MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES Modélisation du mouvement par la méthode d’Euler

(1)



 



 



 m

g V m

a f ^f

1

 

 



 

















 .

² ₂

.

²

1

₂²

l

v

B v a B v v

a B B v A a

) ( ).

( ) ) (

( z t t v t t z t

t t z t t t z

v     







 

i i

i v t z

z_₁  . 



 



 



 m

g V mv

a k ^f

2 1

 

 



 

 1

₂²

l i

i

v

B v a

) ( ).

( )

(t t a t t v t

v    

i i

i a t v

v_₁  . 

MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES

Modélisation du mouvement par la méthode d’Euler

I/ But

On cherche à modéliser le mouvement de chute d’un objet dans un fluide. La trajectoire de l’objet va être fonction de sa propre densité et de la densité du fluide considéré. La méthode d’Euler est une méthode d’approximation qui permet de calculer la vitesse, l’accélération et la position de l’objet dans sa chute en connaissant les conditions initiales du système.

II/ Méthode d’Euler

Considérons la relation établie en cours :

On étudie le mouvement d’une bille lâchée sans vitesse initiale dans un fluide avec les paramètres suivants : masse de la bille m = 107,4 g ; rayon de la bille r = 1,54 cm ; masse volumique du fluide ρf = 1,260 kg.L^-1; accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s^-2;  = 3,1416 ; vlimite = 0,930 m.s^-1 ; intervalle de temps t = 0,01 s On prendra f = kv²

,

l’expression 1 devient donc :

On écrira plus simplement :

a + A  v

²

= B

avec A et B deux constantes.

On en déduit les expressions suivantes : A = ………. B = ………

1) Expression de A en fonction de B

Lorsque l’objet a atteint sa vitesse limite vl dans le fluide, quelle est la valeur de l’accélération ? a = ……..

En déduire une relation entre A et B.

2) Conditions initiales

Quelle est la valeur de la vitesse à t = 0 s ? v0 = ……….

En déduire l’expression de a0. Puis calculer a0.

3) Expression de l’accélération a L’expression 2 peut s’écrire : ou, pour le traitement informatique : 4) Expression de la vitesse v

Si t est suffisamment petit une valeur approchée de l’accélération est donnée par :



 











 

t t v t t t v

a ( ) ( )

)

( 

ou, pour le traitement informatique : 5)Expression de la position z

Si t est suffisamment petit une valeur approchée de la vitesse est donnée par :

ou, pour le traitement informatique : III/ Utilisation d’un tableur

A l’aide d’un tableur, on se propose de tracer la variation de a, v et z grâce à la modélisation proposée par la méthode d’Euler.

(Expression 1)

(Expression 2)

(2)



 



 



 m

g V m

a f ^f

1

 

 



 

















 .

² ₂

.

²

1

₂²

l

v

B v a B v v

a B B v A a

) ( ).

( ) ) (

( z t t v t t z t

t t z t t t z

v     







 

i i

i v t z

z_₁  . 



 



 



 m

g V mv

a k ^f

2 1

 

 



 

 1

₂²

l i

i

v

B v a

) ( ).

( )

(t t a t t v t

v    

i i

i a t v

v_₁  . 

MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES

Modélisation du mouvement par la méthode d’Euler

I/ But

On cherche à modéliser le mouvement de chute d’un objet dans un fluide. La trajectoire de l’objet va être fonction de sa propre densité et de la densité du fluide considéré. La méthode d’Euler est une méthode d’approximation qui permet de calculer la vitesse, l’accélération et la position de l’objet dans sa chute en connaissant les conditions initiales du système.

II/ Méthode d’Euler

Considérons la relation établie en cours :

On étudie le mouvement d’une bille lâchée sans vitesse initiale dans un fluide avec les paramètres suivants : masse de la bille m = 107,4 g ; rayon de la bille r = 1,54 cm ; masse volumique du fluide ρf = 1,260 kg.L^-1; accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s^-2;  = 3,1416 ; vlimite = 0,930 m.s^-1 ; intervalle de temps t = 0,01 s On prendra f = kv²