des matières

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Table des matières

1 LES ESPACES VECTORIELS

1.1 Définitions et exemples . . . . 1.2 Sous-espaces vectoriels (sev) d'un 1K - ev 1.3 Famille génératrice d'un sev

1.4 Famille libre . . . . 1.5 Base d'un sev d'un ev . . . . 1.6 Somme de sous-espaces vectoriels 1. 7 Énoncés des exercices . . . . 2 LES APPLICATIONS LINÉAIRES

2.1 Définitions . . . . 2.2 Propriétés et opérations 2.3 Formes linéaires . . . . . 2.4 Hyperplans vectoriels . . 2.5 Transformations Vectorielles .

2.5.1 Homothétie Vectorielle . 2.5.2 Projection Vectorielle 2.5.3 Symétrie Vectorielle 2.6 Énoncés des exercices 3 MATRICES

3.1 Généralités . . . . 3.2 Etude de Mn(1K) . . . . 3.3 Calcul du rang et de l'inverse 3.4 Énoncés des exercices 4 DÉTERMINANTS

4.1 Définitions et propriétés . . . . 4.2 Rang d'une matrice quelconque, rang d'un système de vecteurs 4.3 Énoncés des exercices . . . .

5 VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES 5.1 Valeurs propres, vecteurs propres

5.2 Des applications par des exemples 5.3 Énoncés des exercices . . . .

1 1 2 3 4 4

....

5 ⁶

7 7 8 9 9 9 9 10 10 11

13 13 16 19 23 25 25 31 33 35 35 38 40

(2)

Chapitre 1

LES ESPACES VECTORIELS

1.1 Définitions et exemples

Dans toute la suite IK désignera soit le corps IR soit le corps (C qui sont munis de l'addition et de la multipliction usuelles vérifiant les propriétés connues.

...

Définition 1.1. Soit E un ensemble non vide. Une loi de composition interne sur E est toute application f de E x E dans E.

f(x,y) sera noté xfy.

Exemples 1. 1) L'application de 'll, x 'll, dans 'll, qui à un couple (m, n) associe m + n

=

+(m, n) (resp. m - n

=

-(m, n)} sont des L.C.I.

par contre la division ne définit pas une L. G.I.

2) La somme et le produit de polynômes définissent des L. C.I sur IK[X].

3) La composée de deux applications dans .F(IR,IR) est une L.C.I sur .F(IR,JR), à (f,g) on associe f o g

=

^{o(f, g).}

4) La somme de deux forces qui à

(F , G)

^associe

F ⁺ G

est une L. C.I dans .F(P) l'ensemble des forces exercées dans un plan.

5) La somme de deux paniers achetés dans un supermarché ...

Définition 1.2. Soit E un ensemble non vide. Une loi de composition externe sur E est toute application de lK x E dans E.

L'image de (a, x) E IK x E sera notée a,· x.

Exemples 2. 1) L'application de IR x IR[X] dans IR[X] qui à un couple (a,, P(X)) associe a-P(X) est une L.C.E.

2) L'application de (C x <C(X) dans <C(X) qui à un couple (a, F(X)) associe aF(X) est une L.C.E.

3) L'application de IR x .F(P) dans .F(P) qui à un couple (a,,

F)

^associe

aF

est une L.C.E.

sur .F(P)

4) La multiplication d'un panier par un réel ...

Définition 1.3. Soit E un ensemble muni d'une L.C.I notée(+) et d'une L.C.E notée(.).

On dit que (E,

+, .)

est un espace vectoriel (en abrégé e.v. ou ev) sur lK si : 30e E E tel que pour tous x, y, z E E et 'da,, (3 E IK

• x

+

y

=

^y

+

x la commutativité.

• x +(y+ z)

=

(x +y)+ z · l'associativité.

• x

+

0E = 0E

+

x = x 0E l'élément neutre.

• 3(-x)EE : x+(-x)=(-x)+x=0E

( - x) symétrique de x.

(3)

\

• a.(x+y)=a,x+a.y.

• (a+,B).x=a,x+,B.x.

• ( a ^X,8) , X

=

a , (,B , X).

• 1, X = X.

Les nombres a,,B E 1K sont appelés "scalaires". Les x,y E E sont appelés "vecteurs".

Exemples 3. 1) (IRn,+,.) est un IR-ev.

2) (<Cn,+,.) est un<C-ev.

3) (JK[X],

+, .)

est un JK-ev.

4) (.F(IR, IR),+,.) est un IR-ev.

5) (.F(P),

+, .)

est un IR-ev.

Propriétés 1. Règles de calcul dans un espace vectoriel Pour tous a E 1K et x E E

1) DK•x=Oe,

2) a. Oe

=

Oe,

3) a. (-x)

=

(-a).x

=

-(a.x).

3) a. x = Oe ~ a = OK ou x = Oe

5) (x+(-y))=x-y.

1.2 Sous-espaces vectoriels ( sev) d'un IK - ev

Définition 1.4. Une partie F CE est dite un sous-espace vectoriel (sev) de E si : , i) Oe E F

·',ii) 'va,,B E 1K et u,v E F, au+ ,Bv E F.

Remarque 1.1.

• Fi=

E est un sev de E et c'est le plus grand (pour l'inclusion).

• F₂

=

^{Oe}est un sev de E et c'est le plus petit (pour l'inclusion).

Exemple 1. 1) IRn est un sev de 1Rn.

2) P,,urn E lW, l'ensemble 1Kn[X]

=

{P E JK[X] / d⁰P:::; n} des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un sev de JK[X].

3) L'ensemble P(1R) = {f : IR ➔ IR/ 'vt E 1R f (t) = f (-t)} des applications paires est un sev de .F(1R, 1R).

4) L'ensemble des forces ayant la même direction est un sev de l'espace vectoriel des forces appliquées dans un plan.

· 5) Par contre l'ensemble des forces ayant la même intensité n'est pas un sev de (.F(P),

+, .).

Proposition 1.L Les propositions suivantes sont équivalentes :

• F est un sev de(E,

+, .)

• i) Oe E F

ii) \:/( u, v) E F²u

+

v E F iii) 'va E 1K 'vu E F a. u E F

• a) OE E F

b) 'v(u,v) E F²et 'va E 1K a.u+vEF

Proposition 1.2. 1. Si F et G sont des sev de E un JK-ev alors F

n

G est aussi un sev de E.

2. Si F est un sev de E alors F est lui même un 1K - ev pour les lois de E induites sur F.

(4)

1.3 Famille génératrice d'un sev

Définition 1.5. Soient u₁, u₂, · · · , Uk cks vecteurs de E et a_{1 ,}· · · , Œk des scalaires de IK. Le vecteur v

=

Œ1U1

+

a2u2

+ · · · +

^ŒkUk ^est^dit^unecombinaison linéaire {cl) des vecteurs U1,u2,·· · ,Uk-

Exemple 2. Dans E

=

^JR[X]

u

=

P(X)

=

X 2 - 2X + 2

=

1.X²+:2.(-X

+

1)

=

1.A (X) + 2.P2(X)

=

(-l).P3(X) P est cl de Pi

=

^{X 2 et P2}

= -

^X

+

1 on a aussi P est cl de P3

= -

X²

+

2X - 2.

Définition 1.6. Soit F un sev de E et (u1 ; u 2; · · ·; uk) une famille de vecteurs de F.

La famille ( u1 ; u2; · · ·; uk) est dite une famille génératrice de F si F est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs u1, u2, · · · , Uk.

( càd : v E F ~ 3a1, · · · , Œk E 1K :

V= Œ1U1

+ · · · +

ŒkUk}

Ce qu'on note F

=

vect(u1; u2; · · ·; uk)

=

{a1u1

+ · · · +

ŒkUk / (a1, · · · ,ak) E IKk}.

"

Dans ce cas F est un sous-espace vectoriel noté F

=

^vect(^u1 ; u 2; · • •; uk)- On dit qu'il est engendré par la famille ( u_{1 ;}u2; · · ·; uk)-

Dans le cas où E est engendré pnY une famille finie, on dit que E est de dimension finie.

Exemples 4. 1) Dans E

=

JR[X] on pose F

= {

aX³

+

3bX²- 2aX + b / a, b E JR}

on a

F

=

{a(X³- 2X) + b(3X²

+

¹⁾^/^{a, b E}JR}.

On voit bien que F est engendré par la famille !des deux polynômes

Pi

= X³- 2X et P2 ⁼3X²

+

1.

La famille (Pi; A) est une famille -génératrice de F.

2) On a dans JR2[X]

=

{P E JR[X] / d⁰P ::S 2} :

pour tout P E JR2[X] 3(a, b, c) E JR³tels que P

=

^ax2+ bX

+

c et donc P

=

aP3

+

bA

+

cPi

avec P3

=

X 2, P2

=

^{X et}

Pi =

1 donc la famille.B

= (Pi ,

A, P3) est une famille génératrice de lR2[X].

3) Dans E

=

F(JR,JR), l'ensemble F

=

{f(x)

=

asin(x

+

c) / (a,c) E JR²} est un sev engendré par la famille

T

= (fi; h) avec fi(x)

=

sin(x) et h(x) = cos(x)

Résumé 1. Pour vérifier si une famille T

=

(u1 ; u2 ; · · ·; uk) de F sev de E est génératrice on prend v quelconque de F et on résoud l'équation vectorielle

Œ1 u1

+ · · · +

ŒkUk

=

v d'inconnues (a;);

ceci en passant par les lois de E et leurs propriétés.

1) si cette équation admet au moins une solution pour chaque v E F, la famille

T

est génératrice, 2) s'il existe v0 E F pour lequel cette équation n'a pas de solution, alors cette famille n'est pas génératrice.

Exemple 3. Pi= X

;A=

X 2 - 1 dans JR2[X]

Soit P

=

aX 2

+

^bX

+

c E JR2[X]

pour Œ1, Œ2 deux réels :

a1A

+

^a2A

=

P ~ a1X

+

a2(X2 - 1)

=

aX2

+

bX

+

^c

~ a2X2

+

Œ1X

+

(-a2)

=

aX²

+

bX

+

c

~ Œ2

=

a

=

-c et Œ1

=

b ce qui n'est pas toujours vérifié pour un polynôme quelconque de JR2[X]

(par exemple pour P0

=

X²

+

1 pas de solution).

La famille (Pi; P2) n'est pas génératrice de JR2[X].

3

(5)

1.4 Famille libre

Définition 1. 7. Une famille C

= (

u_{1 ;}u2 ; • · · ; um) du 1K - ev E est dite une famille libre ( ou que les vecteurs de cette famille sont linéairement indépendants) si

'va1,··· ,am E 1K:

(a1U1

+ · · · +

ŒmUm

=

OE ⇒ Œ1

= · · · =

Œm

=

0).

Une famille qui n'est pas libre est dite liée ( ou que les vecteurs de cette famille sont linéairement dépendants).

Exemple 4. 1. La famille T

= (Pi;

P 2 ; P3) ^{C JR[X]}^avec

Pi=

X²-1; P2

=

X +1 et P3

=

3X est une famille libre.

2. La famille C1

= (fi;

h) C .F(JR, JR) avec

fi

(x)

=

cos x et h(x)

=

sinx est une famille libre.

3. Par contre la.famille C₂

=

(g₁;g_{2 )} C .F(JR,JR) avec g1(x)

=

x² et g2(x)

=

2x² est une famille liée.

Proposition 1.3. Une famille T

=

(u_{1 ;}u2 ; · · ·; uk) de E est liée si et seulement s'il existe ui0

qui s'écrit combinaison linéaire des autres ui.

En particulier : ( u 1; u2) est liée si et seulement si 3a E 1K : ul

==

<:Yi12

OU U2

=

^ŒU1.

Preuve 1. (u1; u2; · · ·; uk) est liée

<=> 3(a1 , · · · ,ak) non tous nuls

a1u1

+ · · · +

akuk

=

OE.

Donc il existe Œi₀ =/= 0 avec :

a;oUio

=

-Œ1U1 - ... - Œio-lUio-1 - Œio+lUio+l - . . . - ŒkUk.

et donc 1.J.-

=

-a, U1

+ · · ·

-<>io-l U· -1

+

-<>,o+l U· +1

+ · · · +

-a, Uk

'to ll:i

0 O:i₀ 'Z.o 0:i

0 2.o ll:i₀

ce qui donne u;0 combinaison linéaire des autres u;.

...

Proposition 1.4. Soient

Ti

et ~ deux familles de E telle que

Ti

C ~ ('12 est obtenue à partir de

Ti

en rajoutant d'autres vecteurs -à une permutation de l'ordre près-). On a le résultat : Si

Ti

est liée alors ~ est liée.

Ce qui équivaut aussi à Si ~ est libre alors

Ti

est libre.

1.5 Base d'un sev d'un ev

Définition 1.8. Une famille B

=

(u1 ; · · ·; uk) de F sev de E est dite une base de F si : B est libre et génératrice de F.

Résumé 2. B

=

(u1 , · · · , uk) est une base de F si et seulement 1) les (ui)i sont des vecteurs de F,

2) pour chaque v E F l'équation vectorielle

Œl U1

+ · · · +

ŒkUk

=

^V

admet une solution unique .

Remarque 1.2. le k-uplet (a1 , · · · , ak) représente les coordonnées du vecteur v E F dans la base B.

Exemple 5. • B

=

(P₁

=

1; P₂

=

X; P3

=

X²) est une base de JR₂[X] dite la base canonique de lR2[X].

B'

=

(P{

=

l;Pf

=

X- l;P3

=

(X-1)2) est aussi une base de lR2[X].

• F

=

{P

=

a0+a1X / a0+a1

=

O} est un sev de JR[X] et B1

=

{P0 }

=

{X -1} est une base de F.

Théorème 1.1. • Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Toutes les bases de F ont le même nombre de vecteurs. Ce nombre est appelé la dimension de F et est noté dimIK(F).

• Si F et G sont deux sev de E tels que F c G on alors on a :

(6)

1) dimn<(F) S: dimJK(G).

2) dimn<(F)

=

dimJK(G)

=*

F

=

G.

• Si dimJK (F)

=

n alors on a

B base de F ~ card(B) =net B génératrice

~ card(B)

=

n et B libre Exemple 6. dimrn.(1R2[X])

=

3,

dimrn.(1R1[X])

=

2, · · · dimrn_(lR,.,[X])

=

n

+

l.

Avec F = {P

=

a0

+

a1X / a0

+

a1 = O} sev de JR[X], on a dimrn_F

=

^l.

dimJK({OE})

=

O.

Si E n'admet pas de base finie on dit qu'il est de dimension infinie . .F(JR, JR) est de dimension infinie.

Proposition 1.5. Soient F un sev de E tel que dimJK(F)

=

n, B une base de F, Lune famille libre de F et

9

une famille génératrice de F. Alors on a :

card(B)

=

n, card(Q) ~ n et card(L) ::; n

n

existe deux bases de F, B' et B" telles que : L C B' et B" C 9.

1. 6 Somme de sous-espaces vectoriels

Proposition 1.6. Soient F et G deux sev de E un 1K - ev

• la partie notée

H

=

F

+

G

= {

^u

+

^{v /}^u^EF et v E G}

est un sev de E appelé la somme de F et G.

..

• si en plus F

n

G

=

^{OE}on écrit H

=

Fœ G et on dit que H est la somme directe de F et G.

Exemple 7. F

= {

P

=

aX / a E 1R} et G

= {

Q

=

b / b E 1R}

on a JR1[X]

=

F

+

G et F

n

G

=

{OE}, d'où 1R1[X]

=

F EB G.

Propriétés 2. Si dimJK(F)

=

n et dimJK(G)

=

m {dimensions finies) alors dim(F

+

G)

=

dim(F)

+

dim( G) - dim(F

n

G)

En particulier lorsque F

n

G

=

{OE} on a dimJK(F

œ

G)

=

dimJK(F)

+

dimJK(G).

(7)

1. 7 Énoncés des exercices

Exercice 1.1. :

Donner un exemple de deux sous-espaces vectoriels de

1R?

montrant que la réunion de deux sous espaces vectoriels n'est pas en général un sous espace vectoriel.

Exercice 1.2. :

Montrer que l'ensemble Sc des suites réelles convergentes, muni de l'addition entre les suites et de la multiplication d'une suite par un réel, est un espace vectoriel.

Est-ce qu'il en est de même pour[, l'ensemble les suites convergentes vers le réel l, l étant fixé dans JR* ?

Exercice 1.3. :

a) Vérifier si

Fi =

{(z1,z2) E <C2 / z1

+

_iz2

=

O} est un sous-espace vectoriel de <C2

(considéré comme espace vectoriel sur JR).

b) Même question avec F2

=

{(z1,z2,z3) ^E<C³/ z1z2?: 0 et Z3

=

O} dans<C3

(considéré comme espace vectoriel sur JR).

Exercice 1.4. :

Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E dans les cas suivants : 1) E

= 1Rf

(l'ensemble des applications définies de l'intervalle I dans JR)

et F

=

{f: I ➔ lR / f fonction dérivable} (l'ensemble des applications dérivables de l'intervalle I dans JR),

I étant un intervalle de JR.

2) E

=

^]KINet F

=

{(zn)n / (zn)n suite bornée} c'est l'ensemble des suites bornées d'éléments de lK.

Exercice 1.5. :

Dans l'espace vectoriel (JRIR,+,·) on considère les vecteurs e1

=

cos²(x), e2

=

sin²(x),

fi=

1 eth= cos(2x).

1) Donner dim(vect(e1, e_{2 )).}

2) Montrer que vect(e1,e2)

=

vect(fi,h)-

Exercice 1.6. :

Soient E

=

JR3[x] l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de lR dans lR de degré au plus 3 et Po,P1,P2,p3 les éléments de E définis par:

Po(x)

=

(x - 2)(x - l)x, P1(x)

=

(x - 2)(x - l)(x

+

1) , P2(x) = (x - 2)(x

+

l)x, p3 = (x

+

l)(x - l)x.

Vérifier que B

=

(Po,P1,P2,p3) est une base de E.

Donner les coordonnées de p(x)

=

1 + x + x2 + x 3 dans cette base.

Exercice 1. 7. :

Soit P (resp. I) /'ensembles des applications paires (resp. impaires) de lR dans JR.

1) Montrer que P et I sont des sous-espaces vectoriels de ]RIR._

2) Montrer que P et I sont supplémentaires dans JRIR.

(8)

Chapitre 2

LES APPLICATIONS _, LINEAIRES

2.1 Définitions

Définition 2. 1. Soient E e[~ F deux e. v. sur 1K et f : E ➔ F une applicâtion. On dit que f est une application linéaire {ou morphisme d'espaces vectoriels) si: 1::/(u, v) E E²1::/).. E 1K 1) f(u

+

v)

=

f(u)

+

f(v)

2) f(>-.v)

=

>-.J(v).

Remarque 2.1. L'ensemble de toutes les applications linéaires de E dans Fest noté LIK(E, F).

n

contient au moins l'application nulle (0: E ➔ F avec O(u)

=

OF pour tout u E E) ·

-~ -·':'"::F.~~

Définition 2.2. Soit f une application linéaire de E dans F.

1. Dans le cas F

=

JK, f est dite une forme linéaire.

2. Lorsque f est bijective, f est dite un isomorphisme.

3. Dans le cas E

=

F, f est dite un endomorphisme et on écrit .C.IK(E, E)

=

.C.n<(E).

4.

Lorsque E

=

F et f est bijective on dit que f est un automorphisme.

Propriétés 3. 1. f(OE)

=

OF 2. f(-u)

=

-f(u) 1::/u E E

3. f est une application linéaire équivaut à

f(x +>-.y)= f(x)

+

>-.J(y) 1::/(x, y) E E² 1::/).. E 1K et aussi à

f(ax

+

fJy)

=

af(x)

+

fJf(y) 1::/(x, y) E E² 1::/(a., fJ) E 1K2 Exemple 8.

2. <p : JK[X] ➔ 1K -qui à P associe <p(P)

=

P(O)- est une forme linéaire.

3. 0 : 'D(JR, JR) ----t .F(lR, JR) qui à g E .F(JR, JR) associe sa dérivée 0(g)

=

g'.

('D(lR, JR) est le sev des fonctions dérivables sur JR).

4-

Par contre l'application h: (C ----t (C avec h(z)

=

_z²n'est pas linéaire.

(9)

Définition 2.3. et proposition

• Le sous-ensemble de E, noté ker f = {x E E / f(x) =OF}, est un s.e.v. de E.

On l'appelle le noyau de f.

• Le sous-ensemble de F, noté Imf

=

{f(x) / x E E}, est un s.e.v. de F.

On l'appelle l'image de f.

Exemple 9. 1. Pour

f :

JR2 _➔JR3 avec f(x)

=

(x1 + x2,2x1,xi) on a Ker(!)= {(0,0)} et Imf

=

{(x1 +x2,2x1,x1) / (x1,x2) E lR²}.

2. Pour r.p: JK[X] ➔ lK avec cp(P)

=

P(O)

on a I<er(r.p)

=

^{{P /}^P(O)

=

O} l'ensemble des polynômes qui s'annulent en O. Et Im<p

=

lK

3. Pour 0: lK[X) ➔ JK[X] avec 0(P)

=

P' on a Ker ( 0)

= {

^P^/P polynôme constant}

et Im(fJ)

=

JK[X]

Proposition 2.1. Soit fun morphisme de JK-espaces vectoriels: f: E ➔ F. On a les résultats:

f est injective si et seulement si ker(f)

=

{OE}- ..

f est surjective si seulement si I m(f)

=

F.

Définition 2.4. Soit f un morphisme de JK-espaces vectoriels : f: E ➔ F.

Si la dimension de lm(!) est finie, le rang de f noté rg(f) est l'entier naturel r

=

dim(Im(f)).

2.2 Propriétés et opérations

Propriétés 4. Soit f un morphisme de JK-espaces vectoriels :

f:

E ➔ F. On a les résultats : Si B

=

(e1; e2; ···;en) est une base de E alors f est parfaitement déterminé par la donnée de B'

=

(f(e1); f(e2); · · ·; f(en)) {la famille des images des vecteurs de la base).

Si .C

=

(u_{1 ;}u2; · · ·; uk) est liée {dans E) alors .C'

=

(f(u1); f(u2); · · ·; f (uk)) est liée {dans F ).

Si f est un isomorphisme alors

1-

¹est un isomorphisme {de F dans E).

Exemple 10. Déterminer le morphisme f de JR₁[X] dans JR²tel que : J(Pi)

=

(1, 1), J(P2 )

=

(1, -1)

avec Pi

=

^X^{- 1,}P2

=

¹

+

X.

Vérifier que f est un isomorphisme et déterminer

1-

¹^.

Théorème 2.1. Soit f un morphisme de JK-espaces vectoriels de dimensions finies

f :

E ➔ F.

On a le résultat

dim(E)

=

dim(K er f)

+

dim(Imf) Et comme conséquence lorsque dim(E)

=

dim(F), on a les équivalences : f est bijective {=> f est injective {=> f est surjective

Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur lK, f et g des éléments de .ln<.(E, F) et h un élément de Ln<.(F,G).

Proposition 2.2. - Pour tous (a, /3) E JK²

a • f

+

j3 • g est une application linéaire de E dans F.

(a·J+/3-g) E.Cn<.(E,F) càd:

une combinaison linéaire d'applications linéaires est une application linéaire.

- L'application ho

f

de E dans G est aussi linéaire.

{(ho f) E .ln<.(E, G) ) càd :

une composée d'applications linéaires est une application linéaire.

(10)

Proposition 2.3 . .C1K(E, F) muni de l'addition entre les applications linéaires et la multiplication externe d'une application par un scalaire est un espace vectoriel sur IK (sous-espace vectoriel de F(E,F)).

Et si E et F sont de dimensions finies alors

dim.CIK(E, F)

=

dim(E) x dim(F)

2. 3 Formes linéaires

Définition 2.5. Une forme linéaire sur E un JK-espace vectoriel est toute application linéaire de E dans JK.

L'ensemble .C(E, IK) des formes linéaires sur E, est noté E* et appelé le dual de E.

Exemples 5. 1) Une forme linéaire sur l'espace vectoriel JKn est définie par f(x1 , x2, · · · , Xn)

=

a1x1

+

a2x2

+ · · · +

anXn où a1, · · · , an sont des éléments fixés de JK.

2) L'application({!: f ➔

t

1 f(x)dx est une forme linéaire sur le IR-espace vectoriel C([-1, lj, JR) des fonctions continues de [-1, 1] dans JR.

Proposition 2.4. Une forme linéaire f non nulle, sur E, est forcément surjective.

Proposition 2.5. Si E est un JK-e.v de dimension dimJKE

=

n alors E' est un JK-e.v de dimension dimJKE•

=

n.

2.4 Hyperplans vectoriels

Définition 2.6. 1} On appelle plan vectoriel d'un 1K-e.v E, le noyau d'une forme linéaire f non nulle sur E.

2) Si H

=

K er(f) est un hyperplan vectoriel de E, alors f (x)

=

0 est appelée équation de H.

Exemples 6. 1. Un hyperplan de JKn est décrit par une équation _a1x1

+ · · · +

anXn

=

0 avec au moins un des ai non nul.

2. Le sev de C([-1, 1], R) formé des fonctions f telle que

t

1 f(x)dr

=

0 est un hyperplan vectoriel.

Proposition 2.6. Si H est un hyperplan vectoriel de E, il existe une droite vectorielle D ( de E) telle que E

=

H EB D.

Proposition 2. 7. 1. Soit E un K - e. v de dimension finie n, et B

= (

e₁, e_{2 , •}• · , en) une base de

n n

E. H un hyperplan vectoriel de E est l'ensemble des vecteurs v

= I:

a;ei tels que

I:

ai>..i

=

0;

· i=l i=l

où >..i

=

f(e;) ne sont pas tous nuls.

2. Les hyperplans de E sont les sous-espaces vectoriels de Ede dimension (n - 1).

3.Deux formes linéaires f et g non nulles sur E définissent le même hyperplan vectoriel de E si et seulement si elles sont proportionnelles (c'est à dire f

=

ag; a E JK*).

Exemple 11. Dans le R-e.v vectoriel R3 , les hyperplans vectoriels sont les plans qui passent par l'origine dont l'équation est ax+by+cz

=

O. La forme linéaire associée est f(x, y, z)

=

ax+by+cz

2.5 Transformations Vectorielles

2.5.1 Homothétie Vectorielle

Définition 2.7. Une homothétie vectorielle de rapport a est l'application fa définie de E dans Epar : f a(v)

=

^DIV.

Exemple 12. 1.Si a= ^ÜJK;f ^o:

=

0 {l'application nulle}. 2.Si a= lJK; fa= ldJK.

Proposition 2.8. Une homothétie vectorielle est un endomorphisme de E commutant avec tout endomorphisme de E : (r/g E LJK(E) {go fa= fa o g Va E JK)).

Proposition 2.9. 1. Va,/3 E lK fa o fr,= faf3·

2. Va E JK* fa est bijective et Ua)(-l)

=

f¾•

Remarques 2.1. 1. L'homothétie vectorielle correspond à un changement d'échelle des figures.

2.Si E

=

K, les homothéties vectorielles sont les seules applications linéaires de E dans E.

(11)

2.5.2 Projection Vectorielle

Soient F, G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E ie E

=

F EB G. Tout vecteur u de E s'écrit, de manière unique, sous la forme u

=

v

+

w avec v E F, w E G.

Définition 2.8. 1. Une Projection Vectorielle p sur F parallèlement à G est une application définie sur Epar p(u)

=

v.

2. F est appelé base de la projection vectorielle et G direction de la projection.

Exemples 7. 1. Si F

=

E et G

=

{0E} alors p

=

ldE- 2. Si F

=

{0E}; et G

=

E alors p

=

0 {l'application nulle).

Proposition 2.10. 1. p est un endomorphisme de E qui vérifie p²

=

p.

2. Ker(p)

=

G; Jm(p)

=

Ker(p- JdE)

=

F.

Définition 2.9. la Projection vectorielle q sur G parallèlement à F est appelée project-ion vecto- rielle complémentaire de p.

Proposition 2.11. q

=

IdE - p.

Définition 2.10. Un projecteur p de E est un endomorphisme de E vérifiant p²

=

p . Remarque 2.2. Une projection vectorielle est un projecteur.

Proposition 2.12. Soit p un projecteur de E.

1. I mp et K erp sont supplémentaires.

2. p est la projection vectorielle sur F

=

Jm(p) parallèlement à G

=

Ker(p).

2.5.3 Symétrie Vectorielle

..

Définition 2.11. Une Symétrie Vectorielles par rapport à F parallèlement à G est une applica- tion définie sur Epar s(u)

=

v - w.

Exemple 13. 1. SiF=E etG=OE alorss=IdE.

2. Si F

=

{OE} et G

=

E alors s

=

-JdE.

Proposition 2.13. 1. s est un endomorphisme de E qui vérifie s²

=

IdE- 2. Ker(s - IdE)

=

F; Ker(s

+

IdE)

=

G.

3. s

=

2p - I dE où p est la projection vectorielle sur F parallèlement à G.

Proposition 2.14. s est un automorphisme de E et s-¹

=

s.

Définition 2.12. la Symétrie Vectorielles' par rapport à G parallèlement à F est appelée symétrie vectorielle complémentaire de s.

Proposition 2.15. s'

=

-s.

Proposition 2.16. Sis est un endomorphisme de E vérifiant s²

=

I dE, alors i.Ker(s - IdE) et Ker(s

+

JdE) sont supplémentaires de E.

ii.s est la symétrie vectorielle par rapport à F = Ker( s - I dE) parallèlement à G = Ker( s

+

I dE).

(12)

2.6 Énoncés des exercices

Exercice 2.1. :

Soit f l'application de JR⁴ dans JR²définie par:

f

(x, ^y^,z, t)

=

(x

+

y, z - t).

1) Vérifier en passant par la définition, que f est linéaire.

2) Déterminer le noyau et l'image de f. 3) Donner le rang de f

Exercice 2.2. :

Soit f une application linéaire de JR²dans lR². On donne

1) Donner f(x,y) pour (x,y) E JR².

2) T'rou:oer alors Ker(!) et Im(f).

Exercice 2.3. :

{ f

(2, 5)

=

(2, 3) J(O, 7)

=

(3, 1) .

Soit f une application linéaire de E

=

JR₂[X] dans F

=

lR²telle que : f(Pi)

=

(1, 1), f(P2)

=

(1,2) et f(P3)

=

(0,0)

où ( P1 , P2, P3) est la base canonique de _lR2[X].

1) Pour chaque P

=

^a⁰

⁺

a 1X

+

a2X², donner J(P) en fonction de a0, a1 2) Déterminer ker(f), une base de ker(f) et sa dimension.

3) Déterminer lm(!), une base de Im(f) et sa dimension.

4) f est-elle injective ? surjective? bijective ?

5) Trouver si possible un polynôme PEE tel que f(P)

=

(-3, 1).

Exercice 2.4. :

..

On définit sur E

=

lR3[X] l'application q; par q;(P)

=

P - (X+ l)P' pour tout PEE.

1) Vérifier que q; est un endomorphisme sur E.

2) Déterminer Ker( q;) et en déduire rg( q;). ef; est-elle injective ? surjective ? 3) Déterminer Im(q;) et donner l'une de ses bases.

4) Montrer que E

=

Ker(r/;) EB Jm(ef;).

Exercice 2.5. :

Soit E un espace vectoriel réel de dimension trois et B

= {

e_{1 ,}e_{2 ,}e_{3 }}une base de E. On considère l'endomorphisme h de E qui à un vecteur u de E de coordonnées (x, y, z) dans B associe le vecteur v

=

h( u) de coordonnées ( x', y', z') telles que

x' = 3x

+

y - z, y'= 2x

+

2y-z, z' = 4x

+

2y - z.

1) Montrer que l'ensemble F

=

{u E E/ f(u)

=

u} des vecteurs invariants par f est un sous-espace vectoriel de E. Donner une base de F.

2) Soit G

=

vect(u1 ) avec u1

=

e1

+

e2

+

2e3.

Montrer que E

=

F Ell G et que f restreinte à G est une homothétie vectorielle (c.à.d: :l>. E lR Vu E G, f(u)

=

>.u).

(13)

Chapitre 3

MATRICES

Dans ce chapitre la lettre 1K désigne le corps 1R (ou <C).

3.1 Généralités

A. Définitions et exemples

Définition 3.1. On appelle matrice de type (n,p) E JN* x JN* à coéfficients dans 1K, toute application :

M : {1,2,··· ,n} x {1,2,··· ,p}

( i, j) M est notée M

= (

% ) 1 ::S i ::S n

1::Sj:'.Sp

o(u : : :

f~T'

^d'un::")au ayant n lignes et p colonnes :

a~1 a~2 a~P

L'ensemble de toutes les matrices de type (n,p) est noté Mn,p(JK).

Remarques 3.1. 1) Soient M

= (

% ) 1 ::S ⁱ::S n et M'

= (

a~j) _{1 ::S}i ::S n deux éléments de

l:'.Sj:'.Sp l:'.Sj:'.Sp

Mn,p(lK) on définit l'égalité par : M = N ~ \li, j : aij = bij ·

2) Dans le cas n

=

p, Mn,p(IK) est noté Mn(1K). Les éléments de Mn(IK) sont appelés matrices carrées d'ordre n.

Exemple 14. A

= ( ~ ⁾

^{E M3,1}^(JR)^{et (}

-v3

0 1-i

5 i 0

¼

B. Structure d'espace vectoriel sur Mn,p(IK)

Définition 3.2. Soient A= (Œ;j) _{1 ::Si}::Sn , B

=

(bij) 1 ::Si ::S n E Mn,p(lK) et a E IK. On l:'.Sj:'.Sp l:'.Sj:'.Sp

définit les opérations suivantes :

A

+

B

= (

%

+

b;i) 1 ::S i ::S n 1 ::S j ::S p

et aA

= (

ŒŒ;j) 1 ::S i ::S n 1 ::S j ::S p

(14)

Proposition 3.1. L'ensemble Mn,p(IK) muni des lois

et

+ :

Mn,p(IK) x Mn,p(IK) (A,B) Mn,p(IK) x Mn,p(IK)

(a, A) est un espace vectoriel sur JK.

Ce qui signifie qu'on a :

--+ Mn,p(IK)

--, A+B

--+ Mn,p(IK) --, a.A

• (Mn,p(IK), +) est non vide car co(nt~

0

:ent la m ~

0

a:. tr)ice nulle

OMn,p(IK)

=

(O;j) 1 Si Sn l:Sj:Sp

• L'addition est commutative : A+B==B+A.

• La matrice nulle est l'élément neutre de Mn,p(JK) :

ÜMn,p(JK) +A= A+ ÜMn,p(JK)

=

A.

• La loi

+

est associative : A+ (B

+

C) =(A+ B)

+

C.

• L'opposé de la matrice A=(%) ₁Si Sn est noté -A avec -A= (-a;j) ₁Si Sn

l:Sj:Sp l:Sj:Sp

Et l'on a A+ (-A)= OMn,p(IK)

En plus on a:

a.(,B.A)

=

(a,B).A (a+ ,B).A ==a.A+ ,B.A a.(A

+

B) =a.A+ a.B

lJK.A

=

A

Ceci pour tous A, B E Mn,p(JK) et a, ,8 E JK ..

C. Multiplication de deux matrices Soient A= (a;j)

1 Si ^Sn E Mn,p(IK) l:Sj:Sp

et B

=

(bst) l S ₈S P E Mp,m(IK) l:St:Sm

Définition 3.3. On définit le produit C des deux matrices A et B par:

p

AB= C

=

(chk) l S h Sn l:Sk:Sm

E Mn,m(IK) avec Chk

= L

^{ahjbjk ,}^'r:f¹^{S h}^{Sn ,}¹^{S k Sm.}

j=l

Ce produit n'est donc défini que pour deux matrices dont le nombre de colonnes de la première est égal au nombre des lignes de la deuxième.

( 1 0 -2 ) Exemple 15. Soient A

=

3 _

5 1 et B

= ( ~ ~

~2 ; ) . A est d'ordre (2, 3) et

-1 3 5 0

B d'ordre (3, 4) donc le produit AB est possible et est d'ordre (2, 4). Les coefficients sont donnés par:

(15)

les coefficients de la première ligne sont

C11 = ( 1 ^X4)

+ (

0 ^X0)

+ ( ( -

2) ^X⁽-1)) = 6

C12

=

(1 X 1)

+

(0 X 7)

+

((-2) X 3)

=

-5

C13

=

(1 X 0)

+

(0 X -2)

+

((-2) X 5)

=

-10

C14

=

(1 ^X7)

+

(0 ^X6)

+

((-2) ^X0)

=

7 et les coef Jicients de la deuxième ligne sont

C21

=

(3 ^X4)

+

((-5) ^X0)

+

(1 ^X(-1))

=

11

C22

=

(3 ^X1)

+

((-5) ^X7)

+

(1 ^X3)

=

-29

C23

=

(3 X 0)

+

((-5) X -2)

+

(1 X 5)

=

¹⁵

C24

=

(3 X 7)

+

((-5) X 6)

+

(1 X 0)

=

-9. . . ( 6 -5 -10 7 ) Ainsi AB= 11 -29 15 -9

Proposition 3.2. 1) Soient A E Mn,p(IK) et U, VE Mp,q(IK), alors:

A(U

+

V)

=

AU

+

AV

De même à droite lorsque le produit existe. Ce qui montre que produit est distributif par rapport à l'addition.

2) Soient A E Mn,p(IK), BE Mp,q(IK) et CE M₉,r(IK), alors : "' (AB)C

=

A(BC).

Ce qui montre que le produit est associatif.

D. Matrice associée à une application linéaire Soient E et F deux JK-espaces vectoriels de bases respectives B

= {

e1, · · · , ep} et B'

=

^{f1, · · · , f n}. Si f est une application linéaire de E dans F alors :

\il $ j $ P :l!(a1j, a2j, · · · , anj) E IKn f(ej)

=

a1jfi

+

a2jfz

+ · · · +

anjfn-

Définition 3.4. Par définition la matrice M

=

^(a;j) ₁$ i $ n notée M(j,B,B') est appelée 1$j$p

la matrice de l'application linéaire f relativement aux bases B et B'.

Dans le cas où E

=

^F^et^B

=

B' on note M(j, B, B') par M(J, B).

Exemple 16. Soit f: IR-+ IR³avec J(x)

=

(2x,0,-3x).

Si B

=

{e1 = 1} et B'

=

{11 (1,0,0),h = (0,1,0),h

=

(0,0,1)} sont les bases canoniques respectives de IR et IR3 alors :

f (,,) ~

^{(2, 0,}^-3)

~

^2!,

⁺

^Of,+^(-3)!,^etdonc M(f, B,

B') ~ ⁽ j )

2) Soit g: lR2[X] -+ IR1[X] avec g(P)

=

g(a0

+

a1X

+

a2X 2) = P' = a1

+

2a2X.

Si on prend B

=

{1, X, X²} et B'

=

{1, X} alors : M(J,B,B')

= ( ~ ~ ~ ⁾

3) Soit IdE: E-+ E avec JdE(x)

=

x et B une base de E. Alors \fl $ j $ n JdE(ej)

=

ej et donc

M(IdE,B) =In=

( oo1 : _ oo1 ~o ~~- ⁾

appelée la matrice identité.

Théorème 3.1. Soient E f~h F ~ G des applications linéaires entre les IK-espace vectoriel E, F et G, de bases respectives B1 , B2 et B3. Alors

et

(16)

Exemple 17. (1) f : lR-2 --, lR,3

avec J(x, y)

=

(x - y,x

+

y, 2x) et g lR,3

- - , lR,3

avec g(u,11,w)

=

^(v,u^,⁰⁾^.

On a (go J)(x,y)

=

g(f(x,y))

=

g(x - y,x+ y,2x)

=

(x

+

y,x - y,0).

:~f~~rrrr:~::i:ur ~) ,tM(gof)-( i -i ^)-M(g)M(f ^).

Et si par exemple h(x, y)

=

(-3x, x

+

2y, 5x

+

y), on a :

(7f

+

h)(x,y)

=

7f(x,y)

+

h(x,y)

=

7(x - y,x

+

y, 2x)

+

(-3x,x

+

2y,5x +y)= (4x - 7y,8x

+

9y, 19x

+

y).

Et M(7f

+

h)

= ( : -~ ) =

7M(f)

+

M(h). 19 1

Les matrices sont prises par rapport aux bases canoniques.

Ecriture matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire :

Soit x E E de coordonnées (x 1, · · · , xp) dans la base B. L'image de x par l'application linéaire f est donnée par :

f(x)

=

^X1^(aufi

⁺

^a21h

⁺ ^· ^· ^· ⁺

^an1fn)

⁺ ^· ^· ^· ⁺

^Xp^(a1pfi

⁺

^a2ph

⁺ ^{· ·} ^· ⁺

^anpfn)

=

^(x1au

+

x2a12

+ · · · +

Xpa1p)

fi +

^(x1a21

+

x2a22

+ · · · +

Xpa2p)

h + · · · +

(x1an1

+

X2an2

+ · · · +

Xpanp) f n·

Les coordonnées de (y1; y2 , · · • , Yn) de f(x) sont données par:

Y1

=

^x1au

+

^x2a12

+ · · · +

xpa1p Y2

=

^{X1 a21}

+

x2a22

+ · · · +

Xpa2p

Qui s'écrit sous la forme matricielle :

)(::)

ou

Y= M(f,B,B')X

avec Y la matrice des coordonnées de f(x) dans la base B' et X la matrice des coordonnées de x dans la base B.

3.2 Etude de Mn(IK)

A. Structure d'anneau sur Mn(lK)

Proposition 3.3. L'ensemble Mn(lK) des mafrices carrées d'ordre n, muni de l'addition et de la mu(lti:

01 :

.lic1ion des

~Î:m)atrices

^{est un}^anneaunon commutatif Son élément neutre est la matrice {

1 si i

=

j

ln= =(ôij) l:Si:Sn avecôij= 0 sii=fj.

0 1::; j::; n

(17)

Preuve 2. On sait qu'en général (Mn,p(lK), +) est un groupe commutatif et donc en particulier (Mn(lK), +) l'est aussi.

Le produit est toujours défini entre les matrices carrées de même ordre n ; puisque le nombre des lignes est égal à celui des colonnes. On a vu que le produit des matrices est associatif et distributif par rapport ^àl'addition.

n

Et si M

=

(aij) 1 :Si :Sn , alors M.In

=

(bij) 1 :Si :Sn avec bij

=

s~l aisÔsj

=

a;jÔjj

=

aij·

l:Sj:Sn l:Sj:Sn

Donc Min= Met de même InM

=

M.

Par suite (Mn,p(lK),

+ , .)

est un anneau délément neutre In.

Pour voir qu'il n'est pas commutatif (pour n 2: 2), on prend:

A-U : n ^{,tB-U :} n ^=a

AB-O=üBA-Bf 0 Définition 3.5. Une matrice ME Mn(lK) est inversible s'il existe M' E Mn(lK) telle MM'=

M' M

=

In (M' est notée M-¹).

Le groupe des matrices inversibles d'ordre n est noté GLn(lK).

..

Proposition 3A. Soit f : E ----+ E une application linéaire et 8 une base quelconque de E.

Alors :

f est bijective si et seulement si M(f, 8) est inversible.

Et pour calculer

.u-

¹il suffit par exemple de déterminer

1-

¹et ensuite sa matrice qui est A1-¹.

Preuve 3. Si f est bijective on a f

of-

¹

= 1- 10J =

I dE, et alors M(f

o 1-

¹, 8)

=

M(f-¹0

J,

8)

=

M(IdE,8).

Donc M(f,B)M(J-1,B)

=

M(J-¹,B)M(f,B)

=

In- Ce qui montre que M(J,B) est inversible d'inverse

M(r\

B).

Réciproquement :

Si M(f, B)

=

A est inversible d'inverse A-¹, on définit l'application linéaire g dont la matrice par rapport à la base canonique est M(g, 8)

=

A-¹. Puisque M(f o g, 8)

=

M(J, B)M(g, B)

=

AA-¹

=

In et M(gof,B)

=

M(g,B)M(f,B)

=

A-¹A

=

In on en déduit que f og

=

gof

=

ldE. Par suite f est bijective et

1-

¹

=

g.

Exemple 18. Soit l'application linéaire f : JR.³----+ JR.³définie par f(x, y, z)

=

(x+y, y+ z, z+x).

On a:

f(x,y,z)

=

(u,v,w) ~

Ainsi f est bijective, sa matrice A

=

( 011 011 0~ ) est inversible d'inverse

(18)

B. Changement de bases et matrices Soient E un espace vectoriel de dimension n sur JK,

B

=

(e1 , · · · , en) et B'

=

(e~, · · · , e~) deux bases de E. On sait qu'il existe ((Œij) ₁~ i ~ n ) tels

q{uee~

e' ₂

e' _n

=

^o:ne1

+

^Œ21e2

+ · · · +

^Œn1en

=

^Œ12e1

+

^Œ22e2

+ · · · +

^Œn2en

l ~ j ~ p

Définition 3.6. On appelle matrice de passage de la base B à la base 13', la matrice P d'ordre n égale à P

=

J.1(ide,B',B)

=

(aij) ₁:5 i :5 n . C'est donc la matrice dont la ime_colonne est

1:5j:5n

formée des composantes de e

1

^dansla base B (j

=

1, · · · , n).

Exemple 19. Avec E

=

IB.3, B

=

(e 1,e2,e3) sa base canonique et B' (1,1,1),

e; =

(1,1,0) ete

3 ⁼

^(1,0,0).

On a. e~

=

e(1 : e\

+

~3 \ e;

=

e 1

+

e2 et e

3 =

^e1 . Donc P

=

^{1 1}

~

¹

1 0 0 /

la base formés par e~

=

...

Remarques 3.2. 1} En fait P

=

M(u, B), où u est l'endomorphisme défini par: u(ej)

=

^e

1 ,

^rlj

=

1,2,· ·· ,n.

2} On a aussi P

=

^M(ide,B'^,^B).^Puisquel'identité est bijective, on a P inversible et p-l M(ide,B,B').

Soit x E E, x

=

_i=

t

_l^Xiei

⁼

_i=l

t

^{x~e~. On}^pose^X=⁽ ^X~nl ^{) et}^{X'= (}

x~~~

⁾ ^·

On a:

X

I:

n x'-e'- i=l J J

= t ( t

Œ;jXj) e;

i=l j=l

n

= I:

n Xie;.

i=l

Donc pour tout i

=

1, 2, ···,non a x;

= I:

Œ;jX~j· Ce qu'on écrit matriciellement par:

j=l

ou X= PX' ou encore X'= p-¹

x.

C. Changement de bases et matrice d'une application linéaire Soient Fun autre espace vectoriel de dimension p sur 1K, C

=

(fi,··· , /p) et C'

= (f{, · · · , J; )

deux bases de F.

Soit u : E --+ F une applicaion linéaire dont les matrices sont M

=

M(u, B, C) (par rapport aux bases B et C) et M'

=

M ( u, B', C') (par rapport aux bases B' et C'). Soient P (resp. Q) la matrice de passage de B à B' (resp. de C à C').

Si ^xE E a pour matrices des coordonnées X dans la base B et X' dans la base B'. Son image u(x) E Fa pour matrices des coordonnées Y dans la base Cet Y' dans la base C'. D'après des

, , { X

=

PX' { Y

=

MX

formules precedentes on a : y

=

QY' et donc Y'

=

Q-1 y et Y'

=

M' X'

On remplace successivement pour avoir : Y'

=

Q-¹y

=

Q-¹(MX) Q-¹(.M(PX')). D'où la relation :

M'

=

^Q-¹MP.

(19)

Comme cas particulier : Si E = F, B =Cet B' = C', alors Q

=

P et M'

=

^p-¹M P.

Exemple 20. Soit u:

IR.2

- t IR.³avec u(a,b)

=

(a,b,a - b).

Et soit B' = (e~,e;) La base de IR.2 donnée pare~= e1 - e2 et e; = e1

+

e2 où ((e1,e2)) est la base canonique de IR. ².

Et avec F = IR.3, C = (!1,

h, h)

sa base canonique et C' la base formé par f{ = (1, 1, 1), f~

=

(l, 1, 0) et f

3

⁼(1, 0, 0).

On a J{ =

fi + h +

h,

J!

2 =

fi + h

et

fs

⁼

fi.

DancM-M(u,B,C)- 0

-0, ^{P-( _;} ⁱ⁾

^ctQ-(:

i n

On calcul, Q-' - (

~

^_:

-i )

ctl'an a d=c

M'

=

M(u,B',C')

= (

~l

~

^-~^{) (}

~

^{~ )}⁽ ^-~

~

⁾

⁼ ^{(-~ ~)} ^.

-1 0 1 -1 .. 2 0

3.3 Calcul du rang et de l'inverse

a21 an (

an a12 A. Opérations élémentaires sur une matrice Soit A E Mn,p(IK), A= :

anl an2 (A n'est pas forcément carrée).

Définition 3.7. Le rang de A, noté rg(A) est défini par:

rg(A)

=

^{rg( {}^V1,^{· ·}^{· ,}Vn}) (~ dim( { v1, · · · , Vn} ))

avec Vj est le vecteur de IKn dont les coordonnées sont les coefficients de la colonne Cj.

Exemple 21. A= (

~ ~ ~

⁾ ^,^rg(A)

⁼

^rg(v¹^,v²,v3), avec v1

=

^v2

=

(1,2,0,0) et v3

=

0 0 0

(0, 0, 1, 0) E IR.⁴. Donc rg(A)

=

rg(v1, v3)

=

2 (puisque v1 et v3 sont indépendants et v1

=

v2)-

Remarque 3.1. Soit A E Mn,p(IK)

1°) rg(A) :S min(n,p) (car dim{v 1,··· ,vp} :S p (car au plus p-vecteurs libres) et :Sn (car dim(IKn) :S n).

2°) Soient f E LIK(E,F), B

=

{e1, · · · ,ep} base de E et B'

=

{!1, · · · , fn} base de F.

J(e1) · · · J(ep)

( ^. ⁾

On a rg(M(J,B,B'))

=

rg(M), avec M

=

fn Or rg ( {f(e1 ), · · · , J(ep)}) = dim{f (e1 ), · · · , f(ep)}

=

rg(J) = dim(Im(J)).

En plus le rang d'une fa mille de vecteurs ne dépend pas de la base dans laquelle on les écrit, alors:

rg(M(J, B, B'))

=

^rg(J)

=

dim(Jm.(J)).

(20)

Exemple 22. Soit f :

1R.3

----+

JR4,

B, B' leurs bases canoniques respectives,

::caf~:~:,:(~,::,~~'(Tf l)

=Met par suite rg(f)

=

rg(M)

=

2 0 0 0

c.à.d. dim(Im(f))

=

^2.

Définition 3.8. Soit A E Mn,p(JK). On dit qu'on a fait des opérations élémentaires à A si:

a) on transpose deux lignes {resp. de deux colonnes) de A.

b) on ajoute à la ligne (resp. colonne) r la ligne {resp. colonne) s, multipliée par .À E JK, pour s

=/-

r.

c) on multiplie l'une des lignes {resp. colonne) de A par un .À E JK'.

..

Théorème 3.2. Le rang d'une matrice A est le même que le rang de la matrice obtenue après avoir fait des opérations élémentaires.

Méthode pour calculer le rang de A

=/-

0 :

• Par opérations élémentaires (échange de lignes ou de colonnes), on ramène un terme non nul a de A en position (1, 1).

• Pour chaque i > 1, à la ligne i on retranche le produit par ai 1 de la ligne 1.

On peut aussi, à la colonne j > 1, retrancher le produit par a1j de la colonne 1, et cela pour tout les indices j > 1.

On obt;ent une matrice de la forme ( : 0

X . . .

~

^{) à}laquelle on ,épète le même prncédé.

Exemple 23. :

A

= ( _; 1 ⁼ ^{[ )}

^E^M4,3^(<C)

-4 3 -3

(21)

rg(A)

=

rg ( -1

~

-1

~

² ^{-2 )}

-1 -1

-1 0 -3

~ 1

+2~2)

5 -5

-~ ~)

m

+ 2 _2

^{(b -} ^li),^(l3

+

11) et (l4

+

li) 5 -5

0

1 -1

-2 m+2 0 )

-5 5

i -~)

=

rg (

! : 1)

0 0 0

Alors si m

i=

0, le rang est rg(A)

=

3 puisqu'il nous reste trois colonnes non nulles ( ou trois lignes) indépendantes. Et si m

=

0 il n'en reste que 2, et donc le rang est rg(A)

=

^2.

Soit A E M.(IK), A

~ (

an a12 a1n

}

a21 a22 a2n

B. Calcul de l'inverse d'une matrice carrée

anl an2 ann

Méthode pour calculer l'inverse :

La méthode consiste à appliquer des transformations élémentaires uniquement sur lignes de la matrice A et on fait en parallèle la même chose aux lignes de la matrice In.

Lorsqu'on arrive à transformer A sous la forme In, on obtient l'inverse A-¹après avoir appliqué ces mêmes transformations à In.

Exemple 24. 1) Déterminons l'inverse de A= (

~ ~ ~

⁾^.

2 2 -1

On va poser la matrice A à gauche,

h

à droite et signaler la transformation faite au début de