E620 Le ballet de Goupil et de Zéphyrin [***** à la main]
Solution
Une analyse succincte des périples possibles de Goupil (G) et Zéphyrin (Z) avec un nombre réduit de terriers (n = 3,4,5,6,7,8) fait apparaître que les deux compères pour revenir l’un et l’autre à leurs terriers d’origine réalisent un nombre de déplacements beaucoup plus grand quand le nombre de terriers et le numéro du terrier de départ de Zéphyrin sont l’un et l’autre des nombres impairs.
Soit N(n,d) le nombre de jours nécessaires pour que G et Z retrouvent leurs terriers respectifs n°1 et n°d. Nous allons successivement calculer N(2k,d) et N(2k+1,d). Dans tous les cas, nous ferons appel au raisonnement par récurrence :
Calcul de N(2k,d)
Commençons par d = 2k. pour n=4, -6 et 8, on a les périples suivants :
Chaque jour les déplacements de G et Z sont identifiés par des entiers à 2 chiffres : le chiffre des dizaines donne le n° du terrier de départ et le chiffre des unités celui du terrier d’arrivée.
Le signe – ou + indique le sens du déplacement : - dans le sens des aiguilles d’une montre et + dans le sens trigonométrique.
Il apparaît que N(4,4)=2, N(6,6) = 4 et N(8,8)=6. On en déduit aisément que N(2k,2k) = 2k-2 qui correspond à k-1 déplacements de G dans le sens des aiguilles d’une montre et la même nombre dans le sens trigonométrique, soit au total 2k-2 déplacements.
Poursuivons avec d=2p+1
A partir de l’exemple n=8 et d=7 (soit p=3) puis d=5 (soit p=2), on constate que N(2k,2p+1)
= 2k-2 quel que soit p.
En effet il y a toujours pour G comme pour Z, k-1 déplacements dans le sens des aiguilles d’une montre et k-1 dans l’autre et chacun des deux compères dans k terriers consécutifs sans aller dans un terrier déjà occupé par l’autre.
Continuons avec d=2p, 1<p<k.
A partir de l’exemple n=8 et d=4 puis n=8 et d=6, on observe N(8,4) = 2 et N(8,6) = 4. A partir de d=2k, lorsque Z décale de deux positions dans le sens trigonométrique le numéro du terrier de départ, il y a deux déplacements en moins pour G et Z. Il en découle N(2k,2p) = 2p – 2.
Terminons par d=2 qui donne N(2k,2) = 2k-2 car le terrier n° 2 occupe une position symétrique par rapport au terrier n° 2k.
En conclusion , pour n pair N(n,d) = n-2 pour d=2, k impair et d=n. Pour les autres valeurs paires de d, N(n,d) = d –2 quel que soit n.
Dans tous les cas de figure il apparaît que la durée du périple de G et de Z exprimée en nombre de journées est un nombre pair. Gédéon ayant observé un nombre impair de journées (999), le nombre total de terriers ne peut pas être pair.
Calcul de N(2k+1,d)
d est impair = 2p+1.
Prenons n=5 et considérons d’abord d=5.
On constate qu’à l’issue de blocs de trois jours, G et Z progressent d’un terrier dans le sens des aiguilles d’une montre. Il faudra donc 5*3 = 15 jours pour qu’ils reviennent aux terriers n°1 et 5. D’une manière générale, s’il y a 2k+1 terriers G fera k déplacements dans le sens des aiguilles d’une montre et k-1 déplacements dans le sens trigonométrique et qu’à l’issue de ces 2k-1 déplacements il progresse donc d’un terrier dans le sens des aiguilles d’une montre. Même constatation pour Z qui commence par k-1 déplacements dans le sens trigonométrique et k déplacements dans le sens des aiguilles d’une montre. Il progresse également d’un terrier dans le sens des aiguilles d’une montre après 2k-1 déplacements. L’un et l’autre retrouvent alors leurs terriers d’origine après (2k+1)*(2k-1) journées ou encore n*(n-2) journées.
Toujours avec n=5, considérons maintenant d=3.
Si d est impair et inférieur à 2k+1, il y a toujours la répétitions des blocs de 2k-1
déplacements dont k dans le sens des aiguilles d’une montre et k+1 dans l’autre sens, mais on observe que dans la dernier bloc, G et Z passent pour la première fois par leurs positions d’origine au bout de (2k+1)*(2k+1) – (2k+1 – 2p-1) jours pour y revenir logiquement une deuxième fois en fin de bloc au bout de (2k+1)*(2k-1) jours. Dans l’exemple ci-dessus, G et Z reviennent aux terriers d’origine au bout de 13 jours = 15 – (5 – 3) = 13. S’ils poursuivaient leur ballet, le 15ème jour ils seraient également dans leurs terriers d’origine.
La formule générale en fonction de n= 2k+1 s’établit alors à N(n,2p+1) = n(n-2) – (n-d) = 1
2p 3n
n2 .
d est pair=2p.
Prenons toujours n=5 et considérons d’abord d=4.
Dans l’exemple ci-dessus, le retour aux terriers d’origine est particulièrement rapide (2 jours seulement) et on démontre aisémentque pour d=2p>2, N(n, 2p) = 2p-2 qui est un nombre toujours pair.
Pour d=2 qui est symétrique de 2k+1 par rapport à 1, le nombre de déplacements nécessaires pour revenir aux terriers d’origine est le même que pour d=2k+1 à savoir n(n-2).
En conclusion, N(n,2p+1) = n23n2p1 et N(n,2p) = 2p – 2 pour p>1 et N(n,2) = n*(n- 2).
Revenons au ballet de 999 jours observé par Gédéon. Comme N(n,d) peut prendre des valeurs impaires quand d = 2p+1, on peut alors écrire l’équation diophantienne
1 2p 3n
n2 = 999 ou encore n23n2p-998=0. Cette équation du second degré en n admet au moins une racine entière positive si le discriminant est un carré parfait. D’où l’équation 4001 – 8p = a2 qui admet pour unique solution p = 4 soit d = 9 n = 33 et on vérifie que n et d sont impairs l’un et l’autre et que d < n. G et Z ont donc creusé 33 terriers et Z est parti du terrier n°9.
Un périple de 2005 jours est-il possible ? L’équation du second degré est n2 3n2p - 2004
= 0. Le discriminant correspondant est 8025 – 8p = a2. La solution d = 27 entraîne n = 46, ce qui est impossible.
