L3: cours Graphes I6S3 Partie II: coloration de graphe

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Olivier Togni, LE2I (038039)3887

olivier.togni@u-bourgogne.fr

Modifi´e le 12 mars 2008

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Plan

1. Motivation et applications 2. Définitions et propriétés 3. Graphes planaires 4. Graphes parfaits 5. Elements avanc´´ es 6. Aspects algorithmiques

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Ressources bibliographiques

I Reinhard Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag, 2005. Chap.

5 : colouring, PP. 111-138.Edition ´electronique :

www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/GraphTheoryIII.pdf.

I Claude Berge, Graphes et hypergraphes, Dunod, 2`eme ´edition (1973), Chap. 15 : Nombre chromatique, pp. 314-346, Chap. 16 : Graphes parfaits, pp. 347-370, Chap. 12 : Indice chromatique, pp.

236-259.

I http ://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.html

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L3: cours Graphes I6S3 Partie II: coloration de graphe Motivation et applications

Pourquoi la coloration de graphe

1. Probl`eme central en th´eorie des graphes :

I probl`eme de coloration de cartes en au plus 4 couleurs (De Morgan, 1852)

I conjecture des graphes parfaits (Berge, 1963)

2. Nombreux champs d’application, notamment pour les STIC :

I optimisation avec contraintes : ordonnancement, planning

I syst`emes : allocation de registres, ordonnancement de tˆaches

I r´eseaux : allocation de ressources

I cryptographie, s´ecurit´e, tatouage

I tests de circuits VLSI

I reconnaissance de motifs

I analyse des donn´ees biologiques et arch´eologiques

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De l’allocation de registres...

for (i=0;i<ng;i++) {

tab[i]=tabg[i];

}

tab[ng]=pivot;

for (j=0;j<nd;j++) {

tab[j+ng+1]=tabd[j];

}

nd i

pivot j

ng

⇒pas de conflit avec 3 registres

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aux R´ eseaux tout-optiques...

A

B

C

D

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en passant par le Sudoku

Le sudoku est un cas particulier de carr´e latin

Completer la grille de sudoku est équivalent à completer la coloration d’un graphe de 81 sommets précoloré

Nombre de grilles 9×9 ayant une unique solution : 6,670,903,752,021,072,936,960

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L3: cours Graphes I6S3 Partie II: coloration de graphe Définitions et propriétés

Coloration de graphes

D´efinition

Unek-coloration d’un graphe non orienté G = (V,E) est une applicationf :V →C, où C est un ensemble de k couleurs (que l’on peut prendre égal à{1,2, . . .k}) telle que pour toute arête xy ∈E, on aitf(x)6=f(y) (condition de propreté).

Un graphe qui admet unek-coloration est dit k-coloriable.

Remarque : unek-coloration est une partition de V(G) enk ensembles ind´ependants (stables).

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Nombre chromatique

D´efinition

Le nombre chromatiqueχ(G) d’un graphe G est le plus petit entierk tel queG soitk-coloriable.

Siχ(G) =k,G est dit k-chromatique.

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R´ esultats de base

Propri´et´e

Pour tout graphe G ,χ(G)≥ω(G),

où ω(G)est la taille maximum d’une clique de G . Propriété

Pour tout grapheG d’ordren,χ(G)≥ _α(Gⁿ₎,

où α(G) est le nombre de stabilité de G (taille maximum d’un ensemble de sommets indépendants).

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Algorithme de coloration glouton

1. D´efinir un ordre quelconque x1,x2, . . . ,xn des sommets deG 2. Pour i de 1 `an, faire colorierxi avec la plus petite couleur

non utilisée par un de ses voisins déjà colorié.

Cet algorithme colorie tout grapheG en au plus ∆(G) + 1 couleurs, o`u ∆(G) est le degr´e maximum des sommets de G.

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Encadrement du nombre chromatique

Propri´et´e

Pour tout grapheG d’ordren, max

ω(G), n α(G)

≤χ(G)≤∆(G) + 1.

ω= 4, α= 3,∆ = 5

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Th´ eor` eme de Brooks

Th´eor`eme

Pour tout graphe G ,χ(G) = ∆(G) + 1 si et seulement si G est un cycle impair ou un graphe complet (autrement,χ(G)≤∆(G)).

Th´eor`eme

χ(G) = 2 si et seulement siG ne contient pas de cycle impair (G est biparti).

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Nombre chromatique et cliques

Th´eor`eme (Zykov, 1949)

Pour tout k, il existe des graphes k-chromatiques sans triangle.

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L3: cours Graphes I6S3 Partie II: coloration de graphe Graphes planaires

Graphes planaires

D´efinition

Un graphe est planaire s’il peut être dessiné sur le plan (ou la sphère) de sorte qu’aucune arête n’en coupe une autre. Une face est une région connexe du plan délimitée par des arêtes (la face

“ext´erieure” est infinie sur le plan, les faces sont toutes finies sur la sph`ere).

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Caract´ erisation des graphes planaires

D´efinition

Une substitution d’un grapheH est un grapheH⁰ obtenu en pla¸cant sur chaque arˆete deH, 0, 1 ou plusieurs sommets de degr´e 2.

Th´eor`eme (Kuratowski, 1930)

Un graphe G est planaire si et seulement si il ne contient pas de subdivision de K5 ou de K3,3.

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Coloration des graphes planaires

Th´eor`eme (Appel & Haken, 1976) Tout graphe planaire est4-coloriable.

Id´ees de la preuve :

I il existe un ensemble de 1482 configurations in´evitables, c’est

`

a dire que tout graphe planaire triangul´e contient n´ecessairement l’une de ces configurations comme sous-graphe.

I ces configurations sont réductibles, c’est à dire qu’une 4-coloration d’un graphe planaire contenant l’une de ses configurations peut toujours être obtenue à partir d’une 4-coloration d’un graphe planaire plus petit.

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Coloration des graphes planaires

Théorème (Grötzsch, 1959)

Tout graphe planaire sans triangle est3-coloriable.

Th´eor`eme (Askionov, 1974)

Tout graphe planaire avec au plus trois triangles est3-coloriable.

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Graphes de genre g

D´efinition

Une surface orientable de genreg est homéomorphe à une sphère possédant g “trous”. Le genre d’un graphe est alors le genre minimum d’une surface sur laquelleG est représentable (sans croisement d’arêtes). Une surface orientable de genre 1 est un tore.

Théorème (Heawood, 1890, Ringel & Young, 1968) Tout graphe de genre g peut être colorié en utilisantb⁷⁺

√1+48g

2 c

couleurs (ce nombre est appel´e nombre de Heawood).

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L3: cours Graphes I6S3 Partie II: coloration de graphe Graphes parfaits

Graphes parfaits

D´efinition

Un grapheG est parfait si pour tout sous-graphe induitH deG on aχ(H) =ω(H).

Théorème (Lovàsz, 1972)

Un graphe G est parfait si et seulement si le compl´ementaire de G est parfait.

Th´eor`eme (Chudnovsky, Robertson, Seymour et Thomas, 2002)

Un graphe G est parfait si et seulement si ni lui ni son

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L3: cours Graphes I6S3 Partie II: coloration de graphe Graphes parfaits

Exemples de graphes parfaits

I graphes bipartis

I graphes d’intervalles

I graphes de comparabilit´e

I graphes triangul´es

I ...