pk, on souhaite faire ex´ecuter un ensemble de r tˆaches t1

Graphes i6s3 Licence L3 Info Universit´e de Bourgogne

TD2 : coloration de graphes

Exercice 1-

1) Calculer le nombre chromatique total du cycleC_n de longueurn.

2) Pour le prisme du triangle( voir dessin ci-dessous) et le prisme du carr´e, calculerχ, χ⁰, etχ⁰⁰.

Exercice 2- Mod´elisation

Mod´eliser chacun des deux probl`emes suivants en terme de coloration de graphe (en prenant la variante de coloration la plus appropri´ee) et indiquer si le calcul d’une solution optimale est faisable ou non :

1. Planification d’avions :une compagnie poss`edekavions `a affecter `anvols, le i`eme vol ayant lieu dans l’intervalle de temps [a_i, b_i].

2. Tˆaches biprocesseur : sur un ensemble de k processeurs (machines) p₁, p₂, . . . , p_k, on souhaite faire ex´ecuter un ensemble de r tˆaches t1, . . . tr; chaque tˆache devant s’ex´ecuter sur deux processeurs pr´ed´efinis simultan´ement (par exemple, un transfert de fichiers entre deux processeurs). Un mˆeme processeur ne peut ex´ecuter deux tˆaches simultan´ement.

Exercice 3- Coloration fractionnaire et circulaire

1) Etant donn´´ e un entier b, d´eterminer l’entier k minimum tel que l’´etoile `a 4 branches K_1,4 soit (k, b)-coloriable.

2) Montrer que tout grapheGest (bχ(G), b)-coloriable.

3) La roue W₈ (l’´etoile `a 8 branche dans laquelle on relie tous les sommets extr´emit´es des branches suivant un cycle) est-elleC5-coloriable ?

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