D1988. La saga de l'angle de 60° (10ème épisode)
– DE est perpendiculaire à la bissectrice bC, et DF est perpendiculaire à la bissectrice bB, donc les bissectrices bI et bI' de bB et bC (en rouge) sont perpendiculaires aux bissectrices de DE et DF. En particulier, bD (en vert) est perpendiculaire à bI (IJ).
– Avec B et C fixes et un angle ABC constant, le cercle Γ1 circonscrit à ABC est invariable quand A se déplace. L'angle BIC est aussi constant : BIC = (π + BAC) / 2. Donc I décrit le cercle Γ2 centré sur la médiatrice mBC et qui coupe cette droite en K et en L.
– Les arcs BK et KC sont égaux, donc K et L sont situés sur les bissectrices bI et bI'.
– La bissectrice bI' de DE/DF est aussi bissectrice de IG/ID où G est l'intersection de bA de mBC et de Γ1. En effet, si α et β sont les demi-angles du triangle en A et en B, on a : BIG = α + β, BID = π / 2 – β, et leur somme π / 2 + α = BIC. On a donc les égalités d'angles GKI = DIJ = KIG , et KIG est isocèle. G est aussi le centre de Γ2.
– Si BAC vaut 60°, alors BIC = BKC = 120° = BGC – et K est confondu avec O. CQFD.
