationnaire. Démontrer que : ∀n∈N,f⁽ⁿ⁾(x) = 0. 3. (a) Supposons que les restrictions de f à tout intervalle de[0,1]oùf ne s’annule pas sont polynomiales.

Démontrer quef est polynomiale sur[0,1]. A FAIRE ! (b) Conclure. A FAIRE !

Exercice 2 : Centrale MP 2018 maths 2 (Thomas Maurette) PLANCHE A DEBUGUER PUIS CORRIGER !

On lance n fois une pièce dont la probabilité d’obtenir « Pile » au n-ième lancer est pn. Notons Xn le nombre de

« Pile » obtenus, etπn la probabilité d’obtenir un nombre pair de « Pile » ennlancers.

1. Écrire une fonction pi(n,p)qui à l’aide d’une fonctionpdétermineπn. On réalisera1000simulations.

2. Représenter πn pour pn= 1

2(n+ 1) puis pourpn= 1 2(n+ 1)³². 3. Dans cette question, on posep_n= 1

2(n+ 1)^α avecα∈R^∗+. Calculerπ100 pourα∈[[1,6]].

4. Déterminerπ_n en fonction desp_k. On poserau_n=π_n−1

2. A FAIRE ! 5. Étudier le comportement asymptotique deπn pourpn= 1

2(n+ 1) puis pourpn= 1

2(n+ 1)². A FAIRE ! 6. On suppose p_n< 1

2.

Démontrer que(πn)n converge vers une limite`∈ 1

2,1

. A FAIRE ! Démontrer que`=1

2 si et seulement siX

n

p_n diverge. A FAIRE ! 7. Encore deux questions !

(2)

1.2 ENSEA MP 2020-21

1.2 ENSEA

Exercice 3 : ENSEA MP 2019 (Auguste Besson) I. Déterminer la limite quandx→0detan(x)

x _x¹

. II. Considérons la matrice K= 1 3

0 2

! . CalculerKⁿ pour toutn∈N.

Exercice 4 : ENSEA MP 2019 (Manon Devanneaux) I. Convergence et calcul de l’intégraleI=

Z +∞

0

ln(t) 1 +t²dt.

II. Supposons que le nombreN de bébés animaux suive une loi de Poisson de paramètreλ >0. NotonsX le nombre de mâles etY le nombre de femelles. Supposons que les naissances soient indépendances et que les sexes soient équiprobables.

1. CalculerP_[N_=n]([X =k]). 2. Calculer la loi conjointe(X, Y). 3. Calculer les lois marginalesX etY.

Exercice 5 : ENSEA MP 2019 (Adrien Ducret)

I. Déterminer les extrema de la fonctionf :]0,+∞[×R−→Rdéfinie parf(x, y) =x(y²+ (ln(x))²). II. 1. Déterminer les racines dansCdes polynômesX²+X+ 1 etX²−X+ 1.

2. Calculer le reste de la division euclidienne deP(X) = (X−1)ⁿ⁺²−X²ⁿ⁺¹ parX²−X+ 1.

« Examinateur plutôt sympathique. Il a posé un certain nombre de questions de cours. J’y ai répondu sans difficulté.

Il a donné aussi parfois des indications simples qui peuvent suffire à mettre sur la voie. » Exercice 6 : ENSEA MP 2019 (Youssey Igli)

I. On note(E)l’équation différentielle suivante :xy⁰⁰+y⁰+xy= 0.

Démontrer qu’il existe une unique solution développable en série entière au voisinage de0 telle quey(0) = 1. II. ÉNONCÉ FAUX ! Aucune formule trouvée pour plusieurs valeurs de n.

Soita,b,x1, . . . ,xn des réels. Calculer le déterminant

∆ =

x1 a · · · a b x2 . .. ... ... . .. . .. a b · · · b x_n

.

Exercice 7 : ENSEA MP 2019 (Paul Patalagoïty)

(3)

I. EXERCICE A DEBUGUER PUIS CORRIGER !

Considérons une urne contenant30boules vertes et20boules rouges.

Effectuons 15 tirages successifs et sans remise. Fixons un entier i ∈ [[1,15]], et notons Xi la variable aléatoire valant1ou0 si lai-ième boule est respectivement rouge ou verte.

NotonsS=

15

X

i=1

Xi.

1. Déterminer la loi deXi. A FAIRE ! 2. En déduire l’espérance deS. A FAIRE ! II. Considérons l’intégrale I=

Z +∞

0

t e^t−1dt. 1. Démontrer que l’intégraleI est convergente.

2. Démontrer queI=

+∞

X

k=1

1 k².

Exercice 8 : ENSEA MP 2019 (Victor Perez)

Considérons le vecteura(1,1,1)dans une baseBd’un espace vectorielEde dimension3. NotonsDla droite engendrée para. Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport àD.

Comme j’ai terminé en avance, l’Examinateur m’a demandé :

— caractéristique de la matrice (symétrique),

— ses valeurs propres (sans le polynôme caractéristique ni un polynôme annulateur, juste en utilisant le fait que c’est la matrice d’une symétrie),

— le vérifier grâce à une propriété sur la trace,

— caractéristique des colonnes (orthogonales !) et nom du type d’endomorphisme.

1.3 École Navale

Exercice 9 : Navale MP 2019 maths 1 (Inès Boussadia)

30 minutes sans préparation. Cf. Navale 2013 MP maths 1 (Penelle).

On posef_n(x) = cosⁿ(x) sin(x),x∈h 0,π

2 i.

1. Étudier la convergence (simple, uniforme) de la suite de fonctions (f_n)_n∈_N. 2. Soitgn(x) =nfn(x). Étudier de même la convergence de(gn)n∈N.

3. Déterminer l’existence et calculer lim

n→+∞In avecIn = Z π/2

0

gn(x)dx.

Exercice 10 : Navale MP 2019 maths 2 (Inès Boussadia) 40 minutes dont 10 de préparation au tableau.

I. SoitAet B deux matrices carrées réelles d’ordrentelles queA=B².

Démontrer queB est diagonalisable si et seulement siAest diagonalisable etKer (A) = Ker (B). II. SoitP ∈R[X]scindé, unitaire et de degrén.

Notons x1, . . . ,xn ses racines.

Supposons que P(0)6= 0et que les coefficients deP sont dans{−1,0,1}. Démontrer que

n

X

i=1

x²_i ≤3.

(4)

1.4 ESTP MP 2020-21

1.4 ESTP

2 Groupe « Mines »

2.1 Concours commun Mines-Ponts

Exercice 11 : Mines MP 2019 (Thomas Maurette)

15 minutes de préparation sur feuille, puis le reste de l’heure au tableau.

I. Fixons A∈ M_n(R).

On considère l’équationX =AX⁰ oùX :R→ Mn,1(R). NotonsS l’ensemble des solutions de l’équation étudiée.

1. SupposonsAinversible.

Démontrer queS est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ? 2. Déterminer une base deS lorsque A=







−1 0 0

0 1 1

0 0 1





. 3. DéterminerS lorsqueAest nilpotente.

4. Déterminerdim(S)lorsque Ker (A)et Im (A)sont en somme directe.

5. TrouverA non nilpotente telle quedim(S)6= rg (A). II. SoitX une variable aléatoire discrète positive.

Supposons qu’il existe deux variables aléatoires discrètes X1 et X2, indépendantes, suivant la même loi que X, et telles queX₁+X₂ suit la même loi que2X.

a) Supposons queX admet une variance. Démontrer queX est presque sûrement constante.

b) Dans le cas général, démontrer queX est malgré tout presque sûrement constante. A FAIRE !

2.2 TPE/EIVP

Exercice 12 : TPE/EIVP MP 2019 (Inès Boussadia)

I. Dans un supermarché, les clients choisissent leur caisse parmimcaisses de façon aléatoire et indépendante.

SoitN la variable aléatoire représentant le nombre de clients, suivant une loi de Poisson de paramètre λ. NotonsX le nombre de clients choisissant la caisse n°1.

1. Déterminer la probabilité conditionnelle deX sachant que[N =n], oùn∈N.

2. En déduire la loi deX.

II. 1. Déterminer toutes les fonctionsf de classeC² surRtelles que

∀(x, y)∈R², f(x+y) +f(x−y) = f(x)f(y).

2. Reprendre la question précédente dans le cas où f n’est que continue sur R.

Exercice 13 : TPE/EIVP MP 2019 (Andrew Hamaya)

I. Fixons n≥3 et considérons le groupe(G,×)des éléments inversibles de l’anneauZ/2ⁿZ.

1. Calculer le cardinal deG.

2. Démontrer que5²^k−3 ≡2^k−1+ 1 (mod 2^k)pour tout entier naturel k≥3.

(5)

3. En déduire l’ordre de5 dansG.

II. Pourn∈Net x∈R+, posonsu_n(x) = arctan(√

n+x)−arctan(√

n)et S(x) =

+∞

X

n=0

u_n(x). 1. Démontrer queS est définie et continue surR+.

2. Déterminer la nature de la série de terme général(un(n))n∈N. 3. En déduire la limite deS en+∞.

2.3 Mines-TELECOM

Exercice 14 : Mines-TELECOM MP 2019 (Auguste Besson) I. PosonsF(x) =

Z +∞

0

e^−tx 1 +t²dt.

1. Démontrer que la fonctionF est définie surR^∗+. 2. Démontrer queF est de limite nulle en+∞.

3. Démontrer queF est solution de l’équation différentielley⁰⁰+y= 1 x. II. Cf. exercice 14.20 des TD.

SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionn≥2. Considérons un vecteuraunitaire et un réelλ. 1. Démontrer quef :x7→x+λ(x|a)adéfinit un endomorphisme symétrique deE.

2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.

Exercice 15 : Mines-TELECOM MP 2019 (Benjamin Birig et Guillaume Gautier de la Plaine)

I. Cf. Mines-TELECOM 2019 MP exercice 26 (Marie-Hélène Thomas) et exercice 20 (Adrien Du- cret) !

1. Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.

2. Déterminer le polynôme caractéristique de la matriceA= 1 1

−2 4

! . 3. CalculerAⁿ (nentier naturel) de deux manières différentes.

II. 1. Énoncer la règle de d’Alembert pour les séries numériques.

2. Fixonsα∈Ret posonsvn= 1

n^α pour toutn∈N^∗.

Peut-on utiliser la règle de d’Alembert pour déterminer la nature deX

n≥1

vn? 3. Déterminer la nature de la série X

n≥2

1 n(lnn)².

Remarque : si on utilise les séries de Bertrand (hors-programme) il faut en connaître la démonstration ! 4. Démontrer qu’à partir d’un certain rang : v_n+1

vn

= 1−α n +o

1 n

.

5. Soit a > 1 et (u_n)_n une suite à termes strictement positifs telle qu’à partir d’un certain rang u_n+1 un

= 1−a

n+o 1

n

. Posonsα=1 +a

2 .

Démontrer qu’à partir d’un certain rang un+1

u_n ≤vn+1

v_n .

(6)

2.3 Mines-TELECOM MP 2020-21

En déduire qu’il existe un réelc et un rang à partir duquelun≤cvn. Que peut-on en déduire quant à la nature de X

n

u_n? 6. Quelle est la nature deX

n

un quanda= 1?

Exercice 16 : Mines-TELECOM MP 2019 (Stanislas Blasco) I. Sur 6 points.

1. SoitE un espace vectoriel euclidien etuune projection orthogonale deE. Démontrer queuest un endomorphisme symétrique.

2. Considérons la base canonique deRⁿ.

SoitA∈ Mn(R)symétrique telle queA⁴=A et tr (A) =n−1. Notonsf l’endomorphisme canoniquement associé à A.

Démontrer quef est une projection orthogonale. Indiquer la dimension de son noyau et de son image.

II. Sur 14 points.

Considérons deux variables aléatoiresX et Y à valeurs dansNvérifiant :

∀(i, j)∈N², P([X =i, Y =j]) = ci+j i!j! . 1. Démontrer queP([X=i]) =eci+ 1

i! . En déduire la valeur dec. 2. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? 3. Calculer l’espérance deX.

4. Donner la loi deX+Y −1.

Exercice 17 : Mines-TELECOM MP 2019 (Inès Boussadia et Valentine Grasset !) 15 minutes de préparation puis 25 minutes de passage.

I. Sur 6 points.

1. SoitA∈ Mn(K). Donner la définition d’une valeur propre et du polynôme caractéristique deA. Quel lien y a-t-il entre les deux ? Existe-t-il toujours une valeur propre ?

2. SoitP un polynôme annulateur deA, etλune valeur propre deA. Que peut-on dire deP(λ)? Justifier ?

3. SoitA∈ Mn(K)telle queA²+A+I_n= 0.

Que peut-on dire des valeurs propres réelles deA? Des valeurs propres complexes ? II. Sur 14 points.

Soitα >0. Posonsfn(x) = (−1)ⁿ n^2α+x². 1. Démontrer la convergence normale deX

n≥1

f_n surRsi et seulement siα > 1 2. 2. Démontrer la convergence uniforme de X

n≥1

f_n surR.

3. SoitS la somme de la série X

n≥1

f_n. Démontrer queS est continue surR.

Démontrer que

Z 1 0

S(x)dx =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n^α arctan

1 n^α

.

(7)

4. Théorème d’intégration terme à terme.

5. Une autre question !

Exercice 18 : Mines-TELECOM MP 2019 (Matthieu Comes) Cf. Mines-TELECOM 2018 (Daniel Gabaï)

I. M. Cochet : exercice analogue au n°4 de la banque CCINP.

Posons





 x²sin

1 x

si x∈R^∗, 0 si x= 0.

1. Démontrer quef est dérivable surR.

2. La fonctionf est-elle de classeC¹sur R?

II. M. Cochet : parmi mes exercices de kholle depuis des années ! 1. Diagonaliser la matriceA= 1 1

1 1

! .

2. L’objectif est de résoudreX²+X =A, pourX ∈ M2(R). a) Démontrer que les vecteurs propres deAetX sont communs.

b) Résoudre l’équation matricielleX²+X =A.

Exercice 19 : Mines-TELECOM MP 2019 (Alexis De Lapeyrière) I. Démontrer que lim

n→+∞

Z +∞

0

1− t²

n² ⁿ²

dt= Z +∞

0

e^−t²dt. Question bonus : valeur et comment la calculer.

II. SoitE=C([−1,1],R).

1. Démontrer que l’application (· | ·)définie par

∀(f, g)∈E², (f|g) = Z 1

−1

f(t)g(t)dt est un produit scalaire surE.

2. NotonsF le sous-espace deE constitué des fonctions nulles sur[0,1]. Déterminer l’orthogonal deF.

3. Que vautF+F^⊥?

Exercice 20 : Mines-TELECOM MP 2019 (Adrien Ducret)

I. Cf. Mines-TELECOM 2019 MP exercice 26 (Marie-Hélène Thomas) et exercice 15 (Benjamin Birig et Guillaume GDLP) !

1. Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.

−2 4

II. On considère l’équation différentielle

y⁰⁰+y = exp(−√

x). (1)

(8)

2.3 Mines-TELECOM MP 2020-21

1. Résolution sur R+. Démontrer à l’aide de la méthode de variation des constantes que les solutions de cette équation différentielle sont de la formey(x) =acos(x)+bsin(x)+

Z x 0

sin(x−t)e⁻

√tdtavecaetbdes constantes réelles.

2. Démontrer quet7→e⁻

√test intégrable surR+.

3. Soitaetb deux applications deRdansRtelles quea(x)^x→+∞−→ `a etb(x)^x→+∞−→ `b.

Démontrer quef :x7→a(x) cos(x) +b(x) sin(x)admet une limite en+∞si et seulement si`_a =`_b= 0. 4. Montrer que l’équation (1) admet une unique solution sur R+ de limite finie en+∞.

« L’examinatrice n’était pas piégeuse. Elle donnait de petites indications suffisantes à mettre sur la bonne voie (mais pas trop non plus !). »

Indication pour II.3.⇒.Examiner déjàx=mπ avecmentier pair, puis examinerx=mπavecmentier impair.

Exercice 21 : Mines-TELECOM MP 2019 (Andrew Hamaya) I. Soitn∈N^∗. On considère l’ensembleUn des racinesn-ièmes de l’unité.

Posonsf :U→U,z7→z².

Pour quelles valeurs denl’applicationf est-elle bijective ? II. Pour toutn∈N, posonsa_n=

Z 1 0

xⁿln(1−x)dx.

1. L’intégrale définissanta_n est-elle bien définie ? Déterminer la limite de(a_n)_n. 2. Nature de la sérieX

n

an. 3. Calculer(n+ 1)an−na_n−1.

4. En déduire un équivalent de la suite(a_n)_n.

Exercice 22 : Mines-TELECOM MP 2019 (Chloé Leprêtre) I. Sur 6 points.

SoitX une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres(n, p). Rappeler l’espérance et la variance deX. Démontrer la valeur de l’espérance : 1. Par un calcul direct.

2. Avec la fonction génératrice.

3. Avec des considérations probabilistes.

II. Sur 14 points.

Lorsque cette quantité est définie, notonsIα= Z +∞

0

t^αe^−tdt. 1. Déterminer pour quelsαl’intégraleI_αest convergente.

2. Pour nentier naturel, déterminer une relation entreIn+1et In. 3. Démontrer queI_n=n!.

PourP et Qdans l’espaceRn[X]des polynômes réels de degré inférieur ou égal àn, posons (P|Q) =

Z +∞

0

P(t)Q(t)e^−tdt.

4. Démontrer que(· | ·)définit un produit scalaire surRn[X]. PourP ∈Rn[X], posonsφ(P) =XP⁰⁰(X) + (1−X)P⁰(X). 5. Démontrer queφest un endomorphisme deRn[X].

(9)

On admet que(φ(P)|Q) =− Z +∞

0

tP⁰(t)Q⁰(t)e^−tdt.

6. Démontrer queφest symétrique. Que peut-on en déduire ?

Exercice 23 : Mines-TELECOM MP 2019 (Théo Manfredi)

I. Cf. CCINP 2019 MP (Carcasses) exercice 32, CCINP 2018 MP (De Pellegars), TELECOM Su- d’Paris 2014 MP (Wong), Mines-TELECOM 2014 MP (Gouedard), Navale 2012 MP (Champetier de Ribes), TD 14.13, tous avec des questions intermédiaires !

SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionn. Considérons un endomorphismeudeEtel que(u(x)|x) = 0 pour toutxdeE.

1. Démontrer queKer (u)et Im (u)sont supplémentaires orthogonaux.

2. Démontrer querg (u)est pair.

II. SoitX et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des géométriques de paramètres petq respectivement.

Quelle est la probabilité que la matrice A= X Y Y X

!

soit inversible ?

Exercice 24 : Mines-TELECOM MP 2019 (Paul Patalagoïty) 1. Pour a∈Retn∈N,n≥3, posonsun= (−1)ⁿe

√

ln(lnn)

n^a . Déterminer la nature de la série X

n≥3

un en fonction de la valeur dea. 2. Considérons une matrice réelle Ad’ordrentelle que A⁵=−A+I_n.

Démontrer quedet(A)>0.

Exercice 25 : Mines TELECOM MP 2019 (Victor Perez) I. Sur 6 points.

1. Soitz∈C. À quelle condition la sérieX

n

zⁿ converge-telle ? Le démontrer.

2. Réaliser le développement en série entière de 1 2 +x. 3. Une autre question.

II. Sur 14 points.

Considérons les matrices

A =







1 0 0

0 −5 −9

0 4 7





 et I =







1 0 0 0 1 0 0 0 1





.

1. a) CalculerA²+I. En déduire un polynôme annulateur deA. b) La matrice Aest-elle inversible ? Si oui, calculerA⁻¹.

c) La matriceAest-elle diagonalisable ?

2. Démontrer queAest semblable à la matriceT =







1 0 0 0 1 1 0 0 1





.

(10)

MP 2020-21

Exercice 26 : Mines TELECOM MP 2019 (Marie-Hélène Thomas)

I. Cf. Mines-TELECOM 2019 MP exercice 15 de Benjamin Birig et Guillaume Gautier de la Plaine ! 1. Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton.

−2 4

II. Cf. Mines-TELECOM 2017 MP (Daniel Gabaï).

Considérons l’équation différentielle (E) x²y⁰⁰(x) + 4xy⁰(x) + 2y(x) = 1

1−x ainsi que son équation homogène associée(H).

1. Déterminez les solutions de(H)de la formex7→x^a aveca∈R.

Que pouvez-vous dire de l’ensemble des solutions de(H)?

2. Déterminez les solutions de(E)développables en série entière. Calculez leur rayon de convergenceR. Attention ! D’après le Jury la règle de d’Alembert pour les séries entières est hors-programme. Mais il a été indulgent en voyant que tous les candidats la connaissaient.

M. Cochet :si, la règle de d’Alembert pour les séries entières est au programme.

3. Déterminer l’expression def sur]−R, R[.

4. Résoudre(E)sur]0,1[. Peut-on la résoudre sur[0,1[?

3 Groupe « CCINP »

3.1 Les 34 écoles du groupe CINCP

Exercice 27 : CCINP MP 2019 (Auguste Besson) 1. Démontrer que l’intégrale Z +∞

0

1−cos(t)

t² dtconverge.

2. Démontrer queZ +∞

0

sin(t) t dt=

Z +∞

0

1−cos(t) t² dt. 3. Pour xréel positif, définissons G(x) =

Z +∞

0

e^−xt1−cos(t) t² dt. Démontrer queGest définie et continue surR+.

4. Démontrer queGest de classeC²surR^∗+.

5. Démontrer queGetG⁰ admettent une limite en +∞et la calculer.

6. En déduireG⁰ puisG. 7. CalculerZ +∞

0

sin(t) t dt.

Exercice 28 : CCINP 2019 MP (Benjamin Birig)

Soit(Pk)_k≥0 la suite de polynômes réels définis parP0= 1et Pk =

k−1

Y

i=0

(X−i)pour toutk≥1. 1. Démontrer queB= (Pk)_k≥0 est une base deR[X].

(11)

2. Décomposer P=X³dans la baseB.

3. Donner le développement en série entière sur un intervalle centré en0que l’on précisera de la fonctionfk définie parf_k(x) = 1

(1−x)^k+1.

4. Démontrer que pour kfixé la sérieX

n≥0

Pk(n)xⁿ converge et en calculer la somme.

5. Démontrer que la série X

n≥0

n³xⁿ est convergente, et calculer sa valeur.

Servi avec l’exercice 104 de la banque CCINP.

« Examinateur agréable voulant néanmoins toutes les preuves par récurrence dans le détail. »

Exercice 29 : CCINP 2019 MP (une connaissance de Benjamin Birig)

1. Donner un exemple d’endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie dont l’image et le noyau de sont pas supplémentaires.

2. Démontrer que le noyau et l’image d’un endomorphisme diagonalisable sont supplémentaires.

3. Soitf un endomorphisme d’un espace vectorielEde dimension finie. Démontrer que la suite

dim Ker (f^k) est croissante. k

4. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie. Démontrer que la suite

Ker (f^k)

k est stationnaire.

« Examinatrice agréable. Chaque fois que je bloquais, elle ne me donnait aucune indication et me demandait de passer à la suite. »

Exercice 30 : CCINP 2019 MP (Astrid Bory) SoitX∈ Mn(R)telle queX·^tX·X=In.

1. Démontrer queX est inversible.

2. Démontrer queX est symétrique.

3. Démontrer queX =I_n.

4. On suppose que, pour AetB dansMn(R),^t(A·B) =B⁻¹·A⁻¹·B⁻¹·A⁻¹. Démontrer queAet B sont inverses l’une de l’autre.

Servi de l’exercice 30 de la banque CCINP.

Exercice 31 : CCINP 2019 MP (Inès Boussadia)

1. Énoncer le théorème de Rolle et le théorème des valeurs intermédiaires.

2. Considérons une fonctionf : [0,2]→Rde classeC¹ et telle quef(0) = 0,f(1) = 3,f(2) = 1. Démontrer qu’il existe un point de [0,2]en lequel la tangente à la courbe def est horizontale.

3. Soitx1, . . . , xn dans[0,1].

Supposons que f est continue sur[0,1].

Démontrer qu’il existex0dans[0,1]tel quef(x0) = 1

n(f(x1) +· · ·+f(xn)). Servi avec l’exercice 98 de la banque CCINP.

Exercice 32 : CCINP 2019 MP (Salomé Carcasses)

Cf. MinesTELECOM 2019 MP (Manfredi) exercice 23, TELECOM Sud’Paris MP 2014 (Mathilde

(12)

3.1 Les 34 écoles du groupe CINCP MP 2020-21

Wong), Mines-TELECOM MP 2014 (Thomas Gouedard), Navale MP 2012 maths 2 (Geoffroy Cham- petier de Ribes), mais aussi TD 14.38.

SoitE un espace euclidien de dimensionn. Considéronsu∈ L(E)tel que (u(x)|x) = 0pour tout vecteurxdeE. 1. Démontrer que(u(x)|y) =−(x|u(y))pour tout(x, y)∈E².

2. Démontrer queKer (u)etIm (u)sont supplémentaires orthogonaux.

3. Notons v=u_{Im (u)}la restriction deuàIm (u). L’endomorphismevadmet-il des vecteurs propres ? 4. Quels sont les polynômes qui ne s’annulent pas surR? En déduire que rg (u)est pair.

Exercice 33 : CCINP 2019 MP (Matthieu Comes) Pourx∈]−1,1[et θ∈R, posonsf_x(θ) =

+∞

X

n=1

cos(nθ) n xⁿ.

1. Étudier l’existence puis l’éventuelle valeur defx(0)etfx(π). 2. Démontrer quefxest de classeC¹surR.

3. Calculer la valeur def_x⁰(θ), pour θ∈R.

4. En déduire la valeur def_x(θ), pourθ∈R.

5. DéterminerZ π

−π

ln(1−2xcos(θ) +x²) dθ pour|x|<1puis pour|x|>1. Servi avec l’exercice 69 de la banque CCINP.

Exercice 34 : CCINP 2019 MP (Anaëlle Courtier) Démontrer que

Z 1 0

x 1−xln

1 x

dx =

+∞

X

n=0

1 (n+ 2)². Servi avec l’exercice 104 de la banque CCINP.

Exercice 35 : CCINP 2019 MP (Antony Davi)

1. Combien le polynômeX³−X−1possède-t-il de racines réelles ? Trouver une matrice annulée par ce polynôme.

2. Démontrer que si P est un polynôme réel etc est une racine deP, alors le conjugué decest aussi une racine de P.

3. SoitAune matrice réelle d’ordrenannulée par le polynôme défini en question 1.

Démontrer quedet(A)>0et trouver une condition surApour qu’elle soit diagonalisable.

Exercice 36 : CCINP 2019 MP (Titouan David)

Analogue à l’exercice TD 12.9 (convergence non absolue de l’intégrale de la fonction sinus cardinal).

1. Démontrer que l’intégrale I= Z +∞

0

tsin(t)

t²+ 1dtest convergente.

2. On poseJ(x) = Z x

0

tsin(t)

t²+ 1dt. Démontrer que, pour toutn∈N^∗ : J(nπ) =

n−1

X

k=0

Z π 0

(u+kπ) sin(u) (u+kπ)²+ 1du.

3. L’intégraleI est-elle absolument convergente ?

(13)

Exercice 37 : CCINP 2019 MP (Manon Devanneaux)

Cf. CCINP 2018 MP (Bérenger), CCINP 2016 MP (Szczepaniak), CCINP 2015 MP (Beylier), CCINP 2014 MP (De Kergorlay), « Cesaro pour les endomorphismes ».

SoitE un espace euclidien, de produit scalaire noté (· | ·). Considérons un automorphisme orthogonalu∈O(E) et posonsv= IdE−u.

1. Démontrer queE= Im (v)⊕^⊥ Ker (v). 2. Soit x ∈ E. Posons fn(x) = 1

n

n−1

X

k=0

u^k(x). Démontrer qu’il existe y ∈ Ker (v) et z ∈ E tels que fn(x) = y+1

n

n−1

X

k=0

u^k(z).

3. Notons pla projection orthogonale surKer (v).

Démontrer que la suite (f_n)_n converge simplement versp, en d’autres termes :

∀x∈E, lim

n→+∞f_n(x) = p(x).

Exercice 38 : CCINP 2019 MP (Adrien Ducret)

Soit(E)l’équation différentiellex(x+ 1)y⁰⁰+ (3x+ 2)y⁰+y= 0.

1. Résoudre l’équation différentielle xu⁰⁰+u⁰= 0 sur tout intervalleI ne contenant pas0. 2. Résoudre l’équation différentielle xu⁰⁰+u⁰= 0 sur tout intervalleI contenant0. 3. Résoudre (E)sachant quey0:x7→ 1

1 +x est une solution de(E). Servi avec l’exercice 88 de la banque CCINP.

« Examinateur sympathique. Il a donné des indications simples mais qui permettent de mettre sur la voie. Il n’est pas resté mutique comme celui que j’avais eu l’année dernière ou que certains ont pu avoir d’après les commentaires de la récolte. »

Exercice 39 : CCINP 2019 MP (connaissance de Adrien Ducret)

Cf. MinesTELECOM 2018 MP (Guilhem Kirchner), PC 2017 (Myriam Caizergues). M. Cochet : c’est un de mes exercices de kholle !

Notons E l’espace vectoriel des fonctions réelles continues surR+. Pourf ∈E, définissons une applicationT(f)sur R+ par

T(f)(x) =





 1 x

Z x 0

f(t)dt si x >0, f(0) si x= 0.

1. Démontrer queT est un endomorphisme deE. 2. Déterminer les éléments propres deT.

Exercice 40 : CCINP 2019 MP (Balthazar Fauconnier) Cf. Mines-Ponts 2017 PC (Lohan Le Berrigaud).

On définit deux suites(In)n∈Net (Jn)n∈Npar

∀n∈N, In = Z ^π₂

0

sin (2n+ 1)t

sint dt et Jn = Z ^π₂

0

sin (2n+ 1)t

t dt.

1. Pour nfixé, justifier l’existence des intégrales I_n et J_n.

(14)

2. Montrer que(In)n est constante, et la calculer.On pourra passer par le calcul deIn+1−In. 3. Démontrer que siϕ∈ C¹([0, π/2]), alors lim

n→+∞

Z ^π₂

0

ϕ(t) sin

(2n+ 1)t dt= 0. 4. Montrer que lim

n→+∞In−Jn = 0. 5. Que peut-on en déduire pour lim

n→+∞Jn? Servi avec l’exercice 69 de la banque CCINP.

Exercice 41 : CCINP 2019 MP (Guillaume Gautier de la Plaine) M. Cochet : TD exercice 9.15 !

Pourx >0, on pose : S(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+x.

1. Justifier queS est définie et continue surR^∗+.

2. Démontrer que S est de classe C¹ sur R^∗+ et que l’on peut dériver terme à terme : S⁰(x) =

+∞

X

n=0

−(−1)ⁿ (n+x)² pour tout x >0.

3. Préciser le sens de variation deS. 4. Établir : ∀x >0, S(x+ 1) +S(x) = 1

x. 5. Donner un équivalent deS en0.

6. Donner un équivalent deS en+∞. Servi avec l’exercice 72 de la banque CCINP.

Exercice 42 : CCINP 2019 MP (Abdallah Gazal)

Soit(E,(· | ·))un espace euclidien etpun projecteur de E. NotonsN la norme sur E associée au produit scalaire.

1. Démontrer l’équivalence des deux points suivants : (i) pest une projection orthogonale.

(ii) ∀x∈E,kp(x)k ≤ kxk.

Indication : pour démontrer (ii)⇒(i), on pourra utiliserkp(tx+y)k² avec(x, y, t)∈Ker (p)×Im (p)×R.

2. Soitu∈ L(E)tel que lim

n→+∞kuⁿ−pk= 0. (a) Démontrer queu◦p=p◦u=p.

En déduire que pest un projecteur.

(b) Démontrer que siku(x)k ≤ kxkpour toutx, alorspest un projecteur orthogonal.

Exercice 43 : CCINP 2019 MP (Valentine Grasset) Considérons la fonctionf :]α, β[→Rdéfinie parf(x) = |lnx|^β

(1−x)^α, oùαetβ sont des réels fixés.

1. Déterminer un équivalent de f en0 et un équivalent def en1.

2. À quelle condition surαetβ la fonction f est-elle intégrable sur ]0,1[? 3. Nature et valeur de l’intégraleI=

Z 1 0

lnx

√1−xdx? Servi avec l’exercice 99 de la banque CCINP.

Exercice 44 : CCINP 2019 MP (Louis-Hippolyte Grollet)

Cf TD 9.16 et 10.48, ce sont les fonctions zêta et zêta alternée !

(15)

1. Déterminer un équivalent en 1de la fonctiond:x7→2^1−x−1. 2. Pour n ≥ 1, on pose u_n(x) = 1

n^x. Déterminer le domaine de convergence D de la série de fonctions X

n≥1

u_n. Notons ζla somme de la série. La convergence est-elle uniforme ?

3. Pour n≥1, on posevn(x) = (−1)ⁿ

n^x . Déterminer le domaine de convergence∆ de la série de fonctions X

n≥1

vn. Notons ζa la somme de la série. La convergence est-elle uniforme ?

4. Cf. CCINP 2018 MP (Théo Manfredi).Déterminer la valeur de la somme

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n . 5. Trouver une relation entreζ etζ_a surD∩∆.

6. Déterminer la limite deζ en1⁺.

7. Déterminer la valeur deζ_a(1). En déduire un équivalent deζ en1⁺.

Exercice 45 : CCINP 2019 MP (Andrew Hamaya)

Considérons l’espaceE des fonctions continues de]0,1[dansRtelles que leur produit par la fonction identité est de carré intégrable sur]0,1[: pour toutef dansE, la fonctiont7→t²f(t)² est intégrable sur]0,1[.

1. Démontrer que l’on définit un produit scalaire surE en posant

∀(f, g)∈E², (f|g) = Z 1

0

t²f(t)g(t)dt.

2. Posonsf0:t7→1 etf1:t7→t, et considéronsF = Vect(f0, f1). Déterminer une base orthonormée de F.

3. Déterminer(a, b)∈R²tel que la quantitéZ 1 0

ln(t)−(at+b)2

dt soit minimale.

« Comme j’ai fini, l’examinatrice m’a demandé une autre méthode. Durée 15-20 minutes sans exercice supplé- mentaire. »

Servi avec l’exercice15de la banque CCINP.

Exercice 46 : CCINP 2019 MP (Youssey Igli) PLANCHE A DEBUGUER PUIS CORRIGER !

Soit (G,·) un groupe cyclique d’ordre n engendré par a. Considérons f l’application de G dans G définie par f(x) =x^r, pour rentier naturel fixé. Notonsd= pgcd(n, r).

1. Démontrer quef est un endomorphisme deG. 2. A FAIRE ! Déterminer Ker (f).

3. Démontrer queIm (f)est le sous-groupe deGengendré para^d.

4. A FAIRE ! Soit y dansG. Quel est le nombre de solutions de l’équationx^r=y? Servi avec l’exercice 37 de la banque CCINP.

Exercice 47 : CCINP 2019 MP (Chloé Leprêtre) Pourx∈R^∗+, posonsun(x) = x−1

(n+ 1)(n+x). 1. Démontrer que la sérieX

n

u_n converge simplement surR^∗+. NotonsS sa somme : S =

+∞

X

n=0

u_n. 2. Démontrer queS est continue surR^∗+.

3. Démontrer queS est de classeC¹ surR^∗+ et que : ∀x∈R^∗+, S⁰(x) =

+∞

X

n=0

1 (n+x)².

(16)

4. Avec un télescopage, démontrer queS(p) =

p−1

X

k=1

1

k pour toutp∈N,p≥2. 5. On admet que

p−1

X

k=1

1 k

p→+∞∼ ln(p).

Démontrer la limite et un équivalent deS en+∞. Servi avec l’exercice 92 de la banque CCINP.

Exercice 48 : CCINP 2019 MP (Théo Manfredi) SoitE un espace vectoriel etf un endomorphisme deE.

1. Démontrer que pour toutp∈N,Ker (f^p)⊂Ker (f^p+1).

2. Démontrer que siKer (f^p) = Ker (f^p+1)alors pour toutk∈N,Ker (f^p) = Ker (f^p+k).

3. Supposons queE est de dimension finie. Démontrer qu’il existeptel que E= Ker (f^p)⊕Im (f^p). 4. SoitE=C^∞(R,R). ConsidéronsD:E→E,f 7→f⁰.

Existe-t-ilu∈ L(E)tel queu²=D? Servi avec l’exercice 30 de la banque CCINP.

Exercice 49 : CCINP 2019 MP (Thomas Maurette)

Remarque : analogue à l’exercice 18.3 des TD, équation d’Euler !

L’objectif de l’exercice est de déterminer les fonctions f : R^∗+ → R dérivables telles que pour tout t ∈ R^∗+, f⁰(t) =−f

1 t

.

1. Démontrer qu’une telle fonctionf est deux fois dérivable et qu’elle est solution de(E):t²f⁰⁰(t) +f(t) = 0. 2. Soity une solution de(E). On posez(x) =y(e^x).

Déterminer une équation différentielle à coefficients constants vérifiée par z. 3. Conclure sur le problème posé.

Exercice 50 : CCINP 2019 MP (Paul Patalagoïty)

SoitX et Y deux variables aléatoires discrètes réelles dont la loi conjointe est

P([X =i],[Y =j]) =





 j

i λ^j

j!e^−2λ si j≥i, 0 si j < i.

1. Déterminer la loi deX, son espérance et sa variance.

Faire de même pourY.

2. Calculer la loi de X sachant[Y =j], son espérance et sa variance.

3. Déterminer la covariance de(X, Y).

4. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?

Exercice 51 : CCINP 2019 MP (Victor Perez) C’est la décomposition de Cholesky, cf. TD 14.71.

1. SoitAune matrice symétrique réelle d’ordre n. Démontrer l’équivalence des trois propositions suivantes : (P1) ∀X∈Rⁿ\ {0},^tXAX >0.

(P2) Sp(A)⊂R^∗+.

(17)

(P3) L’applicationRⁿ×Rⁿ→R,(X, Y)7→^tXAY, définit un produit scalaire surRⁿ.

Lorsque Avérifie une des trois propriétés ci-dessus, on dit queAest définie positive, notéA∈S_n⁺⁺(R). 2. SoitAune matrice réelle symétrique définie positive d’ordren.

(a) Soitβ la base canonique deRⁿ.

Considérons une baseγorthonormée pour le produit scalaire défini dans la propriété (P3).

NotonsP la matrice de passage de la base β vers la baseγ. Démontrer que^tP AP =I_n.

(b) Démontrer qu’il existe une matrice triangulaire supérieure T à diagonale strictement positive telle que A=^tT T.

Exercice 52 : CCINP 2019 MP (Roman Rousseau) Pour toutn≥2, on définit

fn:







R+ −→ R x 7−→ xe^−nx

ln(n) Étudier les quatre types de convergence de la sérieX

n≥2

f_n (simple, absolue, normale et uniforme dans cet ordre).

Exercice 53 : CCINP 2019 MP (Marie-Hélène Thomas)

On admet que l’application(· | ·), définie sur l’espace vectorielMn(R)des matrices réelles carrées d’ordrenpar

∀(A, B)∈ Mn(R)², (A|B) = tr (A·^tB)

et où tr (M)désigne la trace d’une matriceM, est un produit scalaire. Considérons les sous-espace vectoriels Sn(R) = {M ∈ Mn(R)/^tM =M} et An(R) = {M ∈ Mn(R)/^tM =−M}

des matrices respectivement symétriques et antisymétriques.

1. Démontrer queS_n(R)etA_n(R)sont des supplémentaires orthogonaux pour le produit scalaire(· | ·). 2. Déterminer la distance de la matriceM =







0 1 2

2 0 1

−1 −1 0





à S3(R).

3. Démontrer que l’ensemble H = {M ∈ Mn(R)/ tr (M) = 0} est un sous-espace vectoriel de Mn(R), et en déterminer la dimension.

4. Considérons la matriceJ d’ordrendont tous les coefficients sont égaux à 1. Calculer la distance deJ àH.