DM7 -Correction
Devoir maison 7 - Espaces vectoriels normés
Définition : Soit E un K-espace vectoriel. Une application N de E dans Rest une normesur E si elle vérifie :
• ∀x∈E, N(x)≥0 (Positivité)
• ∀x∈E, N(x) = 0⇒x= 0E (Séparation)
• ∀x∈E,∀λ∈K, N(λx) =|λ|N(x) (Homogénéité)
• ∀(x, y)∈E2, N(x+y)≤N(x) +N(y) (Inégalité triangulaire)
Un couple(E, N) oùN est une norme surE s’appelle unespace vectoriel normé.
On note souvent une normek · k.
1. Soient(E,(·|·))un espace préhilbertien réel.
Montrer que l’application k · k:x7→ kxk=p
(x|x)est une norme sur E.
On l’appelle norme euclidienne associéeà (·|·).
• Le produit scalaire est défini positif, donck·kvérifie les axiomes de positivité et de séparation.
• Par bilinéarité du produit scalaire, ∀(x, λ)∈E×Kon a : kλxk2= (λx|λx) =λ2kxk2 donc kλxk=|λ| kxk.
• Par bilinéarité du produit scalaire :∀(x, y)∈E2 :kx+yk2 =kxk2+ 2(x|y) +kyk2; l’inégalité de Cauchy Schwarz donne : kx+yk2 ≤ kxk2+ 2kxk kyk+kyk2 = (kxk+kyk)2 d’où l’inégalité triangulaire.
2. Soitn∈N∗. On notex= (x1, ..., xn)∈Kn.
Montrer que les applications suivantes sont des normes sur Kn :
a. k · k1:x7→
n
X
i=1
|xi| (appeléenorme 1) ;
• kxk1=
n
X
i=1
|xi| ≥0
• kxk1= 0⇒ ∀i∈[[1, n]],0≤ |xi| ≤ kxk1 = 0⇒ ∀i∈[[1, n]], xi = 0⇒x= 0
• ∀λ∈K,kλxk1=
n
X
i=1
|λxi|=|λ|
n
X
i=1
|xi|=|λ| kxk1
• d’après l’inégalité triangulaire du module : kx+yk1 =
n
X
i=1
|xi+yi| ≤
n
X
i=1
(|xi|+|yi|) =kxk1+kyk1
b. k · k2:x7→
v u u t
n
X
i=1
x2i (appeléenorme 2) ;
C’est la norme euclidienne (définie dans la question 1) !
c. k · k∞7→ max
i∈[[1,n]]|xi| (appelée norme infinie)
• kxk∞= max
i∈[[1,n]]|xi| ≥0
• kxk∞= 0⇒ ∀i∈[[1, n]],0≤ |xi| ≤ kxk∞= 0⇒ ∀i∈[[1, n]], xi= 0⇒x= 0
• Soitk0∈[[1, n]]tel que kxk∞=|xk0|. Alors :
∀λ∈K,∀i∈[[1, n]],|λxi|=|λ| |xi| ≤ |λ| |xk0|donc max
i∈[[1,n]]|λxi|=|λ| |xk0|=|λ|kxk∞
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• Soitk0∈[[1, n]]tel que kx+yk∞=|xk0 +yk0|. Alors : kx+yk∞=|xk0 +yk0| ≤ |xk0|+|yk0| ≤ kxk∞+kyk∞ 3. Montrer que∀x∈Kn,kxk∞≤ kxk1 ≤√
nkxk2 ≤nkxk∞.
• ∀k∈[[1, n]],|xk| ≤
n
X
i=1
|xi| ⇒ kxk∞≤ kxk1
• L’inégalité de Cauchy Schwarz pour le produit scalaire usuel sur Rndonne :
n
X
i=1
(|xi| ×1)≤
n
X
i=1
12
!12 n X
i=1
|xi|2
!12
d’où :kxk1 ≤√ nkxk2
•
n
X
i=1
x2i ≤nmax
i∈[[1,n]]|xi|2⇒ kxk2≤√ nkxk∞
En conclusion, on a bienkxk∞≤ kxk1≤√
nkxk2 ≤nkxk∞
4. Pour tout endomorphismef deRn, muni de sa structure euclidienne, on note :
k|fk|= sup
kxk=1
kf(x)k
a. Montrer que k| · k| définit une norme surL(Rn).
On note S={x∈Rn/kxk ≤1}.
• ∀f ∈ L(Rn),∀x∈S,kf(x)k ≥0 donc k|fk| ≥0;
• Sik|fk|= 0, alors ∀x∈S,kf(x)k= 0. Soity∈Rn\ {0}; y
kyk ∈S, donc f(y) =kyk ×f
y kyk
= 0; comme f ∈ L(Rn), f(0) = 0, on a ∀y ∈Rn, f(y) = 0, d’où f = 0.
• Soit(f, λ)∈ L(Rn)×R;∀x∈S,kλf(x)k=|λ|kf(x)k donc k|λ fk|=|λ| k|fk|;
• Soit(f, g)∈ L(Rn);∀x∈S,kf(x) +g(x)k ≤ kf(xk+kg(x)k ≤ k|fk|+k|gk|(car k · kest une norme). On a donc k|f +gk| ≤ k|fk|+k|gk|.
b. Soit ϕun endomorphisme orthogonal deRn. Calculer k|ϕk|.
Siϕ∈O(Rn), alors ∀x∈S,kϕ(x)k=kxk= 1. On a donc k|ϕk|= 1.
c. Soit sest un endomorphisme symétrique de Rn (c’est-à-dire un endomorphisme canonique- ment associé à une matrice symétrique). Montrer que k|sk|= max
λ∈Sp(s)|λ|.
Si s est un endomorphisme symétrique, alors il existe une base orthonormée de vecteurs propres (dans laquelle la matrice des est diagonale).
On note (e1, ..., en) cette base, etλ1, ..., λn les valeurs propres associées.
Soit x∈Rn; si x=
n
X
=1
xiei alorss(x) =
n
X
i=1
xiλiei donc (la famille (e1, ..., en) étant ortho-
normée : ks(x)k2 =
n
X
i=1
x2iλ2i ≤ max
1≤i≤n(λ2i)
n
X
i=1
x2i = max
1≤i≤n(λ2i)kxk2, donc (pourx∈S), k|sk| ≤ max
1≤i≤n|λi|
Ce majorant est atteint pour ei0(∈S)tel que λi0 = max
1≤i≤n|λi|, on en déduit que k|sk|= max
1≤i≤n|λi|.
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