Master 2 EADM 2016-2017 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2-8 Epreuve sur dossier´
DOSSIER Probabilit´e
et statistiques 7
Th`eme : Lois de probabilit´e continues
L’exercice propos´e au candidat : Loi g´eom´etrique tronqu´ee Une martingale est une technique sens´ee augmenter les chances de gain aux jeux de hasard. Une bien connue dans un jeu simple o`u on gagne ou on perd sa propre mise `a chaque tour, est de doubler sa mise `a chaque perte et revenir `a la mise de base `a chaque succ`es.
1. Donner le gain d’une partie ne comprenant que des pertes sauf le dernier tour qui est un succ`es. Expliquer pourquoi cette martingale connait un certain succ`es.
2. Ce qui fait ´echouer cette martingale est la ruine du joueur : cette loi est forc´ement tronqu´ee, d’une part par le temps imparti, et d’autre part par la fortune limit´ee du joueur. Si la mise est de 1e, donner le nombre d’´echecs successifs autoris´es par une fortune initiale de 1000e.
3. En supposant qu’un tour de jeu est mod´elis´e par une loi de Bernouilli de param`etre p, calculer les probabilit´es de succ`es en 1, 2, 3 et 4 tours de jeu si n´ecessaire.
4. ´Ecrire un algorithme simulant ce processus avec une chance de succ`es p et un nombre n maximum. Ex´ecuter cet algorithme 1000 fois pour p = 1837 (la probabilit´e d’obtenir un gain avec Noir-Rouge, Pair-Impair et Manque-Passe `a la roulette) et n = 9 afin d’´evaluer la probabilit´e d’obtenir un succ`es.
5. En d´eduire num´eriquement si l’esp´erance de gain e↵ectif de cette mar- tingale est positif ou n´egatif si la probabilit´e pr´ec´edente est estim´ee `a 0, 998.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 5.
J’ai e↵ectivement trouv´e que le nombre de succ`es est de 998 pour 1000 tirages, c’est donc trop facile d’ˆetre presque sˆur de gagner `a la roulette. L’esp´erance de gain est 1⇥ 0, 998 1 ⇥ 0, 002 = 0, 996e
`a chaque application de la martingale.
Le travail `a exposer devant le jury 1. Analyser la r´eponse de l’´el`eve.
2. Donner une correction de l’exercice comme devant une classe.
3. Proposer plusieurs exercices portant sur les lois de probabilit´es `a densit´e.
