H123 Les sauts de Zéphyrin [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon :
Notons pour i=1..2n, ti le numéro de terrier où se trouve Zéphyrin avant le ième saut.
Posons t2n+1 = 1.
Nous avons donc 1 = t1 < t2 > t3 < t4 > … < t2n > t2n+1 = 1
Notons pour i=1..2n, di la distance parcourue lors du ième saut, di = |ti+1 – ti|.
Pour i=1..n, d2i = t2i – t2i+1 et d2i-1 = t2i – t2i-1.
Notons D, la distance totale parcourue, D = somme(i=1..2n ; di).
Posons P = somme(i=1..n ; t2i), I = somme(i=1..n ; t2i+1) = somme(i=1..n ; t2i-1) D = somme(i=1..2n ; di) = somme(i=1..n ; d2i) + somme(i=1..n ; d2i-1)
D = somme(i=1..n ; t2i – t2i+1) + somme(i=1..n ; t2i – t2i-1)
D = 2*somme(i=1..n ; t2i) – somme(i=1..n ; t2i+1) – somme(i=1..n ; t2i-1) D = 2(P – I)
Sachant que P+I = somme(i=1..2n ; ti) = n(2n+1), nous avons D = 4P – 2n(2n+1).
Clairement 1 et 2 sont parmi les t2i+1, et 2n-1 et 2n sont parmi les t2i.
J’intuite (mais je n’ai pas réussi à le démontrer) que P >= 3 + 5 + … + 2n-1 + 2n, c'est-à-dire que P >= n² + 2n – 1.
D’où en admettant ce résultat, D >= 6n – 4.
Pour n = 1003, D = (D-d2n) + d2n >= 6014 et donc d2n >= 6014 – 4009 = 2005.
Comme pour i=1..n, 1<=di<=2005, nous aurions donc d2n = 2005 (il a effectivement de très grandes pattes !!!).
