DM7
Devoir maison 7 - Espaces vectoriels normés
Définition : Soit E un K-espace vectoriel. Une application N de E dans Rest une normesur E si elle vérifie :
• ∀x∈E, N(x)≥0 (Positivité)
• ∀x∈E, N(x) = 0⇒x= 0E (Séparation)
• ∀x∈E,∀λ∈K, N(λx) =|λ|N(x) (Homogénéité)
• ∀(x, y)∈E2, N(x+y)≤N(x) +N(y) (Inégalité triangulaire)
Un couple(E, N) oùN est une norme surE s’appelle unespace vectoriel normé.
On note souvent une normek · k.
1. Soient(E,(·|·))un espace préhilbertien réel.
Montrer que l’application k · k:x7→ kxk=p
(x|x)est une norme sur E.
On l’appelle norme euclidienne associéeà (·|·).
2. Soitn∈N∗. On notex= (x1, ..., xn)∈Kn.
Montrer que les applications suivantes sont des normes sur Kn :
a. k · k1:x7→
n
X
i=1
|xi| (appeléenorme 1) ;
b. k · k2:x7→
v u u t
n
X
i=1
x2i (appeléenorme 2) ;
c. k · k∞7→ max
i∈[[1,n]]|xi| (appelée norme infinie) 3. Montrer que∀x∈Kn,kxk∞≤ kxk1 ≤√
nkxk2 ≤nkxk∞.
4. Pour tout endomorphismef deRn, muni de sa structure euclidienne, on note :
k|fk|= sup
kxk=1
kf(x)k
a. Montrer que k| · k| définit une norme surL(Rn).
b. Soit ϕun endomorphisme orthogonal deRn. Calculer k|ϕk|.
c. Soit s est un endomorphisme symétrique de Rn (c’est-à-dire canoniquement associé à une matrice symétrique).
Montrer que k|sk|= max
λ∈Sp(s)|λ|.
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