St. Joseph/ICAM Toulouse CB3 - 2020-2021 - Correction
CB n
◦3 - Réduction - Sujet 1
EXERCICE 1
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables dans R? Justifier la réponse.
Si oui, donner la matrice diagonale qui leur est semblable, ainsi qu’une base de diagonalisation.
A=
5 1 −2 0 2 0 3 1 0
B=
7 −9 5 5 −7 5 1 −1 3
C=
1 6 −3 2 8 −2 1 14 −3
• χA= (X−3)(X−2)2.
rg(A−2I3) = 1, donc dim(E2(A)) = 2 =m(2). De plus, dim(E3(A)) = 1 =m(3).
Le polynôme caractéristique est scindé, et les dimensions des espaces propres sont égales aux multi- plicités des valeurs propres correspondantes.
On en déduit que A est diagonalisable, semblable à diag(2,2,3).
De plus, E2(A) =Vect{(1,−3,0),(0,2,1)}et E3(A) =Vect{(1,0,1)}, on a donc une base de diago- nalisation : ((1,−3,0),(0,2,1),(1,0,1)).
• χB = (X+ 2)(X−2)(X−3)est scindé à racines simples donc B est diagonalisable, semblable à diag(−2,2,3).
E−2(B) =Vect{(1,1,0)}, E2(B) =Vect{(−1,0,1)}, E3(B) =Vect{(1,1,1)}; on a donc une base de diagonalisation :((1,1,0),(−1,0,1),(1,1,1)).
• χC = (X−4)2(X+ 2).
rg(C−4I3) = 2, donc dim(E4(C))6=m(4). On en déduit que C n’est pas diagonalisable.
EXERCICE 2
SoientM =
2 1 −2 3 0 −2 4 0 −3
etT =
1 0 0
0 −1 1 0 0 −1
.
Montrer qu’il existe une matrice inversibleP,que l’on déterminera, telle que M =P T P−1
On notef l’endomorphisme canoniquement associé àM.
det(M−I3) =det(M +I3) = 0; on en déduit que 1 et −1 sont valeurs propres deM.
Le polynôme caractéristique de M admet au moins deux racines et il est de degré 3, il est donc scindé dansR, etM est trigonalisable.
De plus, la trace est un invariant de similitude, et tr(M) =−1, on en déduit quef admet une matrice de la forme
1 0 a
0 −1 b
0 0 −1
, dans une base(u, v, w), telle que u∈E1(f) etv∈E−1(f).
Ker(f−Id) =Vect((1,1,1)); on prend u= (1,1,1).
Ker(f+Id) =Vect((1,1,2)); on prend v= (1,1,2).
M semblable àT si, et seulement s’il existew= (x, y, z)∈R3tel que{u, v, w}est libre etf(w) =v−w.
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2 1 −2 3 0 −2 4 0 −3
x y z
=
1 1 2
−
x y z
⇔
3x+y−2z= 1 4x−2z= 2
w= (1,0,1)convient, car det(u, v, w)6= 0.
Finalement, M =P T P−1, avecP =
1 1 1 1 1 0 1 2 1
.
CB n
◦3 - Réduction - Sujet 2
EXERCICE 1
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables dans R? Justifier la réponse.
Si oui, donner la matrice diagonale qui leur est semblable, ainsi qu’une base de diagonalisation.
A=
1 4 −2 1 5 −1 0 8 −1
B =
8 4 −5
−3 −1 3
6 4 −3
C=
2 −3 3 3 −4 3 3 −3 2
• χA= (X+ 1)(X−3)2.
rg(A−3I3) = 2, donc dim(E3(A))6=m(2). On en déduit que An’est pas diagonalisable.
• χB = (X+ 1)(X−2)(X−3)est scindé à racines simples donc B est diagonalisable, semblable à diag(−1,2,3).
E−1(B) =Vect{(1,−1,1)}, E2(B) =Vect{(1,1,2)}, E3(B) =Vect{(1,0,1)}; on a donc une base de diagonalisation :((1,−1,1),(1,1,2),(1,0,1)).
• χC = (X+ 1)2(X−2).
rg(C+I3) = 1, donc dim(E−1(C)) = 2 =m(−1). De plus, dim(E2(C)) = 1 =m(2).
Le polynôme caractéristique est scindé, et les dimensions des espaces propres sont égales aux multi- plicités des valeurs propres correspondantes.
On en déduit que C est diagonalisable, semblable à diag(−1,−1,2).
De plus, E−1(C) = Vect{(1,1,0),(−1,0,1)} et E2(A) = Vect{(1,1,1)}, on a donc une base de diagonalisation :((1,1,0),(−1,0,1),(1,1,1)).
EXERCICE 2
SoientM =
4 −6 3
−1 0 −1
−8 10 −7
etT =
1 0 0
0 −2 1 0 0 −2
.
Montrer qu’il existe une matrice inversibleP,que l’on déterminera, telle que M =P T P−1
On notef l’endomorphisme canoniquement associé àM.
det(M−I3) =det(M + 2I3) = 0; on en déduit que 1 et −2sont valeurs propres deM.
Le polynôme caractéristique de M admet au moins deux racines et il est de degré 3, il est donc scindé dansR, etM est trigonalisable.
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De plus, la trace est un invariant de similitude, et tr(M) =−3, on en déduit quef admet une matrice de la forme
1 0 a
0 −2 b
0 0 −2
, dans une base(u, v, w), telle que u∈E1(f) etv∈E−2(f).
Ker(f−Id) =Vect((1,0,−1)); on prendu= (1,0,−1).
Ker(f+ 2Id) =Vect((0,1,2)); on prend v= (0,1,2).
Msemblable àTsi, et seulement s’il existew= (x, y, z)∈R3tel que{u, v, w}est libre etf(w) =v−2w.
4 −6 3
−1 0 −1
−8 10 −7
x y z
=
0 1 2
−2
x y z
⇔
6x−6y+ 3z= 0
−x+ 2y−z= 1
−8x+ 10y−5z= 2
⇔
x−2y+z=−1 2y−z= 2
w= (1,1,0)convient, car det(u, v, w)6= 0.
Finalement, M =P T P−1, avecP =
1 0 1 0 1 1
−1 2 0
.
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