E5903. Le coût minimal ***
Cent cartes numérotées de 1 à 100 sont alignées dans cet ordre sur une même rangée.
La permutation de deux cartes adjacentes coute un euro tandis que la permutation de deux cartes avec exactement k cartes placées entre elles est gratuite.
Déterminer le coût minimal du classement des cartes dans l’ordre inverse de 100 à 1 avec a) k = 3 et b) k = 4.
Solution proposée par Jean Nicot
On note p la permutation de 2 cartes voisines et P pour deux cartes séparées de k.
Soit Ni la carte numérotée i et Kj la case de numéro J a- k=3
Les permutations P permettent à une carte située en Kj d’atteindre les cases KJ ± 4λ
La méthode est donc d’amener à leur place finale les cartes dans leur ordre croissant avec autant de mouvements P que possible et en complétant si nécessaire avec des mouvements p.
Une carte en position i arrivera à la position 101-i en|101-2i| mouvements unitaires ; éliminant les permutations P, il restera |101-2i|%( k+1) déplacements p. Une permutation p entre deux cartes voisines augmente de 1 la valeur de p pour l’une en diminuant la valeur de p pour l’autre, ce qui ne change rien au total.
Les 4 premières cartes nécessitent 99%4=3 97%4=1 95%4=3 93%4=1 soit 3+1+3+1=8 mouvements p
Le total de mouvements p est donc 8 pour les 4 premières cartes et pour tous les 25 groupes de 4 un total de8*25=
200 pour k=3
a- k=4
Les permutations P permettent à une carte située en Kj d’atteindre les cases KJ ± 5λ
Pour les 5 premières cartes, les valeurs de p sont 99 %5=4, 97%5=2, 95%5=0 93%5=3 91%5=1 soit 10 pour le groupe de 5. Pour les 20 groupes de 5, on obtient donc un total de 200. On obtient sans être surpris le même résultat.
En complément , aves k-5 les valeurs de p sont 99 %6=3 97%6=1, 95%6=5 93%6=3 91%6=1 89%6=5 soit 18 pour le groupe de 6. Pour les 16 +2/3 groupes de 6, on arrive à 16*18 +(3+1+5+3) = 300
aves k-6 les valeurs de p sont 99 %7=1 97%7=6 95%7=4 93%7=2 91%7=0 89%7=5 87%7=3 soit 21 pour le groupe de 7. Pour les 14 +2/7 groupes de 7, on arrive à 14*21 +(1+7) = 301
Pour k=2, les valeurs de p sont 99 %3=0 97%3=1, 95%3=2 et un total 3 pour le groupe de 3. . Pour les 33 +1/3 groupes de 3, on arrive à 33*3 +(0) = 99
Pour k=1, les valeurs de p sont 99 %2=1 97%2=1, et un total 2 pour le groupe de 2 . Pour les 50 groupes de 2, on arrive à 50*2 = 100
La procédure est la même avec des cycles de 5 placements
Les valeurs cycliques de p sont alors 99 %5=4, 97%5=2, 95 %5=0, 93%5=3, 91%5=1 soit 18p par cycle de 6 placements. Il y a 19 cycles de 5 normaux, le dernier devant être examiné à part
Rearquons que le placement d’une carte d’une case i à une case j nécessitera obligatoirement
|i-j] % k mouvements p. une pemutation P ne change pas cela ; une permutation p augmente ou diminue d’une unité pour une carte et l’inverse pour l’autre. L’ordre résiduel après le placement des n premières cartes n’a donc pas d’importance ; en particulier la carte 100 séparant les cartes classées des autres peut très bien ne pas être adjacente aux cartes classées
Remarque. Le déplacement de la carte Kj de l’emplacement i vers 101-j nécessiterait , |101-i-j| mouvements p, se réduisant à (|101-j-i |)%k mouvements p obligatoires.
Après le placement de K1 à K95, la liste est devenue 96-97-100-99-98-95#-94-93-……-1 sans usage possible de P et nécessitant 4+3+2+1 =10 p
On aboutit à un total de 19*10 °10= un total de 200 p
j=1# 5 2 3 4 9 6 7 8 13 10 11 12 17 14 15 16 21 18 19 20 25 22 23 24 29 26 27 28 33 30 31 32 37 34 35 36 41 38 39 40 45 42 43 44 49 46 47 48 53 50
n=3# 51 52 57 54 55 56 61 58 59 60 65 62 63 64 69 66 67 68 73 70 71 72 77 74 75 76 81 78 79 80 85 82 83 84 89 86 87 88 93 90 91 92 97 94 95 96 98 99 100 1
j=2# 5 6 3 4 9 10 7 8 13 14 11 12 17 18 15 16 21 22 19 20 25 26 23 24 29 30 27 28 33 34 31 32 37 38 35 36 41 42 39 40 45 46 43 44 49 50 47 48 53 54
n=1# 51 52 57 58 55 56 61 62 59 60 65 66 63 64 69 70 67 68 73 74 71 72 77 78 75 76 81 82 79 80 85 86 83 84 89 90
j=3# 5 6 7 4 9 10 11 8 13 14 15 12 17 18 19 16 21 22 23 20 25 26 27 24 29 30 31 28 33 34 35 32 37 38 39 36 41 42 43 40 45 46 47 44 49 50 51 48 53 54
n=3# 55 52 57 58 59 56 61 62 63 60 65 66 67 64 69 70 71 68 73 74 75 72 77 78 79 76 81 82 83 80 85 86 87 84 89 90 91 88 93 94 95 92 97 99 96 98 100 3 2 1
j=4# 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
n=1# 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 98 97 99 96 100 4 3 2 1
j=5# 9 6 7 8 13 10 11 12 17 14 15 16 21 18 19 20 25 22 23 24 29 26 27 28 33 30 31 32 37 34 35 36 41 38 39 40 45 42 43 44 49 46 47 48 53 50 51 52 57 54
n=3# 55 56 61 58 59 60 65 62 63 64 69 66 67 68 73 70 71 72 77 74 75 76 81 78 79 80 85 82 83 84 89 86 87 88 93 90 91 92 97 94 95 98 99 96 100 5 4 3 2 1
j=6# 9 10 7 8 13 14 11 12 17 18 15 16 21 22 19 20 25 26 23 24 29 30 27 28 33 34 31 32 37 38 35 36 41 42 39 40 45 46 43 44 49 50 47 48 53 54 51 52 57 58
n=1# 55 56 61 62 59 60 65 66 63 64 69 70 67 68 73 74 71 72 77 78 75 76 81 82 79 80 85 86 83 84 89 90 87 88 93 94 91 92 97 96 95 98 99 100 6 5 4 3 2 1
j=7# 9 10 11 8 13 14 15 12 17 18 19 16 21 22 23 20 25 26 27 24 29 30 31 28 33 34 35 32 37 38 39 36 41 42 43 40 45 46 47 44 49 50 51 48 53 54 55 52 57 58
n=3# 59 56 61 62 63 60 65 66 67 64 69 70 71 68 73 74 75 72 77 78 79 76 81 82 83 80 85 86 87 84 89 90 91 88 93 94 95 92 97 96 98 99 100 7 6 5 4 3 2 1
j=8# 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
n=1# 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 99 97 96 98 100 8 7 6 5 4 3 2 1
j=9# 13 10 11 12 17 14 15 16 21 18 19 20 25 22 23 24 29 26 27 28 33 30 31 32 37 34 35 36 41 38 39 40 45 42 43 44 49 46 47 48 53 50 51 52 57 54 55 56 61 58
n=3# 59 60 65 62 63 64 69 66 67 68 73 70 71 72 77 74 75 76 81 78 79 80 85 82 83 84 89 86 87 88 93 90 91 92 97 94 95 99 96 98 100 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=10# 13 14 11 12 17 18 15 16 21 22 19 20 25 26 23 24 29 30 27 28 33 34 31 32 37 38 35 36 41 42 39 40 45 46 43 44 49 50 47 48 53 54 51 52 57 58 55 56 61 62
n=1# 59 60 65 66 63 64 69 70 67 68 73 74 71 72 77 78 75 76 81 82 79 80 85 86 83 84 89 90 87 88 93 94 91 92 97 98 95 99 96 100 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=11# 13 14 15 12 17 18 19 16 21 22 23 20 25 26 27 24 29 30 31 28 33 34 35 32 37 38 39 36 41 42 43 40 45 46 47 44 49 50 51 48 53 54 55 52 57 58 59 56 61 62
n=3# 63 60 65 66 67 64 69 70 71 68 73 74 75 72 77 78 79 76 81 82 83 80 85 86 87 84 89 90 91 88 93 94 95 92 97 98 99 96 100 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=12# 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62
n=1# 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=13# 17 14 15 16 21 18 19 20 25 22 23 24 29 26 27 28 33 30 31 32 37 34 35 36 41 38 39 40 45 42 43 44 49 46 47 48 53 50 51 52 57 54 55 56 61 58 59 60 65 62
n=3# 63 64 69 66 67 68 73 70 71 72 77 74 75 76 81 78 79 80 85 82 83 84 89 86 87 88 93 90 91 92 97 94 95 96 98 99 100 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=14# 17 18 15 16 21 22 19 20 25 26 23 24 29 30 27 28 33 34 31 32 37 38 35 36 41 42 39 40 45 46 43 44 49 50 47 48 53 54 51 52 57 58 55 56 61 62 59 60 65 66
n=1# 63 64 69 70 67 68 73 74 71 72 77 78 75 76 81 82 79 80 85 86 83 84 89 90 87 88 93 94 91 92 97 99 95 96 98 100 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=15# 17 18 19 16 21 22 23 20 25 26 27 24 29 30 31 28 33 34 35 32 37 38 39 36 41 42 43 40 45 46 47 44 49 50 51 48 53 54 55 52 57 58 59 56 61 62 63 60 65 66
n=3# 67 64 69 70 71 68 73 74 75 72 77 78 79 76 81 82 83 80 85 86 87 84 89 90 91 88 93 94 95 92 97 99 96 98 100 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=16# 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
n=1# 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 98 97 99 96 100 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=17# 21 18 19 20 25 22 23 24 29 26 27 28 33 30 31 32 37 34 35 36 41 38 39 40 45 42 43 44 49 46 47 48 53 50 51 52 57 54 55 56 61 58 59 60 65 62 63 64 69 66
n=3# 67 68 73 70 71 72 77 74 75 76 81 78 79 80 85 82 83 84 89 86 87 88 93 90 91 92 97 94 95 98 99 96 100 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=18# 21 22 19 20 25 26 23 24 29 30 27 28 33 34 31 32 37 38 35 36 41 42 39 40 45 46 43 44 49 50 47 48 53 54 51 52 57 58 55 56 61 62 59 60 65 66 63 64 69 70
n=1# 67 68 73 74 71 72 77 78 75 76 81 82 79 80 85 86 83 84 89 90 87 88 93 94 91 92 97 96 95 98 99 100 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=19# 21 22 23 20 25 26 27 24 29 30 31 28 33 34 35 32 37 38 39 36 41 42 43 40 45 46 47 44 49 50 51 48 53 54 55 52 57 58 59 56 61 62 63 60 65 66 67 64 69 70
n=3# 71 68 73 74 75 72 77 78 79 76 81 82 83 80 85 86 87 84 89 90 91 88 93 94 95 92 97 96 98 99 100 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=20# 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
n=1# 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 99 97 96 98 100 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=21# 25 22 23 24 29 26 27 28 33 30 31 32 37 34 35 36 41 38 39 40 45 42 43 44 49 46 47 48 53 50 51 52 57 54 55 56 61 58 59 60 65 62 63 64 69 66 67 68 73 70
n=3# 71 72 77 74 75 76 81 78 79 80 85 82 83 84 89 86 87 88 93 90 91 92 97 94 95 99 96 98 100 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
j=22# 25 26 23 24 29 30 27 28 33 34 31 32 37 38 35 36 41 42 39 40 45 46 43 44 49 50 47 48 53 54 51 52 57 58 55 56 61 62 59 60 65 66 63 64 69 70 67 68 73 74
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