Topologie, analyse fonctionnelle

Topologie, analyse fonctionnelle

I “Questions de cours”

1 Tout ouvert born´e de Rest-il r´eunion finie d’intervalles ouverts?

2 Montrer que l’ensemble des matrices orthogonales est un compact de Mn(R).

3Soit f :Rⁿ →Rune application continue v´erifiant limkxk→∞f(x) = +∞. Montrer que f est minor´ee et atteint sa borne inf´erieure.

4 Montrer qu’il existe un unique x∈[1;∞[ v´erifiant x−4 = 3 sin

1

e − ^arctan(x)_π . 5 Soit X un espace vectoriel norm´e, et soit E un sous-espace vectoriel de X de dimension finie. Montrer que E est ferm´e dans X.

6 Soit D⊂R un ensemble d´enombrable. Montrer que R\D est dense dans R. 7 Soit X un espace de Banach, et soit T ∈ L(X) un op´erateur compact. Montrer que Ker(T −Id) est de dimension finie.

8 Soit (K, d) un espace m´etrique compact. Montrer que l’ensemble des fonctions lipschitziennes est dense dans C(K,R).

9 Soit (f_n) une suite de fonctions de classe C¹ sur [0; 1], telle que f_n(0) = 0 et R1

0 |f_n⁰(t)|²dt ≤ 1 pour tout n ∈ N. Montrer que (fn) poss`ede une sous-suite uni- form´ement convergente.

10 Soit H un espace de Hilbert, et soit E un sous-espace vectoriel de H. Montrer que E est dense dansH si et seulement siE^⊥ ={0}.

II Exercices courts

Exercice 1SoitE un espace topologique s´epar´e et soit (x_n)_n∈N une suite d’´elements deE, convergente vers a∈E. Montrer que S ={x_n;∈N} ∪ {a} est compact.

Exercice 2 Soit (X, d) un espace m´etrique, et soit A une partie non vide de X.

Pour x ∈ X, on pose d(x, A) = inf{d(x, u); u ∈ A}. Montrer que l’application x7→d(x, A) est 1-lipschitzienne.

Exercice 3 Soit X un espace topologique s´epar´e.

1 Montrer que si K₁, K₂ sont deux compacts de X tels que K₁ ∩K₂ = ∅, alors il existe deux ouverts V₁, V₂ tels que K_i ⊂V_i etV₁∩V₂ =∅.

1

2 Montrer que si X est un espace m´etrique, le mˆeme r´esultat vaut pour des ferm´es K₁, K₂.

Exercice 4 Soient E, E⁰ deux espaces m´etriques, f une application continue de E dans E⁰, K une partie compacte de E. On suppose que la restriction f|K de f `a K est injective et que pour tout x ∈ K, il existe un voisinage ouvert V<sub>x</sub> de x dans E tel que la restriction f|Vx def `a Vx soit injective. Prouver que dans ces conditions il existe un voisinage de U deK dans E tel que la restriction de f `aU soit injective.

Exercice 5 Montrer que tout espace m´etrique compact est s´eparable.

Exercice 6 Soit X un espace topologique, et soit C(X) l’alg`ebre des fonctions con- tinues f : X → R. Pour f ∈ C(X), on pose Z(f) = {x ∈ X; f(x) = 0}. D’autre part, on dit qu’une fonction e ∈ C(X) est un idempotent de C(X) si e² = e. Mon- trer que l’application e 7→ Z(e) est une bijection de l’ensemble des idempotents de C(X) sur l’ensemble des parties ouvertes et ferm´ees de X. Donner une CNS pour la connexit´e de X portant sur les idempotents de C(X).

Exercice 7 (Suite d´ecroissante de compacts connexes)

D´efinition g´en´erale: Soit X un ensemble. Un pr´efiltre sur X est une famille E de parties de X ayant les propri´et´es suivantes: toute intersection finie d’´el´ements de E est non vide et pour tous A, B ∈ E, il existe C ∈ E, C ⊂A∩B.

1 On suppose queX est un espace topologique et que tous les ´el´ements du pr´efiltreE sont des compacts connexes. Montrer que leur intersection est un compact connexe.

2 Soit (K_n) une suite d´ecroissante de compacts connexes d’un espace topologiqueX.

Montrer que ∩_nK_n est connexe.

3 Le r´esultat de 2 est-il encore valable si les K_n sont seulement suppos´es ferm´es?

Exercice 8 (th´eor`emes de Dini)

Soit K un espace topologique compact, et soit (f_n) une suite de fonctions,f_n :K → R. On suppose que la suite (f_n) converge simplement vers une fonction f :K →R. Montrer que dans chacun des deux cas suivants, la convergence est uniforme.

a La suite (f_n) est croissante, et les fonctions f etf_n sont continues.

b K = [0; 1], les fonctions f_n sont croissantes, et la fonction f est continue.

Exercice 9 Montrer que GL_n(C) est un ouvert connexe et dense deM_n(C).

Exercice 10 Soient X un espace vectoriel norm´e, E un sous-espace vectoriel ferm´e deX, et x0 ∈X.

1 Montrer que si F est de dimension finie, alors il existe un point u ∈ E tel que kx₀−uk=d(x₀, E). Y a-t-il toujours unicit´e de ce pointu?

2 Que peut-on dire si dim(F) =∞?

Exercice 11 Dans chacun des cas suivants, montrer que l’espace vectoriel norm´e E est complet.

1 E est l’espace des fonctions lipschitzienne f : [0; 1] → R, et kfk = kfk∞ + sup_x6=y ^{|f(x)−f(y)|}_|x−y| .

2 E ={x= (xn)n∈N ∈R^N; P∞

0 |xn|<∞} et kxk=P∞ 0 |xn|.

3 E est l’espace des fonctions continues f : R⁺ → R admettant une limite finie en +∞, et kfk= sup_x∈R+|f(x)|.

Exercice 12 Soit `¹ := {x = (x_n)n∈N ∈ R^N; P∞

0 |x_n| < ∞}, muni de sa norme naturelle. On pose K = {x ∈ `<sup>1</sup>; ∀n ∈ N |x<sub>n</sub>| ≤ 2<sup>−n</sup>}. Montrer que K est un compact de `¹.

Exercice 13 Soit X un espace de Banach.

1 Montrer que si u ∈ L(X) v´erifie kuk<1, alors Id−u est inversible, avec de plus k(Id−u)⁻¹k ≤(1− kuk)⁻¹.

2 Montrer que l’ensemble des op´erateurs inversibles est un ouvert de L(X).

Exercice 14 Soient X, Y deux espaces de Banach, et soit T ∈ L(X, Y). Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

(1) Il existe une constantec > 0 telle quekT(x)k ≥ckxkpour tout x∈X.

(2) T est injectif et `a image ferm´ee.

Exercice 15 Soient X et Y deux espaces vectoriels norm´es, et soit (T_n) une suite dans L(X, Y). On fait les hypoth`eses suivantes.

(a) sup_nkT_nk<∞.

(b) Il existe une partie denseD⊂X telle que T_n(z)→0 pour tout z ∈D.

Montrer que T_n(x)→0 pour tout x∈X.

Exercice 16 (normes matricielles subordonn´ees)

1 Si k . k est une norme sur Rⁿ, on note ||| . ||| la norme subordonn´ee sur M_n(R).

D´eterminer |||.||| dans les cas suivants.

a kxk=Pn 1|x_i|.

b kxk= sup_i|x_i|.

c k.kest la norme euclidienne.

2 Pour A= (aij)∈Mn(C), on pose kAk²₂ = X

1≤i,j≤n

|aij|².Montrer que k.k2 est une norme sur M_n(C), et qu’elle est sous-multiplicative (kABk₂ ≤ kAk₂kBk₂,). Est-elle subordonn´ee `a une norme sur Cⁿ?

Exercice 17 (normes de formes lin´eaires)

1 Soit E l’espace vectoriel des polynˆomes d’une variable r´eelle x, muni de la norme k . k_∞ d´efinie par kPk_∞ = max_0≤x≤1|P(x)|. Pour a ∈ R, on note Φ_a : E → R la forme lin´eaire d´efinie par Φ_a(P) = P(a). D´eterminer pour quels a ∈ R la forme lin´eaire Φ_a est continue, et calculer kΦ_ak dans ce cas.

2 Soit E =C([0; 1],R), muni de la norme de la convergence uniforme. Soit (a_n)n≥1

une suite dense dans [0,1], par exempleQ∩[0,1] convenablement num´erot´e. Montrer que la forme lin´eaire φ d´efinie par

φ(f) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ 2ⁿ f(a_n) est continue sur E, avec kφk= 1.

3 Soit toujours E =C([0,1],R). Soitφ :E →Rla forme lin´eaire d´efinie par φ(f) =

Z ¹₂

0

f(t)dt− Z 1

1 2

f(t)dt.

Montrer que φ est continue, calculer sa norme et montrer que cette norme n’est pas atteinte, i.e. il n’existe aucune f ∈E telle que kfk= 1 et|φ(f)|=kφk.

Exercice 18 (applications du th´eor`eme du point fixe)

A Soit f : ]0;∞[→]0;∞[ une application de classe C¹ v´erifiant |f⁰(x)| ≤ ^f(x)_2x pour tout x >0.

1 Montrer que ∀x, y |Logf(x)−Logf(y)| ≤ ¹₂|Log(x)−Log(y)|.

2 Montrer que f poss`ede un unique point fixe.

B Soient λ, µ∈R v´erifiant k² :=λ² +µ² <1. Montrer que pour tout (a, b)∈R² le syst`eme d’´equations

x+λcosx+µsiny = a y−λsinx+µcosy = b poss`ede une unique solution (x, y)∈R².

CSoit φ: [0; 1]→[0; 1] une fonction continue non identiquement ´egale `a 1.

1 On pose k =R1

0 φ(t)dt. Montrer que k <1.

2 Montrer que pour tout α ∈ R, il existe une unique fonction f ∈ C¹([0; 1],R) v´erifiant f(0) =α et f⁰(x) = f(φ(x)) pour tout x∈[0; 1].

Exercice 19 Soit (E, d) un espace m´etrique complet, et soit f :E →E une appli- cation v´erifiant

∀x, y ∈E x6=y d(f(x), f(y))< d(x, y). 1 Peut-on affirmer que f poss`ede un point fixe?

2 Que peut-on dire si E est compact?

Exercice 20Montrer que toute fonction continuef : [0; 1]→[0; 1] poss`ede un point fixe, et de mˆeme pour toute fonction croissante f : [0; 1]→[0; 1].

Exercice 21 (lemme d’Osgood)

1 Soit X un espace m´etrique complet, et soit F une famille de fonctions continues sur X, `a valeurs r´eelles, ayant la propri´et´e suivante: pour tout x ∈ X il existe une constante M_x≥0 telle que

∀f ∈ F |f(x)| ≤M_x.

Montrer qu’il existe alors un ouvert non vide Ω ⊂ X et une constante M ≥ 0 telle que |f(x)| ≤M pour tout x∈Ω et tout f ∈ F.

2 Enoncer et d´´ emontrer le th´eor`eme de Banach-Steinhaus.

Exercice 22 Montrer queR[X] n’est complet pour aucune norme. On pourra poser F_n ={P ∈R[X]; deg(P)≤n}.

III Mini-probl` emes

Probl`eme 1 (espaces bien enchain´es)

AComment d´emontre-t-on que dans un espace vectoriel norm´e, tout ouvert connexe est connexe par arcs?

B Soit (X, d) un espace m´etrique. Pour ε > 0 donn´e, on appelle ε-chaine dans X toute suite finie (x₀, . . . , x_N)⊂X telle que d(x_i, x_i+1)< ε pour tout i < N. On dit queXestbien enchain´e si pour toutε >0, deux points quelconquesa, b∈Xpeuvent toujours ˆetre reli´es par une ε-chaine, i.e. on peut trouver une ε-chaine (x₀, . . . , x_N) avec x₀ =a et x_N =b.

1 Montrer que si l’espace m´etrique X est connexe, alors il est bien enchain´e.

2 Montrer que si (X, d) est compact et bien enchain´e, alors X est connexe.

3 Que peut-on dire si X n’est pas compact?

C Soit (E, d) un espace m´etrique, et soit ε > 0. On suppose que E est recouvert par des boules ouvertes B₁, . . . , B_K de rayon ε. Montrer que pour toute ε-chaine (x0, . . . , xN) ⊂ E, on peut trouver une ε-chaine (x⁰₀, . . . , x⁰_2K) de longueur 2K + 1 ayant les mˆemes extr´emit´es, avec x⁰_i ∈ {x0;. . .;xN} pour tout i.

D Soit (E, d) un espace m´etrique compact, et soit (x_n) une suite de points deE. On suppose qu’on a limn→∞d(x_n, x_n+1) = 0.

1Soient a, bdeux valeurs d’adh´erences de la suite (xn), et soit ε >0. Montrer qu’on peut trouver M ∈N^∗ tel que la propri´et´e suivante ait lieu: pour tout n∈N, on peut trouver uneε-chaine de la forme (a, x_n,0, . . . , x_n,M, b) avecx_n,i∈ {x_k;. . . k > n}pour tout i∈ {0, . . .;M}.

2 Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite (xn) est connexe.

E Soit E un espace m´etrique, et soit (Kn)n∈N une suite d´ecroissante de compacts connexes de E. Utiliser B et Cpour montrer que K =T

n∈NKn est connexe.

F D´emontrer directement les r´esultats de D2et E (!).

Probl`eme 2Soit (E, d) un espace m´etrique compact. On munit l’espaceC(E, E) de la topologie de la convergence uniforme et on consid`ere l’ensemble G des isom´etries deE dans E.

1a Soit a ∈ E et f ∈ G. Montrer que la suite (fⁿ(a))n∈N admet a pour valeur d’adh´erence (fⁿ=f ◦ · · · ◦f).

1b En d´eduire que toute isom´etrief :E →E est bijective. Ce r´esultat serait-il vrai avec un espace E non compact?

2 Montrer que G est un compact de C(E, E).

Probl`eme 3 (id´eaux de C(K))

Si K est un espace topologique, on note C(K) l’alg`ebre des fonctions continues f : K →R.

1 Soient f1, f2,· · · , fn ∈ C(K). On suppose que les fi n’ont pas de z´eros com- muns: ∩ⁿ_i=1f_i⁻¹(0) = ∅. Montrer qu’on peut trouver u₁, . . . , u_n ∈ C(K) telles que u1(x)f1(x) +u2(x)f2(x) +· · ·un(x)fn(x) = 1 pour tout x∈K. Que peut on dire de l’id´eal engendr´e par les fi dans C(K) ?

2 Soit I un id´eal de C(K).

aOn suppose K compact. Montrer qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour que I =C(K) est ∩f∈If⁻¹(0) =∅.

bMontrer par un contre-exemple que siK n’est pas compact, cette condition n’est plus suffisante .

3 On suppose K compact. Pour a∈K on pose I_a={f ∈ C(K); f(a) = 0}.

a Montrer que I_a est un id´eal maximal deC(K).

b Montrer que tout id´eal maximal deC(K) est du type I_a. Probl`eme 4 (Th´eor`eme de Korovkin; polynˆomes de Bernstein)

Soit E = C([0,1],R) muni de la norme k . k∞. On dit qu’une application lin´eaire u:E →E est unop´erateur positif si:

f ∈E, f ≥0⇒u(f)≥0.

1 Montrer que tout op´erateur positif est continu.

2Soitf ∈E, et soitε >0. Montrer qu’il existec >0 tel que pour tout (x, y)∈[0,1]²:

|f(x)−f(y)| ≤+c(y−x)².

3 Pour tout k ∈ N, on note ek l’´el´ement de E, ek(x) = x^k. Soit (un)n∈N ∈ L(E)^N une suite d’op´erateurs positifs. On suppose que (u_n(e_k))_n≥0 converge verse_k dans E pourk = 0,1,2. Montrer que pour tout f ∈E,(u_n(f))_n converge vers f dans E.

4 Pour toute fonction f : [0; 1] → R, on d´efinit des polynˆomes B_nf, n ∈ N par la formule

Bnf(x) =

n

X

k=0

C_n^kf k

n

x^k(1−x)^n−k.

D´eduire de ce qui pr´ec`ede que pour toute fonction continue f : [0; 1] → R, les polynˆomes B_nf convergent uniform´ement versf sur [0; 1].

Probl`eme 5 (mauvaise approximation)

SoitXun espace de Banach de dimension infinie, et soit (e_n)n∈Nune suite de vecteurs de X lin´eairement ind´ependants. On pose E₀ = {0} et E_n = V ect{x₁;. . .;n} pour n ≥. Enfin, soit (α_n)n∈N une suite d´ecroissante de nombres strictement positifs tendant vers 0.

1Soitk ∈N. Montrer que siz ∈X et siα≥d(z, Ek+1), alors on peut trouverλ∈R tel que d(z+λe_k+1, E_k) = α.

2 Montrer que pour tout n ∈ N, on peut trouver un vecteur x_n ∈ E_n+1 tel que d(x_n, E_k) =α_k pour tout k∈ {0;. . .;n} etkx_nk=α₀.

3 Soit A = {x_n; n ∈ N}. Montrer que pour tout ε > 0, il existe un sous-espace de dimension finie E ⊂ X tel que A ⊂ {x; d(x, E) < ε}. En d´eduire que A est une partie relativement compacte de X.

4 Montrer qu’il existe un vecteur x∈X tel que d(x, E_n) =α_n pour toutn ∈N. Probl`eme 6 Soit E = C([0 ; 1]), muni de la norme k . k∞. Pour f ∈ E, on d´efinit T f ∈E par

T f(x) = Z x

0

f(t)dt . 1 Montrer que T est lin´eaire continue, et calculer kTk.

2 Montrer que ∀n ∈ N ∀x ∈ [0 ; 1] |Tⁿf(x)| ≤ ^x_n!ⁿkfk∞. En d´eduire la valeur de kTⁿk, n∈N.

3 Montrer que pour tout λ 6= 0, λId−T est inversible et k(λId−T)⁻¹k ≤ _|λ|¹ e^1/|λ|. Que peut-on dire pour λ= 0?

Probl`eme 7 (formule du rayon spectral)

1 Soit (α_n)n∈N une suite de r´eels positifs telle que α_m+n ≤ α_mα_n pour tous entiers m et n. Montrer que la suite (α^1/nn ) converge vers inf_n>0α^1/nn .

2a D´eduire de 1 que pour toute matriceA ∈M_d(C) et pour toute norme faisant de

M_d(C) une alg`ebre norm´ee (i.e. kABk ≤ kAk kBk), la suite (kAⁿk^1/n) est conver- gente.

2bMontrer que sik.kest une norme quelconque surM_d(C), alors la suite (kAⁿk^1/n) est convergente, et sa limite est ind´ependante de k.k. On note cette limiteρ(A).

3a Soit A ∈ M_d(C). Montrer que si λ ∈ C est une valeur propre de A, alors

|λ| ≤ρ(A).

3b SoitA∈Md(C). On suppose que toutes les valeurs propres de A sont de module strictement inf´erieur `a 1. En utilisant la d´ecomposition D+N, montrer que Aⁿ→0 quand n → ∞. En d´eduire que ρ(A)<1.

3c On noteσ(A) l’ensemble des valeurs propres d’une matriceA. Montrer que pour toute matrice A∈M_d(C), on a

ρ(A) = sup{|λ|; λ∈σ(A)}. Probl`eme 8 (Th´eor`eme de Stampacchia)

Dans tout l’exercice, H est un espace de Hilbert r´eel, et a : H×H → R est une forme bilin´eaire. On suppose que a est continue, et qu’il existe une constante c >0 telle que

∀x∈H a(x, x)≥ckxk².

On fixe ´egalement une forme lin´eaire continue Φ :H →R, et un convexe ferm´e non videK ⊂H. Le but de l’exercice est d’´etablir le r´esultat suivant: il existe un unique u∈K tel que

(1) ∀h∈K a(u, h−u)≥Φ(h−u).

A Pour tout x ∈ H, on note p_K(x) le projet´e de x sur K, i.e. l’unique point de K v´erifiant kx−p_K(x)k=d(x, K).

1 Montrer que p_K(x) est l’unique point p∈K v´erifiant ∀h∈K hx−p, h−pi ≤0.

2 Montrer que l’applicationpK :H →K est 1-lipschitzienne.

B Soit A:H →H un op´erateur lin´eaire continu v´erifiant

∀x∈H hA(x), xi ≥ckxk². 1 Montrer qu’on peut trouverε >0 tel que kId−εAk<1.

2 Montrer que pour toutf ∈H, il existe un unique u∈K tel que p_K(ε(f −A(u)) +u) = u.

CD´emontrer le r´esultat souhait´e. On pourra appliquerB`a un op´erateurA conven- able et `a un vecteurf ∈H “repr´esentant” la forme lin´eaire Φ.

D Que devient (1) lorsqueK est un sous-espace vectoriel (ferm´e) deH? Donner une d´emonstration directe du r´esultat dans ce cas, en supposant que la forme bilin´eaire a estsym´etrique.

Probl`eme 9 (th´eor`eme du point fixe de Brouwer)

On note B la boule unit´e ouverte euclidienne de Rⁿ. Le but de l’exercice est de d´emontrer le th´eor`eme de Brouwer : toute application continue f : B → B poss`ede un point fixe.

A1 Soit f : B → B continue. En utilisant le th´eor`eme de Stone-Weierestrass, montrer que pour tout ε >, il existe une fonction polynomiale Q_ε : Rⁿ → Rⁿ telle que Q_ε(B)⊂B et

sup

x∈B

kf(x)−Q_ε(x)k ≤ε .

A2 En d´eduire que le th´eor`eme de Brouwer est ´equivalent `a l’´enonc´e suivant: toute application f ∈ C^∞(Rⁿ,Rⁿ) telle que f(B)⊂B poss`ede un point fixe dans B. B1 Soitg :Rⁿ →Rⁿ une application de classe C¹. On suppose qu’on ag(B)⊂B et g(ξ) = ξ pour tout ξ∈∂B. Pourt∈[0; 1], on d´efinit v_t:Rⁿ→Rⁿ par

v_t(x) = (1−t)x+tg(x).

a Montrer qu’on peut trouver ε₀ > 0 tel que pour tout t ≤ ε₀, l’application v_t est injective sur B et v´erifie J_vt(x) > 0 sur B, o`u la lettre J d´esigne le d´eterminant jacobien.

b Montrer qu’on a v_t(B) ⊂ B pour tout t ∈ [0; 1[, et que si t ≤ ε₀, alors v_t est un C¹-diff´eomorphisme de B sur B. On pourra v´erifier que v_t(B) est ouvert et ferm´e dans B.

cSoitm la mesure de Lebesgue surRⁿ. Montrer que la fonctiont7→R

BJvt(x)dm(x) est polynomiale sur R.

d D´eduire des questions pr´ec´edentes que pour tout t∈[0; 1], on a Z

B

J_vt(x)dm(x) =m(B).

B2 Montrer que si g :Rⁿ → Rⁿ est de classe C¹ et si V ⊂ Rⁿ est un ouvert tel que g(V)⊂∂B, alors J_g(x)≡0 dans V.

B3 Montrer qu’il n’existe pas d’application g : Rⁿ → Rⁿ de classe C¹ v´erifiant g(B)⊂∂B et g(ξ) = ξ pour toutξ ∈∂B.

B Soit f :Rⁿ→Rⁿ de classe C¹ et v´erifiant kf(x)k<1 pour tout x∈Rⁿ.

1 On suppose que f ne poss`ede pas de point fixe. Pour x ∈ Rⁿ, on note g(x) le point d’intersection de la demi-droite ∆_x = [f(x);x) avec∂B. Justifier la d´efinition, et montrer que l’applicationg est de classe C¹ surRⁿ.

2 Montrer que f poss`ede un point fixe.

C Conclure.

Probl`eme 10 (th´eor`eme du point fixe de Browder)

Dans tout le probl`eme,K est une partie convexe ferm´ee born´ee non vide d’un espace de Hilbert r´eel H, et T : K → K est une application 1-lipschitzienne, c’est-`a-dire v´erifiant

∀x, y ∈K kT(x)−T(y)k ≤d(x, y). Le but du probl`eme est de montrer que T poss`ede un point fixe.

A Soit a∈K. Pourn∈N^∗, on d´efinit T_n :K →E par T_n(x) = 1− ¹_n

T(x) + _n¹a.

1 Montrer que T_n poss`ede un unique point fixe x_n∈K.

2 Quelle est la limite de la suite (x_n−T(x_n))?

3 On suppose K compact. D´emontrer le r´esultat souhait´e.

B Dans cette partie, ϕ:H →H une application continue v´erifiant

∀x, y ∈H hϕ(y)−ϕ(x), y−xi ≥0.

1 Soit (x_n) une suite de points deH. On suppose que (x_n) converge faiblement vers un point x∈H, et que (ϕ(x_n)) converge en norme vers un pointl ∈H.

a Montrer que hϕ(x_n), x_ni tend vers hl, xi.

b En d´eduire qu’on a hl −ϕ(y), x−yi ≥ 0 pour tout y ∈ H, et par cons´equent hl−ϕ(x±εh),±εhi ≥0 pour tout h∈H et toutε >0.

c Montrer que l=ϕ(x).

3 D´eduire de 1 que ϕ(K) est une partie ferm´ee de H.

C On rappelle que pour tout x ∈ H, il existe un unique point p(x) ∈ K tel que

||x−p(x)||=d(x, K). De plus, p(x) est caract´eris´e par la propri´et´e suivante :

∀z ∈K hz−p(x), x−p(x)i ≤0.

1a Montrer que pour x, y ∈ H, on a ||p(x)−p(y)||² ≤ hp(x)−p(y), x−y)i. En d´eduire que l’application p:H →K est 1-lipschitzienne.

1b Montrer que T ◦pest ´egalement 1-lipschitzienne.

2En utilisantB, en d´eduire que l’ensemble{x−T(x); x∈K}est une partie ferm´ee deH.

D Conclure.

Probl`eme 11 (bases de Schauder)

Dans tout l’exercice, X est un espace de Banach sur K = R ou C. On dit qu’une suite (e_i)i∈N ⊂ X est une base de Schauder pour X si la propri´et´e suivante est v´erifi´ee : pour toutx∈X, il existe une unique suite (x_i)∈K^N telle que

x=

∞

X

i=0

xiei, o`u la s´erie converge dans X.

A Dans cette partie, on prend X =`<sup>p</sup>(N), 1 ≤ p≤ ∞. Pour i ∈N, soit ei ∈ `^p(N) d´efinie par e_i = (0, . . . ,1,0,0, . . .), o`u le “1” apparait en position i.

1 Montrer que si p <∞, alors la suite(e_i)_i∈N est une base de Schauder de X.

2 Que peut on dire si p=∞?

B On revient au cas g´en´eral. On suppose que X poss`ede une base de Schauder (ei)i∈N. Pourn ∈N, on d´efinit une application lin´eaire πn:X →X par

π_n

∞

X

i=0

x_ie_i

!

=

n

X

i=0

x_ie_i. 1 Montrer que lesπ_n sont des projections.

2 Pour x∈X, on pose |||x|||= sup_n∈Nkπ_n(x)k.

a Montrer que |||.||| est une norme sur X.

b Soit (x_k)k∈N ⊂ X une suite de Cauchy pour la norme ||| . |||. Montrer que pour tout n∈N, la suite (π_n(x_k))k∈N converge (au sens de la norme originelle de X) vers un pointz_n ∈X, et que la suite (z_n) converge vers un point x∈X. Montrer ensuite que si n ≤m, alors π_n(z_m) = z_n, puis que π_n(x) = z_n pour tout n∈N.

cMontrer que l’espace (X,|||.|||) est complet. En d´eduire que|||.|||est ´equivalente

`

a la norme originelle de X.

3 Conclure que toutes les projectionsπ_n sont continues, et qu’on a sup

n

kπ_nk<∞.

C On suppose que X poss`ede une base de Schauder. Montrer que si Z est un espace de Banach, alors tout op´erateur compact T : Z → X est limite d’une suite d’op´erateurs de rangs finis.

D On suppose qu’il existe une suite de projections continue π_n : X → X v´erifiant les propri´et´es suivantes:

(i) π_n est de rang n+ 1 pour tout n∈N; (ii) π_n+1π_n =π_n =π_nπ_n+1;

(iii) π_n(x)→xpour tout x∈X.

1 Comment se traduit (ii) en termes d’images et de noyaux? Montrer que Im(π_n)∩ ker(πn−1) est de dimension 1 pour tout n≥1.

3 Soit e0 un vecteur non nul de Im(π0), et pour tout n ≥ 1, soit en ∈ Im(πn)∩ ker(π_n−1). Montrer que (e_n)_n∈N est une base de Schauder de X.

E Dans cette question, X est l’espace C([0; 1],R) des fonctions continues sur [0; 1], muni de sa norme naturelle.

1Soitt0, . . . , tn ∈[0; 1[ deux `a deux distincts, avect0 = 0. Pourf ∈X, on noteπ(f) l’unique fonction continue interpolantf aux pointst0, . . . , tn,1 et affine par morceaux avec “noeuds” 0 =t₀, . . . , t_n,1. Montrer que π :X →X est une projection lin´eaire continue et calculer kπk.

2 Montrer que X poss`ede une base de Schauder.

F On suppose que X poss`ede une base de Schauder (e<sub>n</sub>)n∈N. Pour n ∈ N, on note e<sup>∗</sup><sub>n</sub> ∈X<sup>∗</sup> la n-i`eme “forme lin´eaire coordonn´ee”, d´efinie par

* e^∗_n,

∞

X

i=0

x_ie_i +

=x_n. 0 Montrer que lese^∗_n sont continues.

1 Soit (f_n)n∈N une suite d’´el´ements deX v´erifiant P∞

n=0ke^∗_nk kf_n−e_nk<1. a Montrer que la formule

R(x) =

∞

X

n=0

he^∗_n, xi(f_n−e_n)

d´efinit un op´erateur lin´eaire continuR:X →X, et que Id+R est inversible.

b Montrer que (f_n) est une base de Schauder de X 2 Dans cette question, on prendX =C([0; 1],R).

aMontrer queX poss`ede une base de Schauder form´ee de fonctions polynomiales.

b On pose g_n(t) =tⁿ. La suite (g_n)n∈N est-elle une base de Schauder de X?

Probl`eme 12 (formule de Poisson op´eratorielle; in´egalit´e de von Neumann) A (formule de Poisson)

1 PourS ∈ L(H) v´erifiant kSk <1, on pose P_S =

∞

X

1

Sⁿ+Id+

∞

X

1

S^∗n,

o`uS^∗ est l’adjoint de l’op´erateurS. Justifier la d´efinition de PS en montrant que les deux s´eries convergent en norme dans L(H).

2 Soit T ∈ L(H) v´erifiant kTk<1.

a Montrer que l’applicationθ 7→P_e^−iθ_T est continue de Rdans L(H).

b Pour n∈N, calculer l’int´egrale (vectorielle) R2π

0 e^inθP_e^−iθ_T dθ.

c En d´eduire que pour tout polynˆome Q∈C[X], on a la “formule de Poisson”

Q(T) = Z 2π

0

Q(e^iθ)P_e^−iθ_T dθ 2π · B (in´egalit´e de von Neumann)

1 Montrer que siS ∈ L(H) v´erifie kSk<1, alors on peut ´ecrire

P_S = (Id−S^∗)⁻¹−Id+ (Id−S)⁻¹ = (Id−S^∗)⁻¹(Id−S^∗S) (Id−S)⁻¹. En d´eduire que P_S est un op´erateur auto-adjoint et positif, c’est-`a-dire v´erifiant hP_Sx, xi ≥0 pour tout x∈H.

2 Soit [a;b] un intervalle de R, et soit u : [a;b] → L(H) continue. On suppose que pour tout t ∈ [a;b], l’op´erateur u(t) est auto-adjoint positif. Soit ´egalement ϕ: [a;b]→Ccontinue.

a On note A l’op´erateur Rb

a ϕ(t)u(t)dt. Montrer que si x, y ∈H, alors

|hAx, yi| ≤ kϕk_∞ Z b

a

hu(t)x, xidt

^1/2Z b

a

hu(t)y, yidt ^1/2

. b D´eduire de a qu’on a

Z b

a

ϕ(t)u(t)dt

≤ kϕk_∞

Z b

a

u(t)dt

.

3 PourQ∈C[X], on pose kQk∞= sup{|Q(ζ)|; |ζ|= 1}. Montrer que siT ∈ L(H) v´erifie kTk<1, alors

kQ(T)k ≤ kQk_∞ pour tout polynˆome Q∈C[X].

4Montrer que l’in´egalit´e pr´ec´edente est encore valable si on suppose seulementkTk ≤ 1. Cette in´egalit´e s’appelle l’in´egalit´e de von Neumann.

Probl`eme 13 (th´eor`eme ergodique de von Neumann)

Dans tout l’exercice,H est un espace de Hilbert r´eel, etT :H →H une application lin´eaire continue v´erifiant kTk ≤1. Pour n∈N^∗, on pose

Sn= 1

n(Id+T +· · ·+Tⁿ⁻¹). 1a Montrer que pour toutx∈H, on a

||T^∗(x)−x||² ≤2 ||x||²− hx, T(x)i .

1b En utilisant a, montrer qu’on a Ker(Id−T) = Ker(Id−T^∗). En d´eduire une d´ecomposition deH `a l’aide de Ker(Id−T) et de Im(Id−T).

2 Calculer S_n(x) pour x ∈ Ker(Id − T), et d´eterminer lim_n→∞S_n(x) pour x ∈ Im(Id−T).

3 Montrer que pour tout x ∈ H, la suite (S_n(x)) converge vers π(x), o`u π est la projection orthogonale sur Ker(Id−T).

Probl`eme 14 (projections)

Dans tout l’exercice,Zest un espace vectoriel norm´e surR. On dit qu’une application lin´eaire p : Z → Z est une projection de Z si elle v´erifie p◦p = p. Si E est un sous-espace vectoriel de Z, on appelle projection de Z sur E toute projection p deZ v´erifiant Im(p) = E. Si p est une projection non continue, on pose ||p||=∞.

A Montrer que pour tout sous-espace vectoriel E ⊂Z, il existe une projection deZ surE.

B1 Montrer que si p est une projection de Z, alors Im(p) = Ker(Id−p) et Z = Ker(p)⊕Im(p).

B2 Soit p une projection de Z.

a Montrer que sip est continue, alors Ker(p) et Im(p) sont ferm´es dans Z.

b On suppose que Z est un espace de Banach. Montrer que p est continue si et seulement si Ker(p) et Im(p) sont ferm´es dans Z.

B3 Soit p:Z →Z une projection continue, avec p6= 0.

a Montrer qu’on a ||p|| ≥1.

b On suppose que Z est un espace de Hilbert. Montrer qu’on a ||p|| = 1 si et seulement si p est une projection orthogonale.

CSoit E un sous-espace vectoriel ferm´e de Z.

1 On suppose queE est de codimension finie. Montrer que toutes les projections de Z sur E sont continues.

2 On suppose que E est de dimension finie. Soit (e₁, . . . , e_n) une base deE.

aMontrer qu’on peut trouver des formes lin´eaires continuesx^∗₁, . . . , x^∗_n∈Z^∗ v´erifiant hx^∗_i, e_ii= 1 pour tout i ethx^∗_i, e_ji= 0 si i6=j.

b Montrer qu’il existe une projection continue de Z sur E, de norme inf´erieure ou

´

egale `a Pn

1 kx^∗_ik ke_ik.

D Dans cette partie, E est un sous-espace ferm´e de Z. On pose π(E, Z) = inf{||p||; p projection deZ sur E}. 1 Combien vaut π(E, Z) si Z est un espace de Hilbert?

2 Dans cette question, on prend Z = (Rⁿ,|| . ||∞), et E est l’hyperplan d’´equation x₁+· · ·+x_n = 0.

a Soit T ∈ L(Z), et soit M_T = (a_ij) la matrice de T dans la base canonique de Rⁿ. Montrer qu’on a

||T||= max

1≤i≤n n

X

j=1

|aij|.

b Soit α = (α₁, . . . , α_n) ∈ Rⁿ v´erifiant Pn

1α_i = 1. On note p_α la projection de Rⁿ surE dans la direction de la droite Rα.

(i) Pour t ∈ R, on pose ϕ(t) = |1−t|+ (n −1)|t|. Calculer ||p_α|| en fonction de ϕ(α₁), . . . , ϕ(α_n).

(ii) En d´eduire qu’on a ||p_α|| ≥ 2(1− ¹_n). On pourra par exemple observer que la fonction ϕest convexe.

c Calculer π(E, Z).

3Dans cette question,Z est quelconque, et on suppose queE est de dimension finie.

On pose n= dim(E).

aSoitf une base deE. On d´efinit Φ :Eⁿ →Rpar Φ(x1, . . . , xn) =|det(x1, . . . , xn)|, o`u le d´eterminant est pris dans la basef. Montrer qu’il existe (e₁, . . . , e_n) v´erifiant

∀(x₁, . . . x_n)∈B_Eⁿ Φ(e₁, . . . , e_n)≥Φ(x₁, . . . , x_n), o`u on a not´eB_E la boule unit´e de E.

b Montrer que (e₁, . . . , e_n) est une base de E, et qu’on a ||e_i|| = 1 pour tout i ∈ {1;. . .;n}.

c On note (e^∗₁, . . . , e^∗_n) la base duale de (e₁, . . . , e_n) dansE^∗. (i) Pour x∈E eti∈ {1;. . .;n}, exprimer|he^∗_i, xi| `a l’aide de Φ.

(ii) Montrer que les formes lin´eaires e^∗_i sont toutes de norme 1.

d Montrer qu’on a π(E, Z)≤dim(E).

E On note `<sup>∞</sup> l’ensemble des suites born´ees de nombres r´eels. On consid`erera les

´

el´ements de `<sup>∞</sup> comme des fonctions x :N →R. On munit `^∞ de la normek . k∞, et on note c₀ le sous-espace (ferm´e) de `<sup>∞</sup> constitu´e par les suites tendant vers 0 `a l’infini. Le but de cette partie est de d´emontrer le r´esultat suivant: il n’existe pas de projection continue de `^∞ sur c₀.

1 Soit (f_i)i∈I une famille non d´enombrable d’´el´ements de `^∞, avec f_i 6= 0 pour tout i∈I.

aMontrer qu’il existen ∈Netε >0 tels que l’ensemble {i∈I; |fi(n)| ≥ε} est non d´enombrable.

b En d´eduire que l’ensemble P

i∈Jf_i; J ⊂I , J fini n’est pas born´e dans `^∞. 2aMontrer qu’il existe une famille non d´enombrable (Ai)i∈I de parties deNv´erifiant les propri´et´es suivantes:

(1) tous les ensembles Ai sont infinis;

(2) A_i∩A_j est fini si i6=j.

Pour x ∈ R, on pourra consid´erer un ensemble du type A_x = {r_n(x); n ∈ N}, o`u (r_n(x)) est une suite strictement croissante de rationnels tendant vers x.

2b Montrer que pour tout ensemble fini J ⊂I, on a 1^S_i∈JAi −X

i∈J

1_Ai ∈c₀.

Ici, bien sˆur, on note1_A∈`^∞ la fonction indicatrice d’un ensemble A⊂N.

3 Soit p une projection de l^∞ sur c0, et soit q = Id−p. En utilisant 2b et 1 avec fi =q(1Ai), montrer que q n’est pas continue. Conclure.

Probl`eme 15 Si K est un espace m´etrique compact, on note C(K) l’ensemble des fonctions continues surK. Le but de l’exercice est d’´etablir le r´esultat suivant: pour un espace de Banach X, les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:

(1) X est s´eparable;

(2) X est lin´eairement isom´etrique `a un sous-espace ferm´e de C(K), pour un certain espace m´etrique compact K.

A Soit (K, d) un espace m´etrique compact.

1 Montrer que K est s´eparable.

2 Soit D ={a_n; n ∈N} un ensemble d´enombrable dense dans K. Pour n ∈ N, on d´efinit f_n :K → R par f_n(x) = d(a_n, x). Montrer que si x, y ∈ K etx 6=y, alors il existe un entier n tel que f_n(x)6=f_n(y).

3 Montrer que si F = {f_n; n ∈ N} est une partie d´enombrable de C(K), alors la sous-alg`ebre deC(K) engendr´ee par F est s´eparable.

4 Montrer que l’espace de BanachC(K) est s´eparable.

B Soit X un espace de Banach s´eparable. On note K la boule unit´e de X^∗.

1 Soit D = {a_i; i ∈ N} un ensemble d´enombrable et dense dans la boule unit´e de X. Pourx^∗, y^∗ ∈K, on pose

d(x^∗, y^∗) =

∞

X

0

2⁻ⁱ|hx^∗, aii − hy^∗, aii|. a Montrer que d est une distance sur K.

bMontrer qu’une suite (x^∗_n)⊂K converge dansK pour la distancedsi et seulement sihx^∗_n, xiconverge pour toutx∈X, et qu’il revient encore au mˆeme de dire que (x^∗_n) converge en tout point d’une partie dense de X.

2 Pour x ∈ X, on d´efinit une fonction f_x : K → R par f_x(x^∗) = hx^∗, xi. Montrer que f_x est une fonction continue born´ee sur (K, d), et qu’on a ||f_x||∞=||x||.

CConclure.

Probl`eme 16 (adjoint Banachique)

Dans tout l’exercice, X et Y sont des espaces de Banach, et T : X → Y est une application lin´eaire continue.

A1 Montrer que si y^∗ ∈Y^∗, on d´efinit une forme lin´eaire continueT^∗(y^∗) sur X en posant

hT^∗(y^∗), xi=hy^∗, T(x)i.

A2 Montrer que l’applicationT^∗ :Y^∗ →X^∗ est lin´eaire continue. On dit queT^∗ est l’adjoint de l’op´erateurT.

A3 Montrer qu’on a kT^∗k=kTk.

A4 Dans le cas o`uX etY sont des espaces de Hilbert, quel rapport y a-t-il entreT^∗ et l’adjoint hilbertien de T?

B Montrer que T^∗ est injectif si et seulement si Im(T) est dense dans Y.

CDans cette partie, on veut montrer l’´equivalence des trois propri´et´es suivantes:

(1) T est surjectif;

(2) il existe une constantec > 0 telle que∀y^∗ ∈Y^∗ ||T^∗(y^∗)|| ≥c||y^∗||;

(3) T^∗ est injectif et `a image ferm´ee.

1 Montrer que (1) entraˆıne (2) `a l’aide du th´eor`eme de l’image ouverte.

2 Montrer que (2) et (3) sont ´equivalentes.

3a On suppose que (2) est v´erifi´ee. En notant B la boule unit´e de X, montrer que C = T(B) contient la boule B(0, c). On pourra raisonner par l’absurde en remarquant que C est un convexe ferm´e de Y et en utilisant la forme g´eom´etrique du th´eor`eme de Hahn-Banach.

3b Soit toujours B la boule unit´e de X, et soit α > 0. On suppose que T(αB) contient la boule B(0,1). Montrer que pour tout y ∈ Y v´erifiant kyk ≤ 1, on peut construire une suite (x_n)⊂X telle que kx_nk ≤α et

y−T

n

X

i=0

2⁻ⁱx_i

!

≤2⁻ⁿ⁻¹ pour tout n∈N.

3c Montrer que (2) entraˆıne (1).

D On pose Y₁ = Im(T), et on note T₁ l’op´erateur T consid´er´e comme application lin´eaire continue deX dans Y₁. Montrer qu’on a Im(T₁^∗) = Im(T^∗).

EMontrer que Im(T) est ferm´e dans Y si et seulement si Im(T^∗) est ferm´e dans X^∗. Probl`eme 17 (quotients)

Dans tout l’exercice, X est un espace vectoriel norm´e, et F est un sous-espace vec- toriel ferm´e de X. Pour x ∈ X, on note [x] la classe de x dans l’espace vectoriel quotient X/F.

1 Montrer que si x ∈ X, alors dist (x, F) = inf{kx−fk; f ∈ F} ne d´epend que de [x].

2 Montrer qu’on d´efinit une norme sur X/F en posant k[x]k = dist (x, F). Cette norme s’appelle la norme quotient sur X/F.

3 On suppose queX est un espace de Banach. Montrer queX/F muni de la norme quotient est un espace de Banach. On pourra montrer que toute s´erie absolument convergente `a termes dansX/F est convergente.

4 Montrer que le dual de X/F s’identifie isom´etriquement `a F^⊥ :=

x^∗ ∈X^∗; x^∗_|F = 0 .

5 Soit E un sous-espace vectoriel de X. Montrer que le dual de E s’identifie isom´etriquement `aX^∗/E^⊥.

Probl`eme 18 Dans tout le probl`eme, (K, d) est un espace m´etrique compact. On note C(K) l’espace des fonctions continues surK, `a valeurs complexes.

ADans cette partie,N est un ferm´e deK. On veut ´etablir leth´eor`eme d’extension de Tietze: si f : N → C est une fonction continue, alors il existe une fonction f˜:K →C telle que f˜|N =f et kfk˜ ∞ =kfk∞.

1 Soit T :C(K)→ C(N) l’application lin´eaire d´efinie par T(u) =u|N. Montrer que T est continue et calculerkTk.

2 Montrer que A= Im(T) est dense dans C(N).

3a Montrer que pour toute fonction g ∈ Im(T), on peut trouver une fonction ˜g ∈ C(K) telle que T(˜g) = g et k˜gk∞ = kgk∞. On pourra commencer par v´erifier que pour tout r´eel M ≥ 0, on peut trouver une fonction continue θM :C →C telle que θM(z) = z si |z| ≤M et|θM(z)| ≤M pour toutz ∈C.

3bMontrer que Im(T) est complet pour la normek.k_∞. On pourra v´erifier, `a l’aide de a, que toute s´erie absolument convergente `a termes dans Im(T) converge dans Im(T).

4 D´emontrer le r´esultat souhait´e.

B On dit qu’un point x ∈ K est un point isol´e de K si le singleton {x} est un ouvert de K. De mani`ere ´equivalente, x est isol´e si on peut trouver r >0 tel que la boule ouverte B(x, r) ne contienne pas d’autre point que x. Dans toute la suite du probl`eme, on notera Isol(K) l’ensemble des points isol´es de K.

1 Dans cette question, on prend K = [1 ; 2]∪₁

n; n∈N^∗ ∪ {0}. Quels sont les points isol´es de K?

2 Montrer que si K est d´enombrable, alors K poss`ede au moins un point isol´e. On pourra penser au th´eor`eme de Baire.

3 Que peut-on dire deK si tous les points de K sont isol´es?

4 Montrer que Isol(K) est (au plus) d´enombrable.

5 Montrer qu’un point x ∈ K est isol´e si et seulement si x poss`ede un voisinage N de cardinalit´e finie.

D Dans cette partie, on fixe une fonction φ ∈ C(K), et on consid`ere l’op´erateur T_φ : C(K) → C(K) d´efini par T_φ(f) = φf. On veut ´etablir le r´esultat suivant : l’op´erateurT_φest compact si et seulement si la fonction φ est nulle en tout point non isol´e de K.

1 Justifier la continuit´e de T_φ, et calculer kT_φk.

2 Dans cette question, on suppose que l’op´erateurT_φ est compact.

a Soit x₀ ∈K tel que φ(x₀)6= 0.

(i) Justifier l’existence d’un nombrer >0 tel queφne s’annule pas surN :=B(x₀, r), puis montrer que l’op´erateurTφ_|N :C(N)→ C(N) est inversible.

(ii) En utilisantA, montrer que l’op´erateurT_φ|N est ´egalement compact. Que peut-on en d´eduire sur la dimension de l’espace vectoriel C(N)?

b En utilisanta et C5, montrer que φ est identiquement nulle sur K\Isol(K).

3 Dans cette question, on suppose que φ est identiquement nulle sur K \Isol(K).

Montrer que l’op´erateur T_φ est compact.

Probl`eme 19 (op´erateurs int´egraux)

A Soit K : [0; 1]×[0; 1] → C une fonction mesurable. On suppose que pour tout x ∈[0; 1], la fonction K_x : [0; 1]→ C d´efinie par K_x(y) = K(x, y) est int´egrable, et que l’application x7→K_x est continue de [0; 1] dans L¹([0; 1]).

1 Montrer que ces hypoth`eses sont v´erifi´ees si K est une fonction continue.

2 Pour f ∈L^∞[0; 1], on de´finit T_Kf : [0; 1]→C par TKf(x) =

Z 1

0

K(x, y)f(y)dy .

a Justifier la d´efinition, et montrer que T_Kf est une fonction continue.

b Montrer que T_K :L^∞([0; 1])→ C([0; 1]) est une application lin´eaire continue.

c Montrer que T_K est un op´erateur compact.

B Soit θ :]0; 1] → R une fonction continue. On suppose qu’on a θ(x) 6= 0 pour tout x > 0, et limx→0 x

θ(x) = 0. Montrer qu’on d´efinit un op´erateur compact T :L^∞([0; 1])→ C([0; 1]) en posant T f(0) = 0 et

T f(x) = 1 θ(x)

Z x

0

f(t)dt

pourx >0.

C Pour f ∈ C([0; 1]), on d´efinit T f : [0; 1] → C par T f(0) = f(0) et T f(x) =

1 x

Rx

0 f(t)dt si x >0.

1 Montrer que T est une application lin´eaire continue de C([0; 1]) dans C([0; 1]).

2aPour ε∈]0; 1/4[, on note f_ε: [0; 1]→R la fonction continue valant 1 sur [2ε,3ε], nulle sur [0;ε] et [4ε; 1], affine sur [ε; 2ε] et [3ε; 4ε]. Montrer que si ε < 4ε⁰ < 1/4, alors kT(f_ε)−T(f_ε⁰)k∞ ≥ ¹₃.

2b L’op´erateurT est-il compact?

Probl`eme 20 (interpolation de Lagrange)

Pourn∈N, on noteP_n⊂ C([0; 1],R) l’ensemble des fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n. Pour n∈N eti∈ {0;. . .;n}, on pose x⁽ⁿ⁾_i = _nⁱ.

A Soit f ∈ C([0; 1]), et soit n ∈N.

a Quel est le noyau de l’application lin´eaire T : P_n → Rⁿ⁺¹ d´efinie par T(P) = (P(x⁽ⁿ⁾₀ ), . . . , P(x⁽ⁿ⁾n ))?

b Montrer qu’il existe une unique fonction polynomiale P ∈ P_n v´erifiant ∀i ∈ {0;. . .;n}P(x⁽ⁿ⁾_i ) = f(x⁽ⁿ⁾_i ). Dans toute la suite ce polynˆome sera not´e π_n(f).

c Montrer que π_n est une projection deC([0; 1]) sur P_n.

B Soit n ∈N. Pouri∈ {0;. . .;n}, on d´efinit l_iⁿ∈ Pn par lⁿ_i(x) =Y

j6=i

x−x⁽ⁿ⁾_j x⁽ⁿ⁾_i −x⁽ⁿ⁾_j .

1 V´erifier que si f ∈ C([0; 1]), alors π_n(f) =

n

X

i=0

f(x⁽ⁿ⁾_i )l⁽ⁿ⁾_i . 2 Montrer que la projection πn est continue.

3 On poseλ_n(x) =Pn

i=0|l_i⁽ⁿ⁾(x)|, et Λ_n=||λ_n||∞. Calculer||π_n||en fonction de Λ_n. C1Montrer que si n∈N^∗, alorsQn

j=0|¹₂−j| ≥ ¹₄(n−1)!. En d´eduire que pour tout i∈ {0;. . .;n}, on a |l_i⁽ⁿ⁾(_2n¹ )| ≥ _4n^Cni2.

C2 Montrer qu’on a limn→∞Λ_n = +∞.

D Est-il vrai que pour toute fonction f ∈ C([0; 1]), la suite (π_n(f)) converge uni- form´ement versf?

E1 Soit f ∈ C([0; 1]). Montrer que pour tout n ∈N, on a

||f −π_n(f)||_∞ ≤(1 + Λ_n)d(f,P_n).

On pourra commencer par montrer que siP ∈ P_n, alors||f−π_n(f)||∞ ≤ ||f−P||∞+

||π_n(f −P)||∞.

E2 On admet qu’on a Λ_n ≤ 2ⁿ pour tout n ∈ N. Montrer que si f ∈ C([0; 1]) est la somme d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R >2, alors (π_n(f)) converge uniform´ement versf.

Probl`eme 21 (interpolation de Lagrange, bis)

Le but du probl`eme est de montrer que l’interpolation de Lagrange n’est jamais un bon proc´ed´e d’approximation uniforme pour toutes les fonctions continues.

A On noteC2π l’espace des fonctions continues 2π-p´eriodiques surR(`a valeurs com- plexes) muni de la norme k . k<sub>∞</sub>. Pour n ∈ N, on note P<sub>n</sub> ⊂ C<sub>2π</sub> l’ensemble des polynˆomes trigonom´etriques de degr´e au plus n. Si f ∈ C<sub>2π</sub>, on note S<sub>n</sub>f sa n-i`eme somme partielle de Fourier,

S_nf(x) =

n

X

−n

c_n(f)e^ikx .

1a Montrer que Sn est une projection lin´eaire continue de C2π sur Pn, de norme inf´erieure ou ´egale `a||D<sub>n</sub>||<sub>1</sub>, o`u D_n est le noyau de Dirichlet :

D_n(t) = sin(n+ ¹₂)t sin₂^t · 1b Montrer qu’on a en fait ||S_n||=||D_n||₁.

2 Soit n∈N et soit L une projection lin´eaire continue deC2π surPn.

a Pour λ ∈ R, on d´efinit τλ : C2π → C2π par τλf(t) = f(t−λ). Pour x ∈ R fix´e, calculer l’int´egrale R2π

0 τ_λL τ−λf(x)dλ lorsque f est de la formef(t) = e^imt,m ∈Z. b Montrer que pour toute fonction f ∈ C_2π et pour tout x∈R, on a

S_nf(x) = 1 2π

Z 2π

0

τ_λL τ−λf(x)dλ .

3 Soit n ∈ N. Montrer que si L est une projection lin´eaire continue de C_2π sur P_n, alors

||L|| ≥ ||D_n||₁ .

4On noteC_2π⁺ le sous-espace deC2πconstitu´e par les fonctions paires, etP_n⁺l’ensemble des polynˆomes trigonom´etriques pairs de degr´e au plus n. ´Etablir le mˆeme r´esultat qu’en 3 pour une projection lin´eaire continue deC_2π⁺ surP_n⁺.

B Si σ est une subdivision d’un intervalle [a;b] et si f ∈ C([a;b]), on note L_σf le polynˆome d’interpolation de Lagrange de f aux points de σ. En notant σ = (a₀, . . . , a_n), le polynˆome P_σ est par d´efinition l’unique polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n v´erifiant P(a_i) =f(a_i) pour tout i∈ {0;. . .;n}.

1Soitσune subdivision de [−1; 1], et soitn+1 le nombre de points deσ. Montrer que L_σ est une projection lin´eaire continue deC([−1; 1]) sur le sous-espace des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.

2 On d´efinit J : C([−1; 1]) → C2π par J f(t) = f(cost). Montrer que J est une isom´etrie lin´eaire deC([−1; 1]) dans C_2π. Quelle est l’image deJ?

3 Soit σ une subdivision de [−1; 1] et soit n+ 1 le nombre de points de σ. Montrer qu’il existe une projection lin´eaire continue LdeC_2π⁺ surP_n⁺ telle que||L|| ≤ ||L_σ||.

C Soit [a;b] un intervalle compact (non trivial) de R. Montrer que si (σ_k) est une suite de subdivisions de [a;b] de pas tendant vers 0, alors il existe une fonction f ∈ C([a;b]) telle que L_σkf ne converge pas uniform´ement vers f quand k tend vers l’infini.

Probl`eme 22 (op´erateurs hypercycliques)

A Dans cette partie, X est un espace de Banach s´eparable, et T : X → X est une application lin´eaire continue. Pour tout x∈X, on pose

O_T(x) ={Tⁿ(x); n∈N},

o`uTⁿ =T ◦ · · · ◦T (n fois), avec la conventionT⁰ =Id. On dit qu’un vecteurx∈X esthypercyclique pour T siO_T(x) est dense dans X. On noteHC(T) l’ensemble des vecteurs hypercycliques pour T, et on dit que l’op´erateurT esthypercyclique si HC(T)6=∅.

1 Montrer qu’il existe une famille d´enombrable de boules ouvertes (B_i)i∈I v´erifiant la propri´et´e suivante : pour tout ouvert non vide V ⊂X, on peut trouver i∈ I tel que Bi ⊂V.

2 Pour i∈I, on poseGi ={x∈X; ∃n∈N Tⁿ(x)∈Bi}.

a Montrer que lesG_i sont des ouverts de X.

b Montrer qu’on a HC(T) =T

i∈IG_i.

3 On suppose qu’il existe une partie dense Z ⊂ X et une application S : X → X v´erifiant les propri´et´es suivantes :

(1) T ◦S =Id;

(2) pour toutz ∈Z, on a lim

n→∞Tⁿ(z) = 0 = lim

n→∞Sⁿ(z).

a Soient u, v ∈Z. Pour n∈N, on pose x_n =u+Sⁿ(v). Quelles sont les limites des suites (x_n) et (Tⁿ(x_n))?

b D´eduire de a que la propri´et´e suivante est v´erifi´ee : pour tout couple (U, V) d’ouverts non vides de X, on peut trouver un point x ∈ U et un entier n ∈ N tels que Tⁿ(x)∈V.

c En utilisant2 et b, montrer que T est hypercyclique.

B Dans cette partie, on note `¹ l’espace vectoriel constitu´e par toutes les suites x = (x(n))n∈N ∈ C^N v´erifiant P∞

0 |x(n)| < ∞. On munit `¹ de la norme k . k₁ d´efinie par

kxk₁ =

∞

X

0

|x(n)|. 1 Montrer que `¹ est un espace de Banach.

2 Pour i ∈ N, on note e_i l’´el´ement de `¹ d´efini par e_i(i) = 1 et e_i(n) = 0 si n 6= i.

Montrer que l’espace vectoriel Z engendr´e par la famille {e_i; i∈ N} est dense dans l¹.

3 Soit B : `<sup>1</sup> → `¹ l’application lin´eaire d´efinie de la fa¸con suivante : pour x = (x(0), x(1), x(2), . . .)∈`¹, on pose B(x) = (x(1), x(2), . . .).

a Montrer que B est continue et calculerkBk.

b Montrer qu’il existe une application lin´eaire ˜B : `<sup>1</sup> → `¹ v´erifiant BB˜ = Id et kB(x)k˜ =kxk pour tout x∈`¹.

4 Montrer que l’op´erateur T = 2B est hypercyclique.

Probl`eme 23 (fonctions continues nulle-part d´erivables)

Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe “beaucoup” de fonctionsf : [0; 1]→ Rqui sont continues sur [0; 1], mais d´erivables en aucun point. Pour tout r´eelλ >0, on posera

U_λ =

f ∈ C([0; 1]); ∀x∈[0; 1] sup

y6=x

|f(y)−f(x)|

|y−x| > λ

. Autrement dit:

U_λ ={f ∈ C([0; 1]); ∀x∈[0; 1] ∃y |f(y)−f(x)|> λ|y−x|} . 1 Montrer que pour toutλ >0, l’ensemble U_λ est un ouvert de C([0; 1]).

2 Soit λ > 0. Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver une fonction φ ∈ Uλ

telle que kφk∞< ε.

3Soit f : [0; 1]→Rune fonction lipschitzienne. On notek la constante de Lipschitz def. Soit ´egalement µ >0. Montrer que siφ ∈ U_µ et si µ > k, alorsf+φ ∈ U_µ−k. 4 D´eduire de 2 et 3 que pour tout λ >0, l’ouvert U_λ est dense dansC([0; 1]).

5 Montrer que l’ensemble des fonctions f : [0; 1] → R continues et nulle part d´erivables est dense dans C([0; 1]).

Probl`eme 24 (th´eor`eme d’Ekeland)

Dans tout le probl`eme,X est un espace de Banach r´eel. On note Lip(X) l’ensemble des fonctions ϕ:X →R lipschitziennes born´ees. Pour ϕ∈Lip(X), on pose

kϕk_Lip=kϕk_∞+ sup

|ϕ(x)−ϕ(y)|

kx−yk ; x, y ∈X, x6=y

. 1 Montrer que (Lip(X),k.kLip) est un espace de Banach.

2 Soit α > 0. Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver b ∈ Lip(X) v´erifiant b(0) >0,kbk_Lip < εet b(x) = 0 si kxk ≥α.

3 Soit f :X →R born´ee inf´erieurement, et soit α >0. On pose

U_α ={ϕ∈Lip(X); ∃u∈X (f −ϕ)(u)<inf{(f −ϕ)(x); kx−uk ≥α}} . a Montrer que U_α est un ouvert de Lip(X).

b En utilisant des fonctions du typex7→b(x−u), pour b etu bien choisis, montrer que U_α est dense dans Lip(X).

4 Soit g : X → R continue et born´ee inf´erieurement. On suppose qu’il existe une suite (u_n)⊂X telle que pour tout n ∈N, on ait

g(u_n)<inf

g(x); kx−u_nk ≥2⁻ⁿ . a Montrer par l’absurde que si p≤q, alorsku_p −u_qk<2^−p. b Montrer que g atteint sa borne inf´erieure.

5 Soit f :X →R continue et born´ee inf´erieurement. Montrer que l’ensemble {ϕ∈Lip(X); f −ϕatteint sa borne inf´erieure}

est dense dans Lip(X).

6 D´emontrer le th´eor`eme d’Ekeland : si f : X → R est continue et born´ee inf´erieurement, alors, pour toutε >0, on peut trouver un point x₀ ∈X tel que

∀x∈X f(x₀)≤f(x) +εkx−x₀k. 7 Soit f :X →R diff´erentiable et born´ee inf´erieurement.

aMontrer que pour toutε >0, on peut trouver un pointx∈Xtel quekDf(x)k ≤ε.

b Peut-on toujours trouver un point xtel que Df(x) = 0?