H123 : Les sauts de Zéphyrin
Raisonnons dans le cas plus général de 2n terriers numérotés de 1 à 2n et soit Up la position après p sauts : U0=U2n=1.
Puisque Zéphyrin alterne le sens des sauts, les termes impairs sont supérieurs aux deux termes pairs qui les encadrent, et plus précisément, puisque les termes sont tous différents (sauf U0 et U2n)
1 et 2 appartiennent aux termes de rang pair, 2n-1 et 2n aux termes de rang impair, et entre 1 et 2k (0<k<n), il y a au moins 2 termes de rang pair de plus que de rang impair. Donc la somme ∑U2k(0≤k≤n-1) des termes de rang pair est au plus égale à 1+2+…+2k+…+2n-2=1+n(n-1)=n2-n+1, et la somme ∑U2k+1
des termes de rang impair au moins égale à n(2n+1)-n2+n-1=n2+2n-1
La somme de la longueur des sauts, qui est égale au double de la différence entre la somme des termes de rang impair, et celles des termes de rang pair, vaut donc au moins 6n-4. Donc dans le cas présent 6014. Or la somme des sauts avant le dernier est 4009, et ce dernier saut ne peut, par ailleurs, excéder 2005 : il est donc égal à 2005.
