E620 Le ballet de Goupil et de Zéphyrin [***** à la main]
Solution de Pierre Henri Palmade :
Si d est pair (d=2e) , après e-1 coups G (Goupil) est en e, et Z (Zéphirin) en e+1; il y a changement de sens (tout se passe comme si G poursuivait le mouvement de Z et Z celui de G, en ayant sauté un terrier chacun) et après encore e-1 coups (soit en tout d-2, qui est pair) les deux se retrouvent dans la positon initiale.
Pour se retrouver dans les terriers de départ après un nombre impair de coups, il faut donc que d soit impair (d=2e+1). Après e-1 coups, G est en e et Z en e+2, après e coups G est en e+1 et Z en e+3 (tout se passe comme si G poursuivait le mouvement de Z, et Z celui de G en ayant sauté 2 terriers). On se trouve dans une situation symétrique à la situation initiale, avec n-3 terriers séparant les deux compères au lieu de d-2 (notons au passage qu'après 2e=d-1 coups, G est en 1 et Z en 2e+3=d+2 (d+2-n si d+2>n). Si n est pair (donc n-1 impair) un décalage symétrique va se produire à la deuxième rencontre, et au bout de n-2 coups G et Z retrouvent leurs terriers d'origine. Mais là encore c'est après un nombre pair (n-2) de coups.
Si n est impair, la deuxième rencontre ne provoque pas de décalage, tout se passe comme si G poursuivait le mouvement de Z et Z celui de G en sautant un terrier chacun. En combinant les deux rencontres, tout se passe comme si G et Z avaient continué de tourner dans leur sens initial, G ayant sauté 3 terriers et Z en ayant sauté 1.La première rencontre a eu lieu après e coups pour G (G étant en e+1), la troisième rencontre aura donc lieu après e+n-2 coups pour G (G est alors en e+2).
En itérant, au bout de e+k(n-2) coups aura lieu la 2k+1-ème rencontre (G étant en e+k+1, ou e+k+1-n si n-e+1<k<2n-e+1). Donc au bout de e+n(n-2) coups aurait lieu la 2n+1-ième rencontre, au même endroit que la première, ce qui veut dire qu'après n(n-2) coups G et Z étaient dans leurs positions initiales. Or n(n-2) est impair...
Cependant, la n-ième rencontre ne créant pas de décalage, ils sont également passés par cette même position avant celle-ci, n-d coups auparavant.
En résumé, avec n et d impairs, le premier retour à la position de départ a lieu après n^2-3n+d coups.on peut encore écrire ce nombre m=(n-1)^2-(n-d+1) et observer que 1<d<n+1 donc 0<n-d+1<n d'où (n-1)^2-n<m<(n-1)^2
Pour m=999, le carré pair immédiatement supérieur est 1024 (=32^2) l'écart étant de 25 qui est bien inférieur à n=33. La solution est donc n=33 et d=9.
Pour m=2005, le carré pair immédiatement supérieur est 2116=46^2 et l'écart est alors de 111 supérieur à 47: il n'y a donc pas de solution
Une analyse succincte des périples possibles de Goupil (G) et Zéphyrin (Z) avec un nombre réduit de terriers (n = 3,4,5,6,7,8) fait apparaître que les deux compères pour revenir l’un et l’autre à leurs terriers d’origine réalisent un nombre de déplacements beaucoup plus grand quand le nombre de terriers et le numéro du terrier de départ de Zéphyrin sont l’un et l’autre des nombres impairs.
