St. Joseph/ICAM Toulouse
CB n
◦3 - Réduction - Sujet 1
EXERCICE 1Soit A=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
. CalculerAn, n∈N∗.
χA=det(XI3−A) = (X−4)(X−1)2 est un polynôme scindé surR et Sp(A) ={1,4}.
On trouveE1(A) =Ker(A−I3) =Vect
1
−1 0
,
0 1
−1
etE4(A) =Ker(A−4I3) =Vect
1 1 1
. Les dimensions des espaces propres sont égales aux multiplicités des valeurs propres correspondantes, donc A est diagonalisable.
On trouve : A=P DP−1, où P =
1 0 1
−1 1 1 0 −1 1
;D=
1 0 0 0 1 0 0 0 4
;P−1= 1 3
2 −1 −1 1 1 −2
1 1 1
.
Enfin,∀n∈N, An=P DnP−1= 1 3
2 + 4n −1 + 4n −1 + 4n
−1 + 4n 2 + 4n −1 + 4n
−1 + 4n −1 + 4n 2 + 4n
.
EXERCICE 2
SoientB =
2 1 1 1 2 1 0 0 3
etT =
1 0 0 0 3 1 0 0 3
.
Montrer qu’il existe une matrice inversibleP,que l’on déterminera, telle que B =P T P−1
χB =det(XI3−B) = (X−1)(X−3)2 est un polynôme scindé surRet Sp(B) ={1,3}.
On trouve E1(B) =Ker(B−I3) =Vect
1
−1 0
etE3(B) =Ker(B−3I3) =Vect
1 1 0
. dim(E3) 6= m(3) donc B n’est pas diagonalisable, mais χB est scindé, donc B est trigonalisable, semblable à T, matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de B au nombre de leur multiplicité.
On a : B=P T P−1 oùP =
1 1 a
−1 1 b 0 0 c
.
Sachant que BP = P T, on cherche donc a, b et c tels que :
−a+b+c= 1
a−b+c= 1 ce qui équivaut à a=b
c= 1 ;
la matrice P devant être inversible, a=b= 0etc= 1 convient.
Spé PT B CB3 - 2018-2019
St. Joseph/ICAM Toulouse
EXERCICE 3
SoitA∈M3(R) telle que Sp(A) ={−2,−1,1}.
Démontrer qu’il existean, bn etcn dansR que l’on déterminera, tels que An=anI3+bnA+cnA2, n∈N
En dimension 3,A possède trois valeurs propres distinctes, elle est donc diagonalisable. Ainsi, il existe une matrice inversibleP telle queA=P DP−1 où D=
−2 0 0 0 −1 0
0 0 1
.
Pour tout n∈N, on a : An=P DnP−1 donc An=anI3+bnA+cnA2 équivaut à P DnP−1 =P anI3+bnD+cnD2
P−1, soit encore :Dn=anI3+bnD+cnD2. Ainsi, (an, bn, cn) sont solutions de
1 −2 4 1 −1 1
1 1 1
(−2)n (−1)n 1
.
On trouve pour toutn∈N:
an= 1
3(1 + 3(−1)n−(−2)n) bn= 1
2(1−(−1)n) cn= 1
6(1 + 3(−1)n+ 2(−2)n)
Spé PT B CB3 - 2018-2019
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CB n
◦3 - Réduction - Sujet 2
EXERCICE 1
SoitA=
2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
. CalculerAn, n∈N∗.
χA=det(XI3−A) =X(X−3)2 est un polynôme scindé sur Ret Sp(A) ={0,3}.
On trouve E3(A) =Ker(A−3I3) =Vect
1
−1 0
,
0 1
−1
etE0(A) =Ker(A) =Vect
1 1 1
. Les dimensions des espaces propres sont égales aux multiplicités des valeurs propres correspondantes, donc A est diagonalisable.
On trouve : A=P DP−1, où P =
1 0 1
−1 1 1 0 −1 1
;D=
3 0 0 0 3 0 0 0 0
;P−1= 1 3
2 −1 −1 1 1 −2
1 1 1
.
Enfin,∀n∈N, An=P DnP−1=
2×3n−1 −3n−1 −3n−1
−3n−1 2×3n−1 −3n−1
−3n−1 −3n−1 2×3n−1
.
EXERCICE 2
SoientB =
2 −1 −1
−1 2 −1
0 0 1
etT =
3 0 0 0 1 1 0 0 1
.
Montrer qu’il existe une matrice inversibleP,que l’on déterminera, telle que B =P T P−1
χB =det(XI3−B) = (X−1)2(X−3)est un polynôme scindé surRet Sp(B) ={1,3}.
On trouve E1(B) =Ker(B−I3) =Vect
1 1 0
etE3(B) =Ker(B−3I3) =Vect
1
−1 0
. dim(E3) 6= m(3) donc B n’est pas diagonalisable, mais χB est scindé, donc B est trigonalisable, semblable à T, matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de B au nombre de leur multiplicité.
On a : B=P T P−1 oùP =
1 1 a
−1 1 b 0 0 c
.
Sachant que BP = P T, on cherche donc a, b et c tels que :
a−b−c= 1
−a+b−c= 1 ce qui équivaut à a=b
c=−1 ;
la matrice P devant être inversible, a=b= 0etc=−1 convient.
Spé PT B CB3 - 2018-2019
St. Joseph/ICAM Toulouse
EXERCICE 3
SoitA∈M3(R) telle que Sp(A) ={−1,1,2}.
Démontrer qu’il existean, bn etcn dansR que l’on déterminera, tels que An=anI3+bnA+cnA2, n∈N
En dimension 3,A possède trois valeurs propres distinctes, elle est donc diagonalisable. Ainsi, il existe une matrice inversibleP telle queA=P DP−1 où D=
−1 0 0 0 1 0 0 0 2
.
Pour tout n∈N, on a : An=P DnP−1 doncAn=anI3+bnA+cnA2 équivaut à P DnP−1 =P anI3+bnD+cnD2
P−1, soit encore :Dn=anI3+bnD+cnD2. Ainsi, (an, bn, cn) sont solutions de
1 −1 1
1 1 1
1 2 4
(−1)n 1 2n
.
On trouve pour toutn∈N:
an= 1
6(6 + 2(−1)n−2(−2)n) bn= 1
2(1−(−1)n) cn= 1
6(−3 + 2×2n+ (−1)n)
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