St. Joseph/ICAM Toulouse CB3 - 2016-2017 - Correction
CB n
◦3 - SERIES NUMERIQUES - Sujet 1
1. Donner la nature des séries numériques suivantes :
a. X
n≥0
(√ n+ 2)3 (n+ 1)2(√
n+ 1); (√ n+ 2)3 (n+ 1)2(√
n+ 1) ∼
+∞
1 n
par comparaison à une série positive divergente, la série diverge.
b. X
n≥0
n2e−n; par croissances comparées, lim
n→+∞n4e−n= 0 donc n2e−n=o+∞
1 n2
par comparaison à une série positive convergente, la série converge.
c. X
n≥1
n
1−cos 1
n32
; n
1−cos 1
n32
+∞∼ 1 2n2
par comparaison à une série positive convergente, la série converge.
d. X
n≥1
1−2 sin n n2 ;
1−2 sin n n2
≤ 3 n2
par comparaison à une série convergente, la série converge absolument.
e. X
n≥1
ln 2 +1n
n ; ln 2 +1n
n ∼
+∞
ln2 n
par comparaison à une série positive divergente, la série diverge.
f. X
n≥1
1 n2
2n n
; on note un= 1 n2
2n n
; lim
n→+∞
un+1
un = 4
le critère de d’Alembert donne la série divergente.
g. X
n≥1
nn12 −1; nn12 −1 =en12lnn−1 ∼
+∞
lnn n2
par croissances comparées, lim
n→+∞
n32lnn
n2 = 0donc lnn
n2 =o+∞
1 n32
par comparaison à une série positive convergente, la série converge.
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2. Déterminer la somme des séries suivantes :
a. X
n≥0
chn 4n
X
n≥0
en
4n etX
n≥0
e−n
4n sont deux séries géométriques convergentes. On a :
+∞
X
n=0
chn 4n = 1
2
+∞
X
n=0
en 4n +
+∞
X
n=0
e−n 4n
!
= 1 2
1
1−e4 + 1 1− e−14
!
= 2
4−e + 2 4−e−1
b. X
n≥2
(−1)nln
n+ 1 n−1
∀n≥2,(−1)nln
n+ 1 n−1
= (−1)n(ln(n+ 1)−ln(n))−(−1)n−1(ln(n)−ln(n−1)) La série considérée est télescopique.
n→+∞lim (ln(n+ 1)−ln(n)) = lim
n→+∞ln
1 + 1 n
= 0.
On en déduit que
+∞
X
n=2
(−1)nln
n+ 1 n−1
=ln2
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CB n
◦3 - SERIES NUMERIQUES - sujet 2.
1. Donner la nature des séries numériques suivantes :
a. X
n≥1
(√
n+ 2) (n+ 1)
√n(n3−n+ 1)12
; (√
n+ 2) (n+ 1)
√n(n3−n+ 1)12
+∞∼
√1 n
par comparaison à une série positive divergente, la série diverge.
b. X
n≥1
lnn
n32 ; par croissances comparées, lim
n→+∞
n54lnn
n32 = 0 donc lnn
n32 =o+∞
1 n54
par comparaison à une série positive convergente, la série converge.
c. X
n≥1
2 sin(n2)−1 n3 ;
2 sin(n2)−1 n3
≤ 3 n3
par comparaison à une série convergente, la série converge absolument.
d. X
n≥1
√1 ncos
1− 1
n
; 1
√ncos
1− 1 n
+∞∼ cos 1
√n
par comparaison à une série positive divergente, la série diverge.
e. X
n≥1
1
nen12; 1 nen12 ∼
+∞
1 n
par comparaison à une série positive divergente, la série diverge.
f. X
n≥0
n2 n!
(2n)!; on noteun=n2 n!
(2n)!; lim
n→+∞
un+1
un = 0
le critère de d’Alembert donne la série convergente.
g. X
n≥1
1 2+ 1
n n
; 1
2 + 1 n
n +∞∼
e2 2n
par comparaison à une série (géométrique) positive convergente, la série converge.
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2. Déterminer la somme des séries suivantes :
a. X
n≥0
shn 3n
X
n≥0
en
3n etX
n≥0
e−n
3n sont deux séries géométriques convergentes. On a :
+∞
X
n=0
shn 3n = 1
2
+∞
X
n=0
en 3n −
+∞
X
n=0
e−n 3n
!
= 1 2
1
1−3e − 1 1−e−13
!
= 3 2
1
3−e− 1 3−e−1
b. X
n≥2
ln
1− 1 n2
∀n≥2,ln
1− 1 n2
= (ln(n−1)−ln(n))−(ln(n)−ln(n+ 1)) La série considérée est télescopique.
n→+∞lim (ln(n+ 1)−ln(n)) = lim
n→+∞ln
1 + 1 n
= 0.
On en déduit que
+∞
X
n=2
ln
1− 1 n2
=−ln2
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