Coloration de graphes : structures et algorithmes

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Submitted on 15 Nov 2007

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Coloration de graphes : structures et algorithmes

Benjamin Lévêque

To cite this version:

Benjamin Lévêque. Coloration de graphes : structures et algorithmes. Mathématiques [math]. Uni-

versité Joseph-Fourier - Grenoble I, 2007. Français. �tel-00187797�

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V

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V

^{V.0 - 4T}

k

^1T

. 4-.1 35T/1

(V, E)

^{1 V.}

E ⊆ ^V ₂

1T 3

V

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G

^{R 1 1T 3}

E

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3

G

^{ž 35 112 1 -0-R 1 0 4-}

u

v

^-

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^R

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G

^{. 27R 1-}

V (G)

^{302 15T/1 3}

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E(G)

^{15T/1 3}

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G

^{. 27}

u

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v

^{3. -TT3}

G

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u

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⁰

uv / ∈ E (G)

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u

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v

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v

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v

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V

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G

^{. 27 0}

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^{R 1- 15T/1 3 6-00 3}

v

^-

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^{TV.- V.}

v / ∈ N(v)

^{& 35. -TT}

v

³⁰

EG

d(v) = |N (v)|

⁰

A ⊆ V (G)

^{R 1-}

N (A)

^{302 15T/1 3 -TT 3}

G

^{Y . T-0 . 6-00 3}

A

^{TV.- V.}

A

N (A)

^-

40T 30X-0

-0

G

^{. 27 %& 3}

G

^{1 27 -}

G

^{R 30}

V (G) = V (G)

E(G) = {uv ; u ∈ V (G), v ∈ V (G)

uv / ∈

E(G)}

^-0

F

G

^{3. 27}

F

G

³

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ϕ

^{/0X406R-40 47V. -TT 3}

F

^{. -TT}

3

G

^{11 V.}

uv ∈ E (F ) ⇔ ϕ(u)ϕ(v) ∈ E(G)

^{501 0 . 0-T-}

70T

F

G

^{R 1-}

F

G

^{- 30 27 #!}

%& 501 0-T-7 - 4-T1T0

-0

G

^{. 27}

W

^{.T/13 -TT3}

G

^#!

G

^#

W

^-

G[W ]

^{R 45 1 27 3- 15T/1 3 -TT}

W

^{3- 15T/1 3}

^W ₂

∩ E(G)

^{%"# -.}

% . 27 60

E (G) = ^{V (G)} ₂

%% 35. 410V. -

-T/ 3 -TT % . 410V. 3 011 -0 $%

. 27 60

E(G) = ∅

^%"#

G

^{. 27 V.0 1}

W-0 . 410V. . -.

27 03.0 3

G

^{1. 21TR -. -.}

27 /03.1

Ÿ

410V.R/1R -.  

R . $#%

G

^{. 27 V.0}

1W-0./03.1

Ÿ

-. V.0 0-T-7 . /03.1  

. -.

27

03.0 3

G

²⁷

G

^{. /03.1 0 .1T 501 0 .}

-.

27 03.0 3

G

^{V.0 . /03.1 3}

G

²⁷

G

$#% 0 .1T 501 50 .4. /03.1 V.0 -0 . -.

27

03.0 3

G

^{01 30 .0 V.}

G

^{/03.1!%$ 27}

G

^$

0 .1T 501 -0/1 3 00-

V (G)

^{3. T/1}

A

B

^{1 V.}

G[A]

G[B]

^{- 3 /1}

-0

G

^{. 27 3}

G

^{. .0}

P = (v ₁ , v ₂ , . . . , v k )

³

-TT 3. 3. 3004 60R -. -.

1 ≤ i ≤ k − 1

^R

v i v i+1 ∈ E(G)

³

G

^{3 1 W-T}

v i v i+1

64

1 ≤ i ≤ j

^{1 #}

3

G

^{3 1 W-T}

v i v j

64

|i − j| > 1

¹

# 4-3

v i v j

# 0

|i − j | = 2

^{1-2.. 3. 47T0}

21 - -T/ 35

-TT

v 1

v k

- 1 && #

1 . -TT - 30 &#

-TT 3 15T/1

{v _b ^k+1

2 c , v _d ^k+1

2 e }

^{- 30 %# # -.47T0 3}

P

^03.0

1 -TT 00. -

P ^∗

27 3- 1 -TT -

v 1 , v 2 , . . . , v k

3- 15T/1 3

{v i v i+1 ; 1 ≤ i ≤ k − 1}

^{. 47T0 4-3R -}

v 1

v 2

· · ·

v k

27

P k

302 . 47T0 4-3 .

k

^{-TTR 01 3-4 3}

E

1-2..

k − 1

% 3

G

^{. .0}

C = (v ₁ , v ₂ , . . . , v k )

^{3 -TT 3.}

3. 3004 60R -. -.

1 ≤ i ≤ k

^R

v i v i+1 ∈ E(G)

^{R - 153300-}

3 0304 4. T-3.1-

k

³

G

^{3 1 W-T}

v i v i+1

64

1 ≤ i ≤ j

^{1 # % 3}

G

^{3 1 W-T}

v i v j

64

|i − j| > 1

^{1 # % 4-3}

v i v j

# 0

|i − j| = 2

J

. 4-3

v i v j

R

v k v l

- 30 & 0 11 - 30X-0 0 .

47V. 47T0 3. 4Y41 10

v i

v j

R 01 Y 4T . -TT 3

v k

R

v l

11 - 30 !& 3 1 4 4-0

1-2.. 35. 4Y41

21 - -T/ 35

# . 27 64 . T-040V -TT -.6 -3-

3 T0K W-T . 4Y41 4-3 # 1 4-T1T0

35. -. -. -. . 0-.

Ÿ

 

501 4-0 .

-T/ 0 3 -TT

Ÿ

0T0  

-.

k ≥ 5

^{R1 27}

C k

302 .

-. .

k

^{-TT & . 4Y41 4-3 64 V. -TTR}

-

C 4

10-

∼

^{1 -TT 35. 27}

G

^{30 3 1 T0K}

.06 L

u ∼ v

^{0 .1T 501 0 . 47T0 3}

G

^35T0

u

v

^{S5 . 10- 35V.0614 3}

G

^{- 1}

-.

2703.0141 35V.0614 3

∼

⁰

G

^{-K3 . .1}

4-T- 4- 1-

G

^{30 0}

G

^{4-R 1-}

G

30 !

! 3

G

^{- 1 4-T1T0}

3 4-T- 4- 3

G

^{-. -. 27}

G

^{R 15. 3}

G

^-.

G

4-

-0

G

^{. 27}

u

^R

v

^{3. -TT 3}

G

³

u

v

1 1-2.. 35. 47T0 4-3 3

G

^{3 1-2.. T00T1R35T0}

u

v

⁰

P

^{. 47T0 4-3 3}

G

^{Y . T0}

u

^{R1 -TT}

u ⁰

³

P

^{%%# 3}

u

^{Y . 40 -0R 1 -TT}

u ⁰

³

P

^{60 1 -0 T00T0 1 304}

u

u ⁰

^{414.1 3}

1 47T0

P

^{Ÿ - 3 1 27}

G

 

1 27 Y 0 -TT

a, b, c, d, e, f

^{3- 1}

-

ab, bc, cd, de, ef, f a, be

^{Ÿ6-0 2. EE} 

# # 1 27 Y 40V -TT

a, b, c, d, e

^{3- 1}

-

ab, bc, cd, de, bd

^{Ÿ6-0 2. E G  1 .. -}

a

bcd

e

^J

. ..

a

bcd

e

^{R1 -TT}

b, d

^{- 1 1 %% 3. ..}

.. . 27 .-

4-T1T0

a

bcd

e = b

eca

d

. 4Y41 0T03 1-2.. . T-040V 64 . .1

Ÿ   J

E

a b c

d e

f

"% EE

3-T0-

a

b

c

d

e a

b

c

d

e a

b

c

d e

"% EG

..R . 27 .-

4-T1T0

. 021 64 15.0V. 4-3 1 1 %

1 1. 0 T0-R 45 .0 1 27

P 5

U0- U0- -.

P 5

"% E

T0-

. 27 3- 1 -TT 00- -0

T/1 03.0 3 47T0 4-3

P 1

R

P 2

R

P 3

1 V. -.

i = 1, 2, 3

^R

P i

3 1-2.. . T-0

1

^{R 35T0}

a i

b i

R 1 V.

{a ₁ , a 2 , a 3 }

{b ₁ , b ₂ , b ₃ }

^{03.0 3 021 1 V.R -.}

1 ≤ i < j ≤ 3

^{R 01 50}

.4. 3 -TT 3

P i

P j

. V. 411 3 021

Ÿ

6-0 2. E  

0T 30

Ÿ

 

0 1 -0 47T0

P 1 , P 2 , P 3

- 3 1-2.. 0

Ÿ

0T0  

EF

0T

C 6

0T 0

0T 0T0

"% E

0T

-0- 35% 30 W-T11T 3 IG J

T0K

0T1R01 5 2035. .0 35-0-T 3 -.3 . -/1KT

1 414.1

T011.41K/R15 12-07TV.0 -.631 106 I

3

1T35

.4103 GI T3 -.6 1 1.23 4-TT. 3060.

3 3. -T/

-0- 35440 35. 12-07T .30 3.0 1 T010. 3.

0K41 64 1 361-T 3 1 7-0 3 1 4-T10

-0-

3

3.

O

^{.010 -. 3- . 0T0- 3 1 60 35}

4.0- 3 12-07T 12-07T 3 %&

O(f(n))

^{R -}

f

. W-40- T7T0V.R 501 0 . 4-

c

^{11 V. 1 -T/}

35-0- 40 -. 4. 1512-07T . . 3 011

n

0W0.

c × f (n)

12-07T

-. %% 01 W-40-

f

^{. -1YT}

W-40- 3

n

^{R 4530 501 0 . 0}

k

^{1 V. 15 12-07T 3}

4-T10

O(n ^k )

^{41 3 -/1KT !% G . 41}

3 -/1KT -. 1V.1 501 -0/1 3 -.3 15. 35 .

T -1Y-T01R 1- 01 -0/1 3 -.3 -. 1 .

1

4-X4. V.501 50 3512-07T -1Y-T01T 3 -.3

. -/1KT

4-T1

4-T10 35. 12-07T -1Y-T01 3- 15 . 27

50T -. 1 W-T

O(P (n, m))

^{R -}

P

^{. -1YT W-40- 3.}

-T/

n

^{3 -TT3.-T/}

m

^{35 -T/ T0T.T 35}

35. 27 .

n

^-TT

ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₂

^{1 3-4 -0/1 350T .}

4-T10 W-40- 3

n

m

^{.0V.T W-40- 3}

n

^{L . 12-07T}

3 4-T10

O(P (n, m))

^{.0 3 4-T10}

O(P (n, n ² ))

E

-040 . T1 3512-07T . 1 27 L 1 # %#

-. !"#

Ÿ

-. !

 

5 12-07T !"# 4-.0 . -3

04.10 . 1 -TT 3. 27 .010 . 1 '% .

.4. 3 3- 3 1V.11 01 -0/1 35X-. 3 0 3

1T . .

-V.5. 1T 0 35. 1R 45 -.X-.

151T 1 1. 40 V.0 0

Ÿ

41.0 V.0 Y T0 1 1.

 

-040

. 3400- W-T11 3 1512-07T !"#

P% !"#

&P 27

G

^.

n

^{-TT . -TT}

v

³

G

#P% -3

σ

^{. 1 -TT 3}

G

N

-0

F

^{. 1 603R X-.}

v

F

^R-0

σ(v) = n

i = n − 1

V.

F

^{- 603 L}

0 1 -TT

a

³

F

^{V.0 T0T0}

σ

-. 47V. 6-00 -

.T-

b

³

a

^{R X-.}

b

F

^{R -}

σ(b) = i

i = i − 1

%

O(n + m)

S 12-07T T T1 3 34 0 . 27 4-

-. 41 01 . 3 1 61. 3

i

^{1 3 1512-07T 0}

i = 0

^R

-. 1 -TT 3. 27 - .T- 1 27 4-

0

i > 0

^{R 1 27 5 4-}

-0

G

^{. 27}

k

^{. 0 % 3}

G

^.010

k

^4-.1.

. 00- 3

V (G)

^T/1

S 1 , . . . , S k

1 V. -. -.

1 ≤ i ≤ k

^{R1 27}

G[S i ]

^{. /10}

v ∈ S i

R 1 -TT

v

^{# 1 4-.1.}

i

^{$ "# 3}

G

^{R -}

χ(G)

^{R 1 1. 0 0}

k

^{1 V.}

G

^{-K3 . 4-1-0-}

k

^{4-.1. 4-1-0- 3}

G

^.010

χ(G)

4-.1. 30 %

J

4030. 27 -K3 . 4-1-0-

k

^{4-.1. . -/1KT}

4-T1 F

150 3-4 3-. 3512-07T-1Y-T01

T 3 4-1-0-.1 27 3 T0K -0T1

-. 03-

3-4 - 4747 3 41 3 27 04.10K

-0

G

^{. 27 011 35. 410V. 3 011 T0T.T 3}

G

-

ω(G)

^{1 410 V. 0 . 27}

G

^{4-0 . 410V. 3 011}

k

^R

01 W. . T-0

k

^{4-.1. -. 1 4-1-0 J-4R -. 27}

G

^{60 L}

ω(G) ≤ χ(G)

^{1 .1 3 3T3 501 Y 210 1 -T/}

EI

0 4-

T1

C 5

L

χ(C 5 ) = 3

ω(C 5 ) = 2

^{1. 21TR}

50T- V.1 -. 0T0 60

χ(C _2k+1 ) = 3

ω(C _2k+1 ) = 2

^7-.01

-.0 21T TV. V. 50T- V.1 0-. 0T0 60

χ(C 2k+1 ) = k +1

ω(C 2k+1 ) = k

^J-4R15210

χ = ω

^{W. 21R}

T001 03 3T3-.V.127113T. 4

J

. 27

G

^{R. 4-1-0-3}

G

^{. 410V. 3}

G

^{- 30}

%% 0 1 011 3 1 410V. 4T 21 . -T/ 3 4-.1. 3

1 4-1-0-R 3 4 4R 1 410V. 3 011

ω(G)

^{1 4-1-0- .010}

χ(G)

^4-.1.

EHR

2 G 30 1 41 3 27 4-TT

1 41 3 27

G

^{1 V. -. -.27 03.0}

H

³

G

⁶⁰

χ(H) = ω(H)

^{S 41 3 27 . 4-TT . 41}

3 27  21 . 1V.11 1 -/1KT 3 1 4-1-0- -.60

-1. 44T

E

R

471R

-6

470X6R F -

3- . 12-07T -1Y-T01 V.0 -.6R -. -. 27 W0R .

4-1-0- . 410V. 3 TT 011 J

T0 1 -T/ 47-T0V.

35. 27

4-T1 21RT0 360 3-4 -1Y-T01 . 1

41 3 27 W0

4747 Y 4-3.0 15 12-07T 3

471R

-6

470

X6R-X-. . 1 41 3 1 361-T 3 /47 0T-

3 15-0T00-R4-TT 1-2TT0- T0

30

Ÿ

6-0 I  

S 12-

07T .010 1 T7-3 3 110-3 3 470Y FI V.0 K30401

0T1T 0- 3 -/1KT 350/010 .T0V.

011.R

3. -0 3 6. 3 1 7-0 3 27R4 12-07T 5 4-T1K

T 0W0

1 0 W/1 356-0 . 12-07T V.0 0 0 3

-0 4-T/0-0 3 27

1 3-4 4-03 V. 1 4747

35. 12-07T .T 4-T/0-0 T 3 4-1-0 1 27

W0 3 T0K 44 . V.0- -.6 S 7K 14

40T 3 1 43 3 4 V.0-

-. 0T010-. 0T0 -327W0

ž00R3K V.5. 27 4-0 15. 35.R 01 5 - 1. W0

27 -. 0T0 0-. 0T0 - 3-4 1 1. 23

41 3 27 3- 01 -0/1 35 1 W40- 27

30 0 .1T501 4-0 0 -. 0T0R00-.0T0

ž. 3/. 3 EHR

2 -4 3. 4-X4. 41K/

T0KR 30

# $% R .30

.1- HR .0 1T 3T-

-6 EIE ER G S5

4 V. -. 1- T0 1 & L

- '

#% !

E

3.0KT 4-X4. 3

2R 30

# !

R W0 15-/X 3 -T/. 4747 6 35 1T 3T-

S7.3-6YR

-/-R

YT-.

7-T GHHG E

S5 4

V. -. 1- T0 1 & L

- ' .

#% %

-/1KT 3 1 4-04 3 27 W0 1.0 .0

-1.

GHHGR S7.3-6YR S-.X-1R

0.R

YT-.

.-60 E

- 3- . 12-07T 3 4-T10

O(n ⁹ )

^{T 3 4-}

1 27 W0

J

4 0R V.1V. 12-07T 3 4-1-0- - R 01

- .010 304T -. 0304T 3 1 .0 3 4 7K

S7V. 12-07T 011. . T1 3 27 -. 1V.1 1 4-1-

0- -/. . -0T1

27

P 6

.010 1.0.

0 4-TT 4-

T1

Ÿ

6-0 2. EF  

J

1 470 R -.

6- . 12-07T V.0 T 3 4-1-0 3 T0K -0T1 1 41

3 27 4- 0 -. 0T0R 0 0-.R 0 .. S 41

4-0 1 27

P 6

a b c d e f

a

b

c

d e

f

P 6 P 6

"% E F

47T0 4-3 0 -TT - 4-T1T0

512-07T P 1512-07T 1 1. .1 T 3 4-

1-0 1 -TT 35. 27

3- . -3 . 1 -TT 3.

27R412-07T4-. 1-TT1- 4-3 3- 47V.

-TT 1 1. 0 4-.1. - 0/. 6-00

-040 . 340

0- W-T11 3 15 12-07T

E

P% P

&P 27

G

⁶⁴

n

^{-TT . -3}

σ

^{. -TT}

#P% 4-1-0- 3 -TT 3

G

N

-.

i = 1, . . . , n

^L

47-00 1 -TT - 4-1-0

x

^{V.0 T00T.T -.}

σ

4-1-0

x

^{64 1 1. 0 4-.1. V.0 5 3 -}

6-002

%

O(n + m)

1 W401 3 6-0 V. -. -. 27R 01 0 . -3 1 V. 15 1

2-07T P 10V. 41.0

40 3- . 4-1-0- -0T1 1

-3 . -/. 0 35. 4-1-0- -0T1 -3- 1

-TT -3 4-0 3 1. 4-.1.

2. E 3- . T1 35-3 3 -TT 3

P 4

1 V. 1

4-1-0- -/. 1512-07T P 5 -0T1

a

1 2 3 1

d c b

3

σ

^{L 3 / 4}

"% E

T1 354.0- 3 15 12-07T P

-0

G

^{. 27}

σ

^{. -3 . 1 -TT 3}

G

^5-3

σ

³⁰

0R -. -. -.

27 03.0

H

³

G

^{R 1 4-1-0- -/.}

15 12-07T P . 1 27

H

^15-3

σ

⁰

H

^-0T1

27

G

^{30 $%501-K3 . -3 W0}

S761 E T- V. 4 300- V.061 . W0V.50150

3

P 4

03.0 3

G

^{R -}

v 1

v 2

v 3

v 4

R 1 V.

v 1 < v 2

v 4 < v 3

−

512-07T !"#

Ÿ

04-2704

37

0

47  

3

-R

X

. I . 12-07T 3 4-T10

O(n + m)

^V.0

30 3 1 /. 3 4- 1 27 02.1 27 30

#%& 501 4-0 0 -.R 0 4

!"# 4-. 1 -TT 35. 27 1 .T- . . 3

n

1

^{-3 15 21R47V. -TT- .T- . 0V.R}

4--3 15T/1 3 .T- 3 6-00 3X .T-

-3 104-270V. 30 . 1 0V. L 150V.

L(a)

^!

%# V. 150V.

L(b)

^{501 0 . 0}

i ∈ L(a) \ L(b)

GH

1 V.

∀j > i

^R

j ∈ L(a) ∩ L(b)

^-.

j / ∈ L(a) ∪ L(b)

^{-470 -TT}

V.0 .T- 1 -TT 3- 150V. T0T1 1- 15-3

104-270V.

-040 . 3400- W-T11 3 1512-07T

P% !"#

&P 27

G

#P% -3

σ

^{. 1 -TT 3}

G

N

-. -. -TT

a

³

G

^{R -0}

L(a) = ∅

-.

i = n, . . . , 1

^L

47-00 . -TT

a

^{350V. T0T1 -}

σ(a) = i

-. 47V. 6-00 - .T-

v

³

a

^{R X-.}

i

L(v)

%

O(n + m)

-0

G

^{. 27 -TT}

v

³

G

^{30 %% 0 .1T}

0

N (v )

^{03.0 . 410V. 3}

G

^{&% %% .}

-3

(v 1 , . . . , v n )

^{3 -TT 3}

G

^{1 V.R -.}

1 ≤ i ≤ n

^{R 1 -TT}

v i

0T10401 3 1 27

G[v 1 , . . . , v i ]

^{-R X .. I}

- T- V.5. 27 02.1 0 .1T 0 15-3 -3.0

1512-07T !"# . -3 3510T00- 0T10401

512-07T !"#

−

^{P 302 1512-07T P 10V.}

15-3 06 3 41.0 -/. 1512-07T !"# 4-1-0-

-/. 15 12-07T !"#

−

^{P . 1 41 3 27 0}

2.1 -0T1

-.1

.. H - 210 4 .1 3

T- 15-0T10 . 1 41 3 27 0

02.1 27

30

i

^{!#%& 0 -. 4Y41 0T0 3 1-2.. .0. -. 21 40V}

4-0 . T-0 3. 4-3 -

4-0

27

P 6

. T1 3 27 . 1V.1 1 4-1-0- -/.

1512-07T !"#

−

^{P 5-0T1 Ÿ6-02. E I E} 

a

b

c

d e

f {}

{6}

{6}

6 {6}

{}

a

b

c

d e

f {5}

{5}

{6}

{6}

6 5

a

b

c

d e

f {5}

{5,4}

{6,4}

1

4

6 5

a

b

c

d e

f {5,3}

{5,4,3}

4

6 5

3

a

b

c

d e

f {5,3,2}

4 3

6 5

2

a

b

c

d e

f

6 5

2 1 3

4

GE

a

b

c

d e

f 1

3

2 1

4 2

3 06 -/.

Ÿ

6-0 2. E I  

L / 4 W 3

"%E

T1 354.0- 3 15 12-07T !"#

−

^P

512-07T $%& 3



. 12-07T 3 4-T10

O(nm)

^{V.0 30 3 1 /. 3 4-1-0 1 27 3 UY01 F}

27 30 3 % 0 -. 4Y41 0T0 3 1-2.. .0.

-. 21 40V 4-0 . T-0 3. 4-3

27 3 UY01 -

4T 1 27 4- 0 -. 0T0R0 T0-

S 12-07T 4-.0 006T 1 41 3 4-.1.

-.

4-.0 1 41 3 4-.1.

c

^{R 15 12-07T 140- 3 -TT X.}

V.5 4 V. -. 1 -TT 3. 27 0 . 6-00 4-1-0

c

^{ž 47V.}

R 1 -TT 4-1-0

c

^{. -TT V.0 5 3 6-00 4-1-0}

c

V.0 T0T0 1 -T/ 3 6-00 4-TT. 64 1-TT 3X 4-1-0

c

^{-040 . 3400- W-T11 3 15 12-07T}

P% $%&

&P 27

G

#P% 4-1-0- 3 -TT 3

G

N

-0

c = 1

V.501 0 3 -TT - 4-1-0 L

501 0 . -TT - 4-1-0 V.0 5 3 6-00 4-1-0

c

^L

-0

A

^{15T/1 3 -TT - 4-1-0 V.0 - . 6-00}

4-1-0

c

47-00 . -TT - 4-1-0

v

^{V.0 5 3 6-00 4-1-0}

c

V.0 1 -T/ T0T.T 3 6-00 3

A

4-1-0

v

^{64 1 4-.1.}

c

0-R -

c = c + 1

%

O(mn)

GG

1 3



F

 10V. - 12-07T T 3 4-40-

3 -TTRT0 01 -. 1. 0T1 3 1 3 4 -0-

3 1 3400- 3 1512-07T

27

P 6

. T1 3 27 . 1V.1 1 4-1-0- -/.

1512-07T $%& 5 -0T1

Ÿ

6-0 2. E  

a

b

c

d e

f 2

3 2

4 1

1

3 3 4-1-0- L 4R/R 3R R RWR

"% E

T1 354.0- 3 15 12-07T $%&

512-07T P 3

-.1

.. ER 3 4-T10

O(n ² )

^R

1.0 .0 30 3 1 /. 3 4-1-0 1 27 3 UY01

S 12-07T -40 3 0V.

label x

3 1-2..

n

^{47V. -T}

T

x

³

G

^{-. 47V. 4-.1.}

1 ≤ c ≤ n

^R0

x

^{5 3 6-00 4-1-0}

c

^R

1-

label x (c)

²¹

0

⁰

x

^{. 6-00 4-1-0}

c

^{R 1-}

label x (c)

²¹

150

i

^{1 V. 1 T0 6-00 3}

x

^4-1-0

c

^{1 Ÿ}

n

i

 ^{0KT -TT}

4-1-0 3. 27 -3 104-270V.

Ÿ

06  

. 1 0V.

30 3 1 T0K .06 L

label x < Lex label y

0 .1T 501 0

. 4-.1.

c

^{11 V.}

label x (c) < label y (c)

∀ c ⁰ > c

^R

label x (c ⁰ ) = label y (c ⁰ )

ž 47V. R 1512-07T 140- . -TT - 4-1-0 3-

150V. T0T1 -.15-3 104-270V.R1.03- 1 1. 0

4-.1.- 3- 6-002 0K 4 -43X.V.5 4 V. -.

1 -TT -0 4-1-0

-040 . 3400- W-T11 3 1512-07T

P% P

&P 27

G

⁶⁴

n

^-TT

#P% 4-1-0- 3 -TT 3

G

N

-. -. -TT

x

^{-. 4-.1.}

c

^{R -0}

label x (c) = 0

-.

i = 1, . . . , n

^L

47-00 . -TT - 4-1-0

x

^{V.0 T0T0}

label x

-.

< Lex

4-1-0

x

^{64 1 1. 0 4-.1.}

c

^{V.0 5 3}

G

-. -. 6-00 - 4-1-0

y

³

x

^{R 0}

label y (c) = 0

^{R -}

label y (c) = n − i

%

O(n ² )

S 60- 3 P 30 K . . 3 1 60- -0201 3

-.1

.. E

-V.

x

^{. 6-00 4-1-0}

c

^{R 150}

label x (c)

30 3 E 4-TT 150

i

^{1 V. 1 T0 6-00 3}

x

4-1-0

c

^{-0 1 Ÿ}

n

i

 ^{0KT -TT 4-1-0 64 1 4-.1.}

c

^{Ÿ 1 14 3. Ÿ}

n

i

 ^{0KT -TT 4-1-0 3 4-.1. V.14-V.  -. . 4-.1.}

c

^{R 15-3}

1

label x (c)

^{3 47V. -TT 1 TT 3 1 3. 60-}

3 15 12-07TR 3-4 15-3 104-270V. 1 TT 01 5Y

3 30 4 1 3. 4.0- 3 1512-07T S T-3040-

TX. 3 0T10 1 3400- 3 15 12-07T

27

P 6

. T1 3 27 . 1V.1 1 4-1-0- -/.

1512-07T P 5 -0T1

Ÿ

6-0 2. EEH  

a

b

c

d e

f (6)

(6) (−)

(−)

(6) 1

a

b

c

d e

f (6,−)

(6,−) (−,5)

(−,5)

2 1

a

b

c

d e

f (6,−)

(6,−) (4,5)

2 1

1

a

b

c

d e

f (6,−,3)

(6,−,3) 2

1

1

3 a

b

c

d e

f (6,2,3) 2

1 3

1 2

a

b

c

d e

f 2

3

1 4

2 1

"% EEH

T1 354.0- 3 1512-07T P

G

S 470 4-4 15-0- 3 4-40- 3 0 35 T0 V.0

T 3 4-1-0 1.0. -.

41 3 27 W0 2100-

3 1 -0- 3 0 35T0R00 V.5. 4-X4. 4 .XR - --

1- 1 T0K 3- 1 4-40- 4.R 1.0. -0

0 .6 S -0 - .010 3 1 47

0

P ₄

3-3. -TT

x, y

³

G

^{R15-0- 3 4-0}

0

x

y

^{R .0 X-. . -.6. -TT -}

xy

^{10 47V.}

-TT 3

N (x) ∪ N (y)

^{27 -/. -}

G/xy

'

{x, y}

^{# ! #}

G

^%

ω(G) ≤ ω(G/xy)

χ(G) ≤ χ(G/xy)

#

-0

Q

^{. 410V. 3}

G

^{J4 4R1 410V.}

Q

^{4-0 . 1.15.}

3

x, y

⁰

Q

^{4-0 0}

x

^R0

y

^R15T/1

Q

^{.0 . 410V. 3}

G/xy

0

Q

^{4-0 4T 15. 3}

x, y

^{R1- T1 4 -TT}

xy

^R

-. -/- . 410V. 3

G/xy

^{3 TT 011J-4}

ω(G) ≤ ω(G/xy)

ž 035. 4-1-0- 3

G/xy

^{R. 4-1-0- 3}

G

^{R.010 1 TT}

-T/ 3 4-.1.R-/. 3-

x

y

^{1 4-.1.3. -TT}

xy

^R

472 1 4-.1.3.-TT J

-4

χ(G) ≤ χ(G/xy)

2

''

G

^{# % # #}

G 0 , . . . , G k

%% "#

G = G 0

#

1 ≤ i ≤ k

^%

G i

$# #