I152 Zéphyrin recherche Zéphyrine [***** à la main]
Solution
Jeam Moreau de Saint Martin et Michel Boulant ont résolu le problème
Parcours optimal de Zéphyrin avec 5 bonds quand Zéphyrine est dans un cercle de rayon 20 mètres.
Graphique proposé par Michel Boulant
Autre solution :
Au départ Zéphyrin est au centre O d’un cercle de rayon 20 mètres. Son champ de vision étant de 10 mètres, il repère Zéphyrine si elle se trouve à l’intérieur du cercle (colorié en bleu- voir figure ci-après) de centre 0 et de rayon 10 mètres. Si ce n’est pas le cas, elle se trouve dans l’anneau circulaire délimité par les deux cercles de centre O et de rayons 10 et 20 mètres.
Zéphyrin fait un bond de 10 mètres dans une direction quelconque et arrive en un point A. On prend la droite OA pour axe des abscisses. Le champ de vision de Zéphyrin est le cercle de centre A et de rayon 10 colorié en jaune (voir figure ci-après). Supposons qu’il ne voit toujours pas Zéphyrine.
Deux cas sont possibles :
1) Goupil annonce à Zéphyrin qu’il se rapproche de Zéphyrine ou reste à égale distance. Dès lors celle-ci se trouve à l’intérieur de la demi-lentille IPJ délimitée par la médiatrice IJ de OA.
Zéphyrin se rend alors au point B de coordonnées (15, 5 3) et son champ de vision est défini par le cercle de centre B et de rayon 10 colorié en gris.
Deux cas sont possibles :
1-1 Il se rapproche à nouveau de Zéphyrine ou reste à égale distance : Zéphyrin se rend au point C de coordonnées (5, 10 3) d’où il finit d’explorer la demi-lentille IPJ en étant certain de trouver son âme sœur.
1-2 Il s’éloigne de Zéphyrine : il retourne au point A puis va en D de coordonnées (15, -5 3) symétrique de B par rapport à l’axe des abscisses. En allant si
nécessaire au point E de coordonnées (5,- 10 3) symétrique de C par rapport à l’axe des abscisses, Zéphyrin est certain de repérer Zéphyrine en 5 bonds au maximum (A,B,C,D,E).
2) Goupil annonce à Zéphyrin qu’il s’éloigne de Zéphyrine.
Dès lors celle-ci se trouve à l’intérieur du cercle de centre O et de rayon 10 mètres tronqué de la demi-lentille IPJ.
Zéphyrin se rend alors au point B de coordonnées (5, 5 3). Si Zéphyrine n’est pas dans le cercle de centre B et de rayon 10 mètres (colorié en gris ci-après), deux cas sont possibles :
2-1 Zéphyrin s’éloigne de Zéphyrine.
Celle-ci se trouve alors dans le secteur angulaire XLJ défini par les deux médiatrices des segments OA et AB qui se coupent en X. Le but de Zéphyrin est donc d’explorer ce secteur et il y parvient en trois bonds au maximum. Il fait un 3ème bond qui le mène au point C de coordonnées (5, 5 3-10). Si Zéphyrine n’est pas dans son champ de vision, il se rend en D situé à l’intersection de la médiatrice de CJ et du cercle de centre C et de rayon 10 mètres. Le champ de vision de Zéphyrin est défini par le cercle colorié en mauve de centre D et de rayon 10 mètres qui coupe le grand cercle de centre O et de rayon 20 mètres en deuxième point M. Si Zéphyrine n’est toujours pas dans son champ de vision, Zéphyrin se rend en E situé à l’intersection de la médiatrice de DM avec le cercle de centre D et de rayon 10 mètres. Il est désormais certain de repérer Zéphyrine car le cercle de centre E et de rayon 10 mètres couvre bien la zone résiduelle du secteur XJL.
2-2 Zéphyrin se rapproche de Zéphyrine ou reste à égale distance.
Celle-ci se trouve donc dans le secteur angulaire XIL. Il est facile de vérifier en adoptant la même démarche que précédemment que Zéphyrin parvient à balayer tout ce secteur en cinq bonds au maximum de telle sorte qu’après chaque bond son nouveau champ de vision chevauche bien ses champs de vision antérieur ainsi que le grand cercle de centre O et de rayon 20 mètres. D’où le point C à l’intersection de la médiatrice de IB avec le cercle de centre B et de rayon 10 mètres puis le point D à l’intersection de la médiatrice de CM et du cercle de centre C et de rayon 10 mètres et enfin le point E à l’intersection de la médiatrice de DN et du cercle de centre D et de rayon 10 mètres, les points M et N étant respectivement à l’intersection ces cercles de centres C et D et de rayon 10 mètres avec le grand cercle.
