Cours de Master 1 Grenoble 2me semestre Chris Peters

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Alg`ebre 2

Cours de Master 1 Grenoble 2me semestre 2011–2012

Chris Peters

Avril 2012

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Introduction

Voici un résumé du cours Algèbre pour Master 2. Le sujet principal est la théorie des représentations des groupes finis. J’ai largement suivi les Chapitres 1, 2, 5 et 6 du livre excellent de Serre [Se].

Au programme ´etait des sujets suppl´ementaires :

– les transform´es de Fourier rapide, sujet li´e aux calculs sur machine : voir le§3.3 ;

– plus de d´etails sur les tables de caract`eres, voir le Chap. 4 ;

– applications sur la structure des groupes (th´eor`eme “pq” de Burnside) : voir le Chap. 6 .

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Bibliographie

[Se] J.-P. Serre : Linear representations of finite groups, Springer- Verlag, New York etc. 1977.

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6 BIBLIOGRAPHIE

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Table des mati` eres

1 Notions de base 9

1.1 Repr´esentations . . . 9

1.2 Exemples de base . . . 10

1.3 Repr´esentations ´equivalentes . . . 10

1.4 Sous-repr´esentations . . . 10

2 Caract`eres 13 2.1 D´efinition . . . 13

2.2 Lemme de Schur . . . 13

2.3 Produit scalaire et applications . . . 14

3 L’alg`ebre C[G]. 17 3.1 Le produit de convolution . . . 17

3.2 Le cas ab´elien. . . 19

3.3 Application : Transform´ee de Fourier rapide . . . 20

3.4 Le Centre deC[G] et les Fonctions Centrales . . . 20

3.5 Application aux repr´esentations irr´eductibles . . . 21

4 Exemples 23 4.1 Table des caract`eres . . . 23

4.2 Autres Exemples . . . 24

4.3 Table de caract`eres et la structure de groupe . . . 26

5 Retour sur le centre de C[G] 29 5.1 D´ecomposition du centre deC[G] . . . 29

5.2 Interm`ede : les entiers alg´ebriques . . . 30

5.3 Application . . . 32

6 Application : le théorème pq de Burnside 33 6.1 Groupes résolubles et nilpotents . . . 33

6.2 Le th´eor`eme de Burnside . . . 34

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8 TABLE DES MATI `ERES

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Chapitre 1

Notions de base

1.1 Repr´ esentations

SoitGun groupe,K un corps etV unK-espace vectoriel.

D´efinition 1.1.1. V est une repr´esentation deG si on a un homomorphisme de groupes

ρ:G→GL(V).

Sin= dim_KV <∞on dit quenest ledegr´ede la repr´esentation.

On ´ecritV^G={ρg(x) =x;g∈G}, le sous-espace desG-invariants.

On écrira plutôt ρ_g au lieu de ρ(g). Écrivant 1∈ Gpour l’unité de Get · pour la composition dansG, on a alors :

ρ₁= id_V, ρ_g·h=ρ_g^◦ρ_h, ρ_g−1=ρ⁻¹_g , g, h∈G.

Si ρest de degr´e n, choisant uneK-base {e1, . . . , e_n} deV, on peut identifier GL(V) avec GL(n, K) et

ρ_g(e_j) =

n

X

i=1

R_ij(g)e_i, la matrice (R_ij(g))i,j=1,...,n correspondant `aρ_g.

Cas spécial : dim_KV = 1. Puisque GL(1, K) =K^× une représentation de degré 1 est un homomorfismeχ:G→K. On l’appelle uncaractère mutiplicatif.

Lemme 1.1.2. L’ensemble Gb des caractères multiplicatifs de G est un groupe abélien avec opération de groupe(χ_·χ₂)(g) :=χ₁(g)·χ₂(g)(produit dans K).

On montre

Proposition 1.1.3. 1) SiGest un groupe ab´elien finiG, le groupeGetGbsont isomorphes (mais pas canoniquement) ;

2) L’application

G → Gbb (double dual deG) g 7→ (χ7→χ(g)) evaluation eng est bien-definie, c’est en effet un isomorfisme de groupes.

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10 CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE

1.2 Exemples de base

SoitX un ensemble fini tel queGagit surX, i.e. on a un homomorphisme σ:G→Perm(X) (permutations deX).

On prend V = P

x∈XKe_x et on fait agir G de fa¸con naturelle sur la base σ_g(e_x) =e_σ(x) et on étend parK-linéarité.

Exemples 1.2.1. 1)G=S_n, le groupe sym´etrique op´erant sur{1, . . . , n}.

2) Représentation régulière RG du groupe fini G : on prend V = G avec l’action donnée par multiplication à gauche :Rg(h) =g·h.

3)Somme directeSi V etV⁰ sont deux repr´esentations deGaussi la somme V ⊕V⁰ l’est.

3) Si (V, ρ) et (V⁰, ρ⁰) sont deux représentations de Gl’espace K-vectoriel des applicationsK-linéaires deV versV⁰ l’est. On définit l’action comme suit :

τg:=ρ⁰_g⁻¹^◦τ^◦ρg, τ∈Hom(V, V⁰).

Siτ ∈Hom^G(V, V⁰), i.e. siτ estG-invariant on dit queτ est G-´equivariant.

On a aussi des exemples g´eom´etriques.

Exemples 1.2.2. 1) Le groupecycliqueCnd’ordrenavec générateurrs’identifie avec le groupe des rotations du plan euclidien engendré par la rotationr d’angle 2π/n. Si on identifie R² et C on peut identifier r avec la multiplication par le nombre complexe e^2πiⁿ . AinsiCest un caractère multiplicatif deCn

mais en regardantCcommeR²aussi uneR-représentation de degré 2. Ensuite, regardant les coefficients des matrices de taille 2 pour r^k comme des nombres complexes, aussi uneC-représentation de degré 2. Puisque les pointse^2πkiⁿ sont les a sommets d’un polygone régulierP_nd’ordrenon peut voirC_naussi comme le groupe des symétries directes deP_n.

2) Le groupe diédralDn des toutes les symétries dePn est engendré parret une symétries, l’application (x, y)7→(x,−y). Le planR²est une représentation de Dn de degré 2. Il n’est pas vrai que C est une représentation car s est la conjugaison complexe qui n’est pasC–linéaire.

1.3 Repr´ esentations ´ equivalentes

Deux représentations (V, ρ) et (V⁰, ρ⁰) (sur un corpsK) sont équivalentes s’il y existe un isomorphismeK-linéaireτ:V →V⁰ telle queρ⁰_g=τ^◦ρ_g^◦τ⁻¹, c.à.d.

il existeτ ∈Hom^G(V, V⁰), un isomorphisme ´equivariant.

Exemple 1.3.1. Si V est une représentation de G de dimension n un choix de base donne une action sur Kⁿ. Un autre choix choix de base donne une représentation équivalente.

1.4 Sous-repr´ esentations

SoitV une représentation. Un sous-espace stable parGest appellé unesous- représentation. Il y a toujours les sous-représentations ditestriviales {0}et V. SiV n’admet aucun autre sous-représentation, on dit queV estirréductible.

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1.4. SOUS-REPR ÉSENTATIONS 11 Exemple 1.4.1. Supposons que K = C. On va montrer que siG est fini et abélien, une représentation est somme directe de représentations de degré 1, nécessairement irréductibles. D’abord on note que g^m = e, alors ρ^m_g = idV

et donc le polynôme minimale de ρg divise X^m−1, un polynôme à racines différentes. Doncρgest diagonalisable avec valeurs propres des racines d’unité. Si de plusGest fini et abélien, lesρgcommutent et donc il y a une base{e1, . . . , en} des vecteurs propres communes à toutes lesρ_g. Il suit queV =Ln

j=1Ce_j est la d´ecomposition souhait´e.

Théorème 1.4.2. Soit V une représentation d’un groupe fini G et W une sous-représentation. Alors W admet une supplémentaireW⁰ stable par G.

D´emonstration: SoitW⁰ n’importe que suppl´ementaire etp:V →V la projection surW ayantW⁰ pour noyau. Rappelons quepg=ρg^◦p^◦ρ⁻¹_g . L’application

p⁰:= 1

#G·X

pg:V →V

a W pour image etp⁰|W = idW. Doncp⁰ est une projection surW. Le noyau W⁰est une suppl´ementaire. Puisquep⁰estG-´equivariant par construction,W⁰ estG-stable.

Clairement on a : V est irréductible si et seulement si V n’est pas somme directe de sous-représentations non-triviales et donc le théorème implique (par récurrence sur la dimension deV) :

Corollaire 1.4.3. Chaque représentation de dimension finie se décompose en représentations irréductibles.

Un mot d’avertissement : cette d´ecomposition n’est pas unique !

Remarque. SoitK=CouRetV uneK-espace muni d’une métrique provenant d’une forme sequilinéaireh,i. Alors siV est représentation d’une groupe finiG on peut remplacer cette forme par

hx, yi⁰= 1

#G·X

hρgx, ρgyi, x, y∈V.

Cela donne une m´etrique G-invariante sur V et siW est G-stable, aussi W^⊥ l’est.

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12 CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE

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Chapitre 2

Caract` eres

On suppose queV est unC-espace de dimension finie. A partir du §2.2 on supposeraGest un groupe fini.

2.1 D´ efinition

Soitf un endomorphisme deV.

Soit (Fij) la matrice def par rapport `a une base deV. On sait que Trf = P

iFii. LorsqueCest alg´ebriquement clos, Trf =P

(valeurs propres def).

Définition 2.1.1. Lecaractèreχ:G→Cassocié à une représentation (V, ρ) est défini par χ(g) := Tr(ρ_g). On dit que χest un caractère irréductiblesi ρ l’est.

Si fⁿ = idV, les valeurs propres sont des n-ième racines d’unité. Dans ce cas Trf est somme de racines d’unité. Cela applique à f = ρg, (V, ρ) une représentation de groupe fini G.

Pour f =χ un caract`ere d’un groupe fini on a

χ(g⁻¹) =χ(g). (2.1)

En effet,χ(g⁻¹) = Tr(ρ_g−1) = Tr(ρg)⁻¹=Pλ⁻¹somme sur les valeurs propres λdeg. Maisλ´etant une racine d’unit´e, on aλ⁻¹= ¯λet Pλ¯=P

λ= Trρg.

2.2 Lemme de Schur

Lemme 2.2.1 (Schur). Soientρⁱ :G→GL(V_i),i= 1,2 deux représentations irréductibles et soit f :V₁→V₂équivariante. Alors,

1. soitf = 0, soit f est un isomorphisme ;

2. de plus, si(V, ρ) = (V₁, ρ¹) = (V₂, ρ²), alors f =λ·id_V.

La preuve découle immédiatement du fait que lesVi,i= 1,2 sont irréductibles.

Remarque. Le point i) reste vrai pour n’importe quel corpsK, pour ii) on doit supposer queKest alg´ebriquement clos. On n’utilise pas queGest fini.

Pour le résultat suivantGdoit être fini. C’est une conséquence immédiat du lemme de Schur.

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14 CHAPITRE 2. CARACT ÈRES Corollaire 2.2.2. Soient ρⁱ : G → GL(Vi), i = 1,2 deux représentations irréductibles d’un groupe finiG, et soitf linéaire (mais pas forcément équivariante).

On pose

f⁰= 1

|G|

X

g∈G

(ρ²_g)⁻¹^◦f^◦ρ¹_g. Alorsf⁰ estG-´equivariante et donc :

1. f⁰= 0 siV₁ etV₂ ne sont pas ´equivalentes ; 2. si(V, ρ) = (V1, ρ¹) = (V2, ρ²), alors

f⁰= Trf dimV ·idV .

On a besoin de la forme matricielle des deux assertions de la Corollaire précendente. On suppose queρ¹_gcorrespond à (Rij(g) etρ²_gà (Sk`(g). On trouve dans les 2 cas de la Corollaire précédente :

1) ⇐⇒ X

g∈G

S_ij(g⁻¹)^◦R_k`(g) = 0 ∀i, j, k, ` (2.2)

2) ⇐⇒ X

g∈G

Rij(g⁻¹)^◦Rk`(g) = |G|

dimV δik·δj` ∀i, j, k, `. (2.3)

2.3 Produit scalaire et applications

On considère C[G], la représentation régulière de G avec base {eg}_g∈G. A noter que f ∈ C[G] est une somme f =P

g∈Gf(g)e_g et donc on peut la voir comme fonctionf :G→C.

L’ensemble C[G] n’est pas seulement unC-espace vectoriel mais admet un produit scalaireG-invariant :

hf |f⁰i= 1

|G|

X

g∈G

f(g)f⁰(g).

Dans le cas spécial où f =χ, le caractère d’une représentation, par (2.1) on a χ(g) =χ(g⁻¹) et donc

hf |χi= 1

|G|

X

g∈G

f(g)χ(g⁻¹) = 1

|G|

X

g∈G

f(g⁻¹)χ(g) (2.4) Les formules (2.2), (2.3) et (2.4) impliquent :

Proposition 2.3.1. Soient χ,χ⁰ les deux caract`eres irr´eductibles de ρ, ρ⁰ respectivement. Alors,

1. hχ|χi= 1 =hχ⁰|χ⁰i;

2. ρet ρ⁰ in´equivalente impliquehχ|χ⁰i= 0.

SoientV₁, . . . V_hles représentations irréductibles deGqui correspondent aux caractères distincts¹ {χ1= 1, . . . , χh}.

1. On a utilisé ici que pour|G|=nfini, il n’y a qu’un nombre fini de classes d’équivalence de représentations irréductibles car il n’y a qu’un nombre fini de caractèresχ:G→C(χ(g) est un desn-ième racines d’unité et donc en total au plusn²possibilités pourχ).

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2.3. PRODUIT SCALAIRE ET APPLICATIONS 15 Théorème 2.3.2. SoitV une représentation avec caractère χet soit

V =V₁⁰⊕ · · · ⊕V_k⁰ une d´ecomposition en irr´eductibles. Alors

ni :=hχ|χii=nombre de j telle que V_j⁰'Vi.

Si V⁰ est une autre G–représentation, alors V et V⁰ sont équivalentes si et seulement si leurs caractères sont égaux.

Le théorème est une conséquence directe de la Prop. 2.3.1.

D´efinition 2.3.3. La d´ecomposition

V =W1⊕ · · ·Wh, Wi =⊕{^j;Vj⁰'Vi}V_j⁰ ' ⊕V_iⁿⁱ. (2.5) s’appelle lad´ecomposition isotypique

Proposition 2.3.4. SoientV1, . . . Vh les représentations irréductibles deGqui correspondent aux caractères distinctes {χ1= 1, . . . , χh}. Soit (V, ρ) une G- représentation avec décomposition isotypique (2.5) Alors

n_i

|G|

X

g∈G

χ_i(g)ρ_g

est la projection sur la sommandeW_isuivant la d´ecomposition isotypique deV. En particulier, la d´ecomposition isotypique est unique.

D´emonstration: Soit qi = _|G|ⁿⁱ P

g∈Gχi(g)ρg. Alors qi est G-équivariant. Soit V⁰⊂V un sous-représentation irréductible avec caractèreχ⁰. Alorsq_i|V⁰ =λid, un multiple de l’identité. En comparant les traces on trouve

λ= ni

dimVhχi|χ⁰i=

(0 si V⁰6'V_i 1 si V⁰'Vi. et doncqi|Wi= id etqi|Wj= 0 sij6=i.

On regarde la représentation régulière (C[G], R) (avec caractèreχR). Puisque Gagit par permutation des éléments{eg},g∈Gd’une base, la matriceR(g) a trace 0 sauf si g=e. Donc siW est une représentation irréductible deG avec caractèreχ, on a :

hχR|χi= 1

|G|

X

g

χR(g⁻¹)χ(g) =χ(e) = dimW.

Donc (C[G], R)' P

dim(W)W o`u la somme est prise sur les irr´eductibles de G. Cela montre :

Proposition 2.3.5. Soient V_i les classes de représentations inéquivalentes V_i avec caractères χ_i, i = 1, . . . , h. On pose n_i = dimV_i. On a des restrictions suivantes

1. Ph

i=1n²_i =|G|, 2. Sig6=eon a Ph

i=1n_iχ_i(g) = 0.

D´emonstration: PuisqueχR(g) =P

niχi(g), le r´esultat suit car χi(e) =ni et χi(g) = 0 sinon.

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16 CHAPITRE 2. CARACT `ERES

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Chapitre 3

L’alg` ebre C [G].

3.1 Le produit de convolution

On a C[G] = L

g∈GC·eg. On obtient une multiplication∗ sur C[G] si on poseeg∗eh:=egh que l’on étend par bilinéarité :

(X

g∈G

ageg)∗(X

h∈G

aheh) = ( X

g,h∈G

agbhegh)∈C[G].

L’unité dans cet algèbre est 1:=e_e. Pour montrer que (C[G],+,∗,1) est une algèbre unitaire, on remarque que la distributivité de (+,∗) est automatique, queeg=g=geentraˆıne que1est un unité, que – finalement – l’associativité de la multiplication deGentraˆıne l’associativité de∗.

Une repr´esentation

ρ:G→GL(V) induit un homomorphisme deC-espace vectorielles

˜

ρ:C[G] −→ EndV, P

gageg 7−→ Pagρg.

On verifie ais´ement que ˜ρest un morphisme d’alg`ebres et on a :

Proposition 3.1.1. La donnée d’une représentationρest équivalente à donner son morphisme d’algèbres induiteρ.˜

Rappelons qu’on peut considérer f ∈ C[G] comme fonction f : G → C. L’élément de baseegcorrespond à la fonction deDiracδgqui prend la valeur 1 surg et vaut 0 sinon.

Lemme 3.1.2. Le produit∗ s’identifie `a la convolution parmi les fonctions : f1∗f2(h) = X

g₁g₂=h

f1(g1)f2(g2) =X

g∈G

f1(g)f2(g⁻¹h).

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18 CHAPITRE 3. L’ALG `EBREC[G].

En effet



 X

g1∈G

f1(g1)eg₁



∗



 X

g2∈G

f2(g2)eg₂



 = X

g1,g2∈G

f1(g1)f2(g2)eg₁g₂

= X

h



 X

g1g2=h

f1(g1)f2(g2)



eh.

Exemple 3.1.3. Soit G le groupe Cn cyclique d’ordre n avec g´en´erateur r.

L’algèbre C[C_n] s’identifie avec l’algèbre P_n :=C[X]/(Xⁿ−1) des polynômes

”modulo Xⁿ−1” : On envoie r `a ¯X, la classe de X dans P_n. Le produit de convolution donne le produit deP_n induit par multiplication des polynˆomes :

n−1

X

k=0

a_kX¯^k

!

∗

n−1

X

m=0

b_mX¯^m

!

=

n−1

X

k=0 n−1

X

`=0

a_`b_[k−`]X¯^k,

ou [s] est l’unique entier égal à smodulontel que 0≤[s]< n. On note que ce produit n’est pas égal au produit ”usuel” sur Goù (f ·g)(s) =f(s)·g(s). En effet, ce produit consiste à multipliera_k etb_k :

n−1

X

k=0

akX¯^k

!

·

n−1

X

m=0

bmX¯^m

!

=

n−1

X

k=0

akbkX¯^k,

donc, cette algèbre est isomorphe à l’algèbreCⁿ, somme directe de ncopies de C.

Plus tard on a besoin de la transformation de Fourier qui compare ces deux produits :

Exemple 3.1.4 (Transformation de Fourier). Un caractère multiplicatif χ:G→C^× correspond à une représentation de degré 1 avec une extension :

˜

χ:C[G]→C.

Les caract`eres multiplicatifs deGforment le groupe dualG. Leb C-espace vecto- rielC[G] est une alg`b ebre pour∗ mais aussi pour le produit donn´e par

(f1·f2)(χ) =f1(χ)f2(χ).

Pourf ∈C[G] consid´erons la fonction ˆf sur le groupe dualGb d´efinie par : Gb

fˆ

−→ C

χ7→fˆ(χ) = ˜χ(f).

On obtient ainsi lemorphisme de Fourier

(C[G], produit convolution∗) → (C[G],b produit “usuel”·)

f 7→ f ,ˆ

un morphisme deC–alg`ebres.

Cas spécial :G=Cn, le groupe cyclique d’ordrenavec générateurr. On pose ω:= exp

−2πi n

.

(19)

3.2. LE CAS AB ÉLIEN. 19 Les caractères multiplicatifs sont lesχj définis parχj(r^k) =ω^jk. Si on identifie (C[G],b ·) avec l’algèbre C⊕CX ⊕CX²⊕ · · · ⊕CXⁿ⁻¹ 'Cⁿ, l’application de Fourier devient :

f 7→fˆ=

n

X

j=0

f(ω^j)X^j. (3.1)

3.2 Le cas ab´ elien.

On applique l’exemple 3.1.4 au cas où estG abélien. Soient χ1, . . . , χn les n = |G| caractères multiplicatifs de G. Ils donnent une base orthonormée de C[G] et donc pour toutf ∈C[G] on a :

f =

n

X

i=1

hf |χ_iiχ_i=

n

X

i=1

hf |χ¯_iiχ⁻¹_i . D’autre part, par la d´efinition du produith− | −ion a

fˆ(χi) = ˜χi(f) =X

g

f(g)χi(g) =|G|hf |χ¯ii.

On a donc laformule d’inversion: Lemme 3.2.1.

f = 1

|G|

X

χ∈Gb

fˆ(χ)χ⁻¹= 1

|G|

X

χ∈Gb

fˆ(χ⁻¹)χ.

Ce lemme implique quef 7→fˆest injective et donc

Proposition 3.2.2. Pour un groupe ab´elien G, la transformation de Fourier est un isomorphismeC[G]−→^∼ C[ ˆG].

Exemple 3.2.3(Le groupe cycliqueCn). Revenons à l’équation (3.1). L’isomorphisme dit quef est déterminé uniquement par ses valeurs au points 1, ω, . . . , ωⁿ⁻¹. En effet, la formule d’inversion n’est rien autre que la formule d’interpolation de Lagrange : par la formule d’inversion, on a

f = 1 n

n−1

X

k=0

fˆ(χ⁻¹_k )X^k

=

n−1

X

k=0

h1 n

n−1

X

j=0

f(ω^j)ω^−kji X^k

=

n−1

X

j=0

f(ω^j)h1 n

n−1

X

k=0

ω^−kjX^ki

| {z }

pj(X)

et pj(X) est le polynˆome de Lagrange degr´e n−1 tel que pj(ω^`) = δj`, ` = 0, . . . , n−1.

(20)

3.3 Application : Transform´ ee de Fourier rapide

On se place dans l’anneau (Pn,∗). Le calcul direct du produit de convolution f∗g comporte n² multiplications. Mais, puisquef[∗g= ˆf·ˆg on peut d’abord calculer les valeurs f(ω^j), g(ω^j), pour j = 0, . . . , n−1 (donc 2n opérations), ensuite multiplierf(ω^j) et g(ω^j) (donc nopérations) et ensuite, il faut faire la transformée de Fourier. Ceci explique l’intérêt de trouver un calcul rapide.

Le calcul de Cooley et Tukey (1965), abrégéFFT(”Fast Fourier Transform”) donne une réponse. Pour expliquer ce calcul, supposons que n = 2^k = 2n⁰. Rappelons que ω = exp −^2πi_n

. Soit F la transformée de Fourier associée à (n, ω) et F⁰ la transformée associée à (n⁰, ω⁰=ω²). On a :

f =a₀+a₂X²+· · ·+a_2(n0−1)(X²)ⁿ⁰⁻¹

| {z }

f⁺(X²)

+X·

a₁+a₃X²+· · ·a_2n⁰₋₁(X²)ⁿ⁰⁻¹

| {z }

f⁻(X²)

.

Les degr´es de f⁺et f⁻ sont≤n⁰−1. Si on ´ecritF(f) =P

Fi(f)Xⁱ on a : F(f) = Pn⁰−1

j=0

F_j⁰(f⁺) +ω^jF_j⁰(f⁻) X^j+ P2n⁰−1

j=n⁰

F_j⁰(f⁺)−ω^jF_j⁰(f⁻) X^j.

On a donc remplac´e le calcul de F(f) par le calcul des F⁰(f⁺), F⁰(f⁻) et (n⁰−1) = ¹₂n−1 multiplications et 2n⁰ =n additions/soustractions. SiC(n) est le coˆut du calcul deF(f). On a donc :

C(n) = 2C(1 2n) +3

2n.

On trouve facilement queC(n) =n· ³₂log₂(n). Il suit que le coˆut du calcul de f∗g utilisant ce FFT estn(3 + ³₂log₂(n))∼ ³₂nlogn+O(n), beaucoup moins que le coˆutn² du calcul direct.

3.4 Le Centre de C [G] et les Fonctions Centrales

D´efinition 3.4.1. Une fonctionf : G →C est dite centrale si f(hgh⁻¹) = f(g) pour touth, g∈G.

Lemme 3.4.2. Les fonctions centrales forment le centreZG de l’alg`ebreC[G].

D´emonstration: Soitf =Pf(g)e_g. On a (X

g∈G

f(g)e_g)e_h=X

g∈G

f(g)e_gh=X

g∈G

f(gh⁻¹)e_g et

e_h(X

g∈G

f(g)e_g) =X

g∈G

f(g)e_hg=X

g∈G

f(h⁻¹g)e_g.

Donc f est dans le centre de C[G] si et seulement si f(gh⁻¹) =f(h⁻¹g) pour toutg, h∈G, i.e. f(g) =f(hgh⁻¹) pour toutg, h∈G.

(21)

3.5. APPLICATION AUX REPR ÉSENTATIONS IRR ÉDUCTIBLES 21 Pour trouver une base de ZG on introduit C := classes de conjugaisons de G. Donc un élément c∈ C est une classe d’équivalencec = [x] où xet x⁰ sont

´equivalents si et seulement si xet x⁰ sont conjugu´es dans G, i.e. x⁰ =gxg⁻¹ pour ung∈G. On introduit

ec:=X

x∈c

x∈C[G].

Lemme 3.4.3.Lese_c,c∈ Cforment une base deZ_G. En particulier,dim_CZ_G=

|C|, le nombre des classes de conjugaison de G.

D´emonstration: On a :

Xf(x)ex∈ZG ⇐⇒ f(x) =f([x]) ∀x∈G et donc en particuliere_c∈Z_G et on peut ´ecrire

f ∈ZG ⇐⇒ f =X

c∈C

f(c) X

x∈c

ex

!

=X

c∈C

f(c)ec

et donc lesec forment une base deZG.

3.5 Application aux repr´ esentations irr´ eductibles

Rappelons (Prop. 3.1.1) qu’une représentation (V, ρ) deG n’est rien autre qu’un homomorphisme ˜ρ:C[G]→End(V). On vérifie aisément :

Lemme 3.5.1. ρ(f˜ )est G–´equivariante ⇐⇒ f ∈Z_G. Le lemme de Schur (§2.2) implique :

Corollaire 3.5.2. Si ρ : G → GL(V) est irr´eductible avec caract`ere χ, et f ∈ZG, alors

˜

ρ(f) =λid_V, λ= |G|

dimVhf |χi.¯ D´emonstration: On a

λdimV = Tr ˜ρ(f) =X

f(g)χ(g) =|G|hf |χi.¯

On utilise ces résultats pour prouver le théorème central :

Théorème 3.5.3. Les caractères χ1, . . . , χh des représentations irréductibles deG forment une base orthonormée de ZG. En particulierh=|C|, le nombre des classes de conjugaison deG.

Démonstration: On sait déjà que lesχ_jforment un système orthonormé. Il suffit de prouver que si f ∈ Z_G, alors les h relations hf | χ¯_ji = 0, j = 1, . . . , h impliquent quef = 0. Par le corollaire, si ρest irréductible, ˜ρ(f) = 0. Donc, c’est vrai pourtoutereprésentation deG, en particulier pourR, la représentation régulière :

0 = ˜R(f)(e₁) =X

g∈G

f(g)R_g(e₁) =X

g∈G

f(g)e_g=f.

(22)

Il y a des relations suppl´ementaires parmi lesχj :

Proposition 3.5.4. Soitg∈G etc(g)la classe de conjugaison deg. Alors 1.

h

X

i=1

χi(g)·χi(g) = |G|

|c(g)|.

2. Sihetg ne sont pas conjugu´es :

h

X

i=1

χi(h)·χi(g) = 0.

D´emonstration: Soite_e(g)=P

x∈c(g)e_xalors e_c(g)=

h

X

i=1

λ_iχ_i, λ_i=hec(g)|χ_ii=|c(g)|

|G| χ_i(g) et donc

δ_gh=e_c(g)(h) =

h

X

i=1

|c(g)|

|G| χ_i(g)·χ_i(h).

(23)

Chapitre 4

Exemples

4.1 Table des caract` eres

SoitGun groupe d’ordren,c1={1},c2, .. ,ch les classes de conjugaison de G. Soitχ1la représentation triviale (de dimension 1) etχ2, . . . , χhles caractères des autres classes de représentations irréductibles deG. Le table des caractères deGest un table où on metχi(ck) dans la i-ème ligne etK-ième colonne. La matrice qu’on définit a partir de ce table en multipliant les colonnes par

r|ck| n , U = (uij)^h_i,j=1, uij =

r|ck| n χi(ck),

est unitaire, une conséquence immédiate des relations d’orthogonalité, Proposi- tion 2.3.1. En particulierles colonnes sont orthogonales entre elles,mais pas les lignes. En plus : dans la première colonne on voit les degrés des représentations.

Exemple 4.1.1. 1) Le groupe cycliqueCnavec g´en´erateurr. On a lesnclasses de conjugaison

1, r, r², . . . , rⁿ⁻¹ et lesncaract`eresχ^k,k= 0, . . . n−1 donn´e parχ^k(r^j) =ω^kj,ω= exp(^−2πi_n ). Le table est

Table4.1 – Table pourC_n 1 · · · r^j · · · rⁿ⁻¹

1 1 · · · 1 · · · 1

χ 1 · · · ω^j · · · ωⁿ⁻¹ ... ... ... ... ... χⁱ 1 · · · ω^ij · · · ωⁱ⁽ⁿ⁻¹⁾

... ... ... ... ... χⁿ⁻¹ 1 · · · ω^(n−1)j · · · ω⁽ⁿ⁻¹⁾²

2) Le groupe diédral Dn, groupe se symétries du polygone réguliere Pn est engendré par la rrd’ordrenet une réflexions; on asrs=r⁻¹. On voit quer

23

(24)

24 CHAPITRE 4. EXEMPLES etr⁻¹sont conjugués. Sin= 2moun= 2m+1 on am+1 classes de conjugaison parmi les rotations (lesquels ?). Sin= 2mon a deux types de reflexions : celles dont l’axe de symétrie passe par les sommets dePn, e.g. s et celles dont l’axe passe par les centres de deux arrêtes opposés, e.g. sr. Si n= 2m+ 1 il n’y a qu’un seul type de symétrie. En total on trouvem+ 3, respectivement m+ 2 classes de conjugaison.

Soit χ un caract`ere multiplicatif. On doit avoir χ(r)ⁿ = 1 et χ(s)² = 1.

Puisquesrs=r⁻¹on aχ(r)²= 1. On doit donc avoirχ(r) =±1 etχ(s) =±1.

Mais, sinest impairχ(r)ⁿ = 1 forceχ(r) = 1. On a donc 4 caract`eres sinest paire et 2 sinest impaire.

Soit ρ la représentation naturelle dans R². La représentation ρ a pour ca- ractère χρ(r) = 2 cos(^2π_n) et χρ(s) = 0. De ρ on trouve une représentation ρ^j(r) = ρ(r^j), ρ^j(s) = 0. Pour j = 1, . . . , m−1 (si n = 2m) respectivement j = 1, . . . , m (si n = 2m+ 1) elles sont différentes, car la valeur sur r de la caractère correspondante est 2 cos(^2πj_n ). Cela donne en totalm−1 + 4 =m+ 3 représentations sin= 2metm+ 2 représentations sin= 2m. Il n’y a donc pas plus de représentations irréductibles. Aveccr:= cos(^2πr_n ) on a

Table4.2 – Table pourD2m

1 r · · · r^j · · · r^m s sr

1 1 1 · · · 1 · · · 1 1 1

χ 1 −1 · · · (−1)^j · · · (−1)^m −1 −1

χ⁰ 1 1 · · · 1 · · · 1 1 −1

χ·χ⁰ 1 −1 · · · (−1)^j · · · (−1)^m −1 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ρⁱ 2 2c_i · · · 2c_ij · · · 2c_im 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

4.2 Autres Exemples

On peut trouver des représentations d’un groupeG à partir de celles d’un sous-groupe H si on peut trouver un sous-groupe normale N de G telle que G =HN et H ∩N = 1. Alors, soit ρ : H → GL(V) une représentation. On définit ˜ρ:G→GL(V) par ˜ρ_hn=ρ_h. Soitg=hnetg⁰=r⁰h⁰. Puisquehnh⁰n⁰= hh⁰(h⁰⁻¹nh⁰n

| {z }

∈N

), on a ˜ρgg⁰ =ρhh⁰ = ˜ρg^◦ρ˜g⁰ et donc ˜ρest une repr´esentation. On va utiliser cela pour les groupesS₄ etA₄ `a partir deS₃=D₃ etC₃.

S

₃

Ce groupe est le groupeD3car le groupeS3op´erant sur les sommets{a, b, c}

d’une triangle équilatère P3 est le groupe de ses symétries. On a r = (abc) et s= (ab). Le table est

(25)

4.2. AUTRES EXEMPLES 25

Table4.3 – Table pourS₃ 1 (abc) (ab)

χ₀ 1 1 1

χ1 1 1 −1

ρ 2 −1 0

A

₄

SoitT le tétraèdre régulier à sommets{a, b, c, d}. Le groupeA4est le groupe des symétries directe deT. En effet ce groupe comprend les classes de conjugaison

1. {1};

2. les 3 rotationsx= (ab)(cd),y= (ac)(bd),z= (ad)(bc) surπ avec axe les diagonauxd_x, d_y, d_z respectivement ;

3. les 4 rotations d’angle ^2π₃ donn´e part= (abc), tx= (bdc), ty = (adb), tz= (acd) ;

4. les 4 rotations d’angle^4π₃ donn´e part²= (acb), t²x= (adc), t²y= (bcd), t²z= (abd) ;

D’autre part, sig est une telle isom´etrie, elle fixe le barycentre deT, permute les sommets de fa¸con fid`ele. Soit g fixe un seul sommet (rotation d’ordre 3, soit aucune (rotation d’ordre 2). Donc on a toutes les permutations paires de {a, b, c, d}.

Le groupe A4 permute les diagonaux {dx, dy, dz} et donc le groupe N = {1, x, y, z} est un sous-groupe normal. Le groupeH =

1, t, t² a la propriété queA₄=HN. On obtient de cette fa¸con 3 caractères provenant des 3 caractères du groupe cycliqueH =C₃. Il reste la représentationnaturelle ρ_T surR³. On trouve le table

Table4.4 – Table pourA₄

1 x t t²

χ₀ 1 1 1 1

χ1 1 1 ζ₃² ζ3

χ₂ 1 1 ζ₃ ζ₃² ρT 3 −1 0 0

S

₄

SoitT comme dans le paragraphe précédent. Le groupeS4est le groupe des symétries deT. On a les classes de conjugaisons suivantes :

1. {1};

2. les 3 rotations x, y, z;

(26)

26 CHAPITRE 4. EXEMPLES 3. les 8 rotations d’ordre 3, repr´esent´e par les cycles d’ordre 3, par example

(abc) ;

4. les 3 anti-rotations d’angle ^π₂ repr´esent´ees par les cycles d’ordre 4, par example (abcd) ;

Pour montrer que u = (abcd) représente une anti-rotation on note que les 3 axes{dx, dy, dz}sont orthogonaux et queutournedxendz et dz dansdz avec orientation opposée. Par rapport à une base orthogonale adaptée à{dx, d_y, d_z} la matrice de u devient : U :=





0 −1 0

1 0 0

0 0 −1



, une rotation avec angle π/2 suivi d’une réflexion par rapport à un plan orthogonal à l’axe.

Soit N ={1, x, y, z} et H le sous-groupeS3 des permutations de {a, b, c}

laissant fixe le sommetd. DoncS4=NS3et on peut relever les repr´esentations χ1 et ρdeS3.

Table4.5 – Table pourS₄ 1 x (ab) abc (abcd)

˜

χ₀ 1 1 1 1 1

= ˜χ1 1 1 −1 1 −1

˜

ρ 2 2 0 −1 0

ρT 3 −1 1 0 −1

ρ_T 3 −1 −1 0 1

Explication :ρTest la représentation deS4comme groupe des symétries de T. Les traces sont calculées à partir de la description géométrique. Le caractère

˜

ρdoit être le même quele caractère de parité. La représentationρ_T est définie comme (ρ_T)_g=(g)ρ_g, g∈S₄.

4.3 Table de caract` eres et la structure de groupe

Soit G un groupe fini et Gb son groupe de caractères. On rappelle que le groupe dérivéD(G) = [G, G] est le sous-groupe distingué des commutateurs de G et que son quotient Gab = G/[G, G] est l’abélianisé de G. Chaque caractère multiplicatif χ : G → C^× étant 1 sur [G, G], se factorise par ¯χ : Gab → C^×. Chaque caractère de Gab s’étend en un caractère multiplicatif de G. Par l’inversion de Fourier (Prop. 3.2.2), si ¯χ(¯g) = 1 pour tout ¯χ∈Gdab, alors

¯

g = 1, c.`a.d. g ∈ D(G). On peut donc retrouver D(G) en lisant le table de caract`eres :

D(G) ={g∈G;χ(g) = 1 pour tout caract`ere multiplicatifχ}.

On peut également retrouver lecentreZ =ZGde fa¸con suivante. Soitρ:G→ GL(V) une représentation irréductible avec caractèreχV. Par le Cor. 3.5.2ρ(z) est une homothétie pourz∈Z, i.e.ρ(z) =χ(z) idV où χest un caractère multiplicatif deZ. Clairementχ(z)·dim(V) =χV(z) et donc |χV(z)|= dim(V) = χ(1). Réciproquement, si|χV(z)|= dim(V) =χ(1) pour tout caractèreχd’une

(27)

4.3. TABLE DE CARACT ÈRES ET LA STRUCTURE DE GROUPE 27 représentation irréductible deG, alorsz∈Z. On laisse cet assertion en exercice.

On on a donc

ZG={s∈G;|χV(s)|=χ(1) pour tout caractère irréductibleχ}. De fa¸con similaire on peut retrouver les sous-groupes distingués de G utilisant la notion de noyau d’un caractère χ associé à la représentation ρ : G→GL(V).

ker(χ) :={g∈G;χ(g) =χ(1)}.

Les assertions suivantes sont laiss´ees en exercice ; la proposition explique com- ment retrouver les sous-groupes distingu´es de G:

Proposition 4.3.1. 1. ker(χ) est le noyau de l’homomorphisme ρ et donc un sous-groupe distingu´e deG.

2. Chaque sous-groupe distingué H est intersection d’un nombre fini des noyaux de caractères irréductibles.

Corollaire 4.3.2. Un groupeGestsimple(c’est-à-dire que G ne possède aucun sous-groupe distingué autre que {1} et G) si et seulement si pour tout g ∈G, g6= 1et et tout caractère irréductibleχ6= 1on aχ(g)6=χ(1).

(28)

28 CHAPITRE 4. EXEMPLES

(29)

Chapitre 5

Retour sur le centre de C [G]

5.1 D´ ecomposition du centre de C [G]

Soient ρⁱ : G → GL(Wi), i = 1, . . . , h les représentations irréductibles de G à isomorphisme près. On pose di = dimWi. Soit ˜ρ⁽ⁱ⁾ : C[G] → EndWi

l’homomorphisme d’alg`ebres associ´e.

Théorème 5.1.1. On a un isomorphisme de C-algèbres

˜

ρ:= ˜ρ⁽¹⁾× · · · ×ρ˜^(h):C[G]−→^∼

h

Y

i=1

EndWi. Démonstration: Vu l’égalité|G|=P

in²_i, les dimensions du but et source de ˜ρ sont égales. Il suffit de montrer que ˜ρest surjectif. Sinon, les élément de l’image obéissent une relation linéaire non-triviale. En termes de matrices R^α_ij(g) pour lesρ^(k)g on obtient alors une relation de la forme

h

X

k=1

akR_ij^(k)(g) = 0, ∀g∈G.

On multiplie cette relation avecR^(α)_`m(g⁻¹) et on somme surg∈G. On utilisera l’´equation (2.2) en ensuite (2.3) :

0 = X

k

X

g

akR^(k)_ij (g)R^(α)_`m(g⁻¹)

= X

g

a_αR^(α)_ij (g)R^(α)_`m(g⁻¹)

= |G|

dα

a_α

et doncaα= 0 pourα= 1, . . . , h. Contradiction.

Corollaire 5.1.2. Le centreZ(G)deC[G]est isomorphe au produit directeC^h dehcopies de l’algèbre C. Plus précisément, soit pα la projection sur leα-ème

29

(30)

30 CHAPITRE 5. RETOUR SUR LE CENTRE DEC[G]

facteur de C^h,χα le caractère associé àρ^(α) les fonctions linéaires

Z(G)3f 7→p_α^◦ρ(f˜ ) = |G|

d_αhf |χ¯^αi= 1 d_α

X

g

f(g)χ_α(g)

se combinent en un isomorphisme

h

Y

α=1

pα^◦ρ˜:Z(G)−→^∼ C^h.

D´emonstration: C’est une cons´equence directe du Corr. 3.5.2.

5.2 Interm` ede : les entiers alg´ ebriques

SoitB un anneaucommutatif et A⊂B un sous-anneau.

D´efinition 5.2.1. On dit que ξ ∈ B est A-entier s’il existe un polynˆome unitaire P ∈A[X] tel queP(ξ) = 0.

Exemples 5.2.2. 1) SiB|Aest une extension de corpsξ∈B estA-entier si et seulement siξestA-algébrique. Un tel élément satisfait une équationQ(X) = 0 irréductible et on peut toujours choisirQ unitaire. Dans le cas spécialA =Q etB =Con parle s’unnombre algébrique. Notation ¯Q.

2) SiA=Z etB =Con parle d’unentier algébrique. Notation : ¯Z. Claire- ment, un entier algébrique est un nombre algébrique. Une racine d’unité est un entier algébrique (car elle satisfaitXⁿ−1 = 0 pour nconvenable).

SiQ(X)∈Q[X] est le polynôme minimal irréductible pour un entier algébrique ξpour lequelP(ξ) = 0 on aQdiviseP dansQ[X] et on peut choisir Q∈Z[X]

(cons´equence du lemme de Gauss). Les conjugu´es de ξ sont les autres racines deQ(X) = 0 et donc :

Siξ∈Cest unZ-entier, tout ses conjugu´es sont des Z-entiers.

Une relation utile entre les rationnels et les entiers alg´ebriques : Lemme 5.2.3. Un nombre rationnel qui est entier alg´ebrique est entier.

D´emonstration: Soit ξ = p/q ∈ Q et (p, q) = 1. On suppose que P = Xⁿ+ an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a0, aj∈Z, est telle queP(ξ) = 0. Alorspⁿ+q(an−1pⁿ⁻¹+

· · ·a0qⁿ⁻¹) = 0. Cela implique que p divise q contrairement au choix (p, q) = 1.

La propri´et´e principale des entiers est qu’ils forment un sous-anneau : Proposition 5.2.4. l’ensemble {ξ∈B;ξest A-entier} est un sous-anneau de B contenant A.

On déduit cette propriété du lemme suivant :

Lemme 5.2.5. ξ∈B estA-entier si et seulement s’il y a un sous-moduleM de type fini de B tel queξM ⊂M.

(31)

5.2. INTERM `EDE : LES ENTIERS ALG ´EBRIQUES 31 Lemme =⇒ Proposition : Soientξα∈B,α= 1,2 deuxA-entiers etMα⊂B un sousmodule de type fini deB tel queξαMα⊂Mα. Alors on a :

(ξ₁±ξ₂)M₁M₂⊂M₁M₂, ξ₁ξ₂M₁M₂⊂M₁M₂.

PuisqueM1M2 est un sous-module de type fini deB on peut encore appliquer

le lemme. .

Preuve du Lemme :

=⇒ Siξⁿ+a1ξⁿ⁻¹+· · ·+an= 0, aj ∈A, le moduleM =A+ξA+· · ·ξⁿ⁻¹A a la propri´et´eξM⊂M.

⇐= Soit M =Ae1+· · ·Aen. On peut ´ecrire ξe_j =

n

X

i=1

A_ije_i, A_ij ∈A

et donc, par algèbre linéaire dansBⁿ, on a det(Aij−ξIn) = 0 ce qui donne le polynôme unitaire P(X) = det((Aij)−XIn)∈A[X] tel queP(ξ) = 0.

Les entiers algébriques qu’on utilise le plus souvent sont lesracines unités: UneN-ième racine d’unité satisfaitX^N = 1 et est donc un entier algébrique.

Exemple 5.2.6. Soit G un groupe fini et χ : G → C^× le caractère d’une représentation. Alors pour toutg∈Gle nombreχ(g) est un entier algébrique.

Un moyenne de racines d’unit´es peut aussi figurer comme entier alg´ebrique, mais on a :

Lemme 5.2.7 (Kronecker). Un moyenne de racines d’unités ne peut être un entier algébrique que si c’est0 ou bien si tout les racines sont égales.

Démonstration: La moyenneµde racines d’unité satisfait|µ| ≤1 avec égalité si et seulement si les racines sont égales. Dans l’exemple 5.2.2 2) on a vu que les conjugués deµsont des entiers algébriques. Le produitbde toutes les conjuguées deµest le coefficient constant du polynôme minimalQ∈Q[X] deµ et doncb est un nombre rationnel. D’autre part, en tant que produit d’entiers algébriques, c’est un entier algébrique. Donc, par le Lemme 5.2.3,b∈Z. Mais|b| ≤1 et donc b= 0 ou bienb=±1. Dans le premier cas un des conjuguées deµest nulle, donc µ= 0 ; dans dernier cas|µ|= 1 et donc tout les racines doivent être égales.

Exemple 5.2.8. SoitV unC-espace vectorielf ∈GL(V) d’ordre fini tel que

Trf

dimV ∈Z, i.e. un entier algébrique. Alors f est une homothétie. En effet, les valeurs propres de f sont des racines d’unité et _dim^Tr^f_V est leur moyenne. Par Kronecker les valeurs propres sont tous égales, i.e.f =µid_V.

On revient `a Z(G). C’est un anneau commutatif contenantZ·e1'Z. Les membres de la base canonique{ec;c∈ C} sont tous des entiers (surZ) : Lemme 5.2.9. Soit G un groupe fini et c une classe de conjugaison, alors ec=P

x∈cxestZ–entier.

D´emonstration: Soientc, d∈ C. Alors e_c·e_d est une combinaison enti`ere de la base canonique :

e_c·e_d=X

x∈C

n^(e,d)_x e_x, n^(e,d)_x ∈N. Soit M = P

x∈CZex, alors ecM ⊂ M et le r´esultat est une cons´equence du Lemme 5.2.5.

(32)

32 CHAPITRE 5. RETOUR SUR LE CENTRE DEC[G]

Corollaire 5.2.10. Soit c=X

g∈G

γ(g)eg∈Z(G), telle que pour tout g∈G, γ(g)∈Z¯,

alorsc est entier (surZ).

D´emonstration: Puisquec∈Z(G), on a quec=P

c∈Cγ(g)ec et doncZ–entier.

5.3 Application

Le but est de montrer :

Théorème 5.3.1. Soit V une représentation irréductible de G, alors dimV divise l’ordre de G.

On le d´eduira de la proposition suivante :

Proposition 5.3.2. Soitρ:G→GL(V)irr´eductible et soitχ son caract`ere et soit

c=X

g∈G

γ(g)e_g∈Z(G), avec pour toutg∈G, γ(g)∈¯ Z. Alors

1 dimV

X

g∈G

γ(g)χ(g)∈Z¯.

Démonstration: Par le Corr. 5.2.10 l’élémentcestZ-entier et donc aussi l’image decsous l’homomorphismeZ(G)→Cdu Corr. 5.1.2 qui est_dim¹_V P

g∈Gγ(g)χ(g).

Preuve du Th´eor`eme 5.3.1.. On pose n = dimV. On applique la Proposition avec

c:=X

χ(g⁻¹)eg∈Z(G) oùχest le caractère de la représentation. Donc

1 n

X

g∈G

χ(g⁻¹)χ(g) = |G|

n ∈Z.

Puisqu’un nombre rationnel et alg´ebriquement entier est entier (Lemme 5.2.3), on a que ^|G|_n ∈Z, i.e. ndivise l’ordre du groupe G.

Corollaire 5.3.3. Soit s ∈ G et cs sa classe de congugaison. On pose c = P

x∈c_sx. Alors pour tout G–représentation irréductible de degré n et de ca- ractère χ, on a

|cs|

n χ(s)∈ ¯ Z.

(33)

Chapitre 6

Application : le th´ eor` eme pq de Burnside

6.1 Groupes r´ esolubles et nilpotents

SoitGun groupe. Unes´erie normaleest une filtration G=G₁⊃G₂⊃ · · ·G_k⊃G_k+1⊃ · · · ,

telle que les Gi sont des sous-groupes de G tels que Gi+1 CGi. On appelle Gi/Gi+1 lesfacteursde la s´erie.

Définition 6.1.1. Un groupe Gest résolublesi G admet une série normale telle que ses facteurs sont abéliens.

On laisse la preuve du r´esultat suivant au lecteur :

Lemme 6.1.2. 1. Un sous-groupe et un groupe quotient d’un groupe r´esoluble est r´esoluble ;

2. SoitKCGr´esoluble ainsi queG/K. AlorsGest r´esoluble.

On peut aussi travailler avec lasérie dérivée:

G=G⁽⁰⁾⊃G⁽¹⁾ ⊃G⁽²⁾· · ·, G^(k+1)= [G^(k), G^(k)].

En effet, on a :

Lemme 6.1.3. Gest résoluble si et seulement si la série dérivée se termine.

Démonstration:⇐= Les facteurs de la série dérivée sont les abélianisés desG^(k).

=⇒ : Par récurrence on montre facilement l’inclusion G⁽ⁱ⁾⊂G_i+1 et donc si la série normal se termine avecG_n ={1}, on aG⁽ⁿ⁻¹⁾ ⊂G_n ={1} et la série dérivée se termine.

Las´erie centraled’un groupe est construite par r´ecurrence. On poseZ0= {1}, Z1 = ZG, le centre du groupe G et avec π : G → G/Zk l’application canonique, on pose

Zk+1:=π⁻¹(ZG/Z_k).

33

(34)

34 CHAPITRE 6. APPLICATION : LE TH ÉOR ÈMEP Q DE BURNSIDE Cela donne une filtration deGpar des sous-groupes distinguésZk :

1⊂Z1⊂Z2⊂ · · · ⊂Zk⊂Zk+1· · · telle que

Z_k+1/Z_k=Z_G/Z_k.

D´efinition 6.1.4. Gestnilpotentsi la s´erie centrale est finie : {1} ⊂Z₁⊂Z₂⊂ · · · ⊂Z_m−1⊂Z_m=G.

En particulier,G/Z_m−1est ab´elien et doncG⁽¹⁾= [G, G]⊂Z_m−1.

Par r´ecurrence on montre que G^(k) ⊂Z_m−k et donc G^(m) ⊂Z0 = {1}. Il suit que :

Lemme 6.1.5. Un groupe nilpotent est r´esoluble.

Exemple 6.1.6. SoitGunp–groupe, i.e.|G|est une puissance d’un premierp.

Un tel groupe est nilpotent et donc résoluble. Pour le montrer, on note d’abord que siGest abélien, on a une série centrale simple :{1} ⊂Z_G=G

Sinon, soit cx la classe de conjugaison de x. On note que x ∈ ZG si et seulement sic_x={x}. Soit s6∈Z_G. Le centralisateur Z(s) des est distinct de G. Puisque|Cs|=_|Z(s)|^|G| on d´eduit que|Cs|est divisible parp. Puisque

|G|=|ZG|+ X

s6∈ZG

|cs|,

on en déduit que|ZG|est divisible parpet donc n’est pas trivial. Donc on peut appliquer récurrence à Z_G.

6.2 Le th´ eor` eme de Burnside

Théorème 6.2.1. SoitG un groupe d’ordrepâq^b. Alors, Gest résoluble.

Démonstration: D’abord, par l’exemple 6.1.6 on peut supposer quea, b≥1. Il suffit de montrer qu’un tel G n’est pas simple : un sous-groupe distingué N propre de G est résoluble par récurrence ainsi que G/N et on appliquera le Lemme 6.1.2.

Supposons donc que G simple. On arivera `a une contradiction. Par Sylow il existe un sous-groupe H ⊂Gd’ordreq^b. Par l’exemple 6.1.6 c’est un groupe nilpotent et en particulierZH 6={1}. Soits∈ ZH, s6= 1. Par d´efinition des, ZG(s) contientH et donc

|cs|= |G|

|Z_G(s)| =p^γ, 1≤γ≤a.

Le fait que γ= 0 est exclu vient du fait qu’alors Z_G(s) =Get donc le groupe cyclique N engendré par s serait un sous-groupe propre et distingué dans G, contrairement à l’hypothèse queGsoit simple.

Conclusion : |cs|est divisible par p.

(35)

6.2. LE TH ÉOR ÈME DE BURNSIDE 35 On considère les caractères des représentations irréductibles de G. Puisque G est simple, seulement le caractère identité est un caractère multiplicatif et donc pour les autresχ(1) =n≥2.

Siχ(s)6= 0, on apgcd(|cs|, n)6= 1, i.e.pdivisenle degr´e de la repr´esentation.

D´emonstration: Si pgcd(|cs|, n) = 1 du fait que par la Cor. 5.3.3 on a

|cs|

n χ(s)∈¯ Z

aussi ¹_nχ(s) ∈ Z¯; en fait∃x, y ∈ Z tels que x|cs|+yn = 1 et donc _n¹χ(s) = x^|c_n^s^|χ(s) +yχ(s)∈¯

Z. Donc, siρ:G→GL(V) est la représentation irréductible associée à χ, par l’ Exemple 5.2.8, on a queρs est une homothétie 6= idV (car ρ est fidèle – sinon kerρ était un sous-groupe distingué non-triviale) et donc s∈ZG ={1}, contradiction.

Maintenant on peut finir la preuve que l’hypothèse G simple donne une contradiction : On applique nos considérations à la représentation régulière avec caractèreχR :

0 =χR(s) = 1 +X

χ6=1

nχ(s) = 1 +p(entier alg´ebriqueξ)

où on somme sur les caractères irréductiblesχ6= 1. On déduit queξ=−1/p∈Z et donc on obtient la contradiction par le Lemme 5.2.3.