PSI* — 2020/2021 — Corrigé partiel du T.D. 11a Page 1
6. b)(La réponse à la question du a)s’obtient en prenant k= 0dans cette question !)
Par symétrie, on peut supposer k ≥ 0. La puce termine sa marche en k si et seulement si elle a effectué (dans un ordre quelconque) k+q déplacements vers la droite et q vers la gauche, pour un certain entierq. Et le nombre total de déplacements vaut n=k+ 2q.
∗ sin−k est impair la fin de parcours enk est impossible
∗ si n−k est pair, il s’écrit 2q pour un certain entier naturel q et nous avons à dénombrer le nombre de mots de longueur nformés de G et de D et comportant exactement q G. Ils sont au nombre de n
q : une fois les places des G choisies, il n’y a plus qu’à mettre des D dans les places vides ! On peut bien sûr aussi choisir les places des D, ce qui conduit au même résultat puisque
n
n−q = n q . . .
Comme le nombre de mots possibles est 2n et qu’ils sont tous équiproblables, La probabilité que la puce se trouve enk aprèsnsauts est 1
2n
n (n−k)/2 .
On peut considérer que ce résultat est correct dans le premier cas également, en convenant que n q vaut 0 lorsque q n’est pas entier.
c)Ici nous considérons des mots de longueur nformés de G, de D et de R (pour “repos”). Ils sont au nombre de 3net tous équiprobables par hypothèse.
Étant donné k∈[[0, n]], compte tenu du raisonnement précédent, la puce terminera sa route enk si et seulement s’il exister etqtels quen−r=k+ 2q et que son itinéraire se compose der occurrences de R, k+q D etq G.
Comme r et q doivent vérifier r+ 2q = n−k, q prend ses valeurs dans 0,⌊(n−k)/2⌋ et tout choix de q dans cet intervalle imposer=n−k−2q.
Enfin, pour un tel choix de q, le nombre de mots correspondant à une position finale en kest n
r
n−r q
(choix des positions des R, puis choix des positions des G parmi les n−r places restantes).
Les diverses valeurs deq correspondent à une partition de l’ensemble des mots favorables, le nombre total de mots favorables s’obtient donc en sommant les valeurs ci-dessus, d’où finalement
La probabilité que la puce se trouve enk aprèsnsauts est 1 3n
⌊(n−k)/2⌋
q=0
n k+ 2q
k+ 2q
q .
