si P P Considérations préliminaires

G245. La quatrième puissance

On considère une suite de 2011 nombres entiers positifs tels qu’aucun d’eux n’a un facteur premier supérieur à 28. Montrer que cette suite contient quatre termes dont le produit est une puissance quatrième d’un entier.

Considérations préliminaires

Les seuls nombres premiers présents dans les 2011 termes de la suite sont les NEUF nombres premiers

pi = {2 3 5 7 11 13 17 19 23}

Tout membre de la suite est un produit

P

N =

P

En fait, pour obtenir 2011 termes, cela exige que les exposants ai puissent prendre un certain nombre de valeurs distinctes.

La

situation la plus défavorable pour notre propos : réaliser exactement une puissance quatrième en multipliant entre eux 4 termes de la suite, est celle où :

– tous les pi participent aux 2011 termes de la suite, – ces pi ont des exposants ai de valeur quelconque

– l' occurrence de chaque pi dans les termes de la suite est aussi uniforme que possible.

Cela revient à dire que le nombre de valeurs de ai qui apparaissent est sensiblement le même pour chaque pi (la valeur 0 étant admise pour les ai).

Nombre minimum de valeurs des exposants ai

Sans préciser les valeurs respectives de ces exposants, on voit ainsi que

si

2⁹ = 512 termes en considérant toutes les combinaisons possibles

A partir de cela et toujours en considérant toutes les combinaisons possibles, dans une suite de 2011 termes, certains ai prennent plus de deux valeurs distinctes :

si trois des ai ont trois valeurs distinctes – et les six autres deux valeurs distinctes -, on obtient 2⁶3³ = 1728 termes

si quatre des ai ont trois valeurs distinctes on obtient 2⁵4³ = 2592 termes

Ces résultats supposent que toutes les combinaisons possibles des divers pi - élevés aux diverses valeurs de ai correspondantes -, sont réalisées.

Autrement dit, de ce point de vue, les 2011 termes de la suite seront constitués par 1728 termes où toutes les combinaisons de TROIS pi, disons p1 p2 p3, avec TROIS VALEURS des a1, a2, a3, seront réalisées avec toutes les combinaisons des six autres pi pour lesquels deux valeurs de leur ai respectif sont mises en jeu.

En ce qui concerne les termes restants d' une telle suite où 1728 termes sont déjà définis, à savoir :

2011 – 1728 = 283 termes, du point de vue adopté ici, ils seront constitués par exemple par le fait que d' autres pi (que les trois premiers) présenteront parfois aussi une troisième valeur de leur ai, mais toutes les combinaisons possibles avec les autres pi restants ne seront alors pas réalisées .

Nous allons considérer ici les 1728 termes dans lesquels on note p1 p2 p3 les trois pi qui ont trois valeurs distinctes de leur exposant respectif a1 a2 et a3, les six autres pi ont deux valeurs distinctes de leur ai ; l' ensemble de ces 1728 termes représentant toutes les combinaisons possibles à partir de ces éléments de base

Ainsi on a trois valeurs a11 a12 a13 pour a1, a21 a22 a23 pour a2 et a31 a32 a33 pour a3 Pour chacun de ces trois ai, deux des trois valeurs sont nécessairement de même parité.

Notons avec l' indice 1 et 2 respectivement ces deux valeurs pour chacun de ces trois ai.

Alors pour chacun de ces trois ai, on observe :

2 x (ai1 + ai2) = 4 x (l + m) si ai1 et ai2 pairs = 4 x (l + m) + 4 si ai1 et ai2 impairs Dans les deux cas on a affaire à un multiple de 4.

A partir de cela on est conduit à considérer dans la suite des 1728 termes définie précédemment, les termes qui mettent en jeu ces trois pi et les deux valeurs de même parité de leur ai.

Le choix des quatre termes dont on fait le produit est alors dicté par le fait que, dans le produit résultant, on doit voir figurer deux fois chacune des valeurs ai1 et ai2 considérées.

Pour décrire les quatre nombres dont le produit sera une puissance quatrième on peut utiliser une notation décrivant les exposants de chaque pi :

N1 (a11 a21 a31 a4r a5s a6t a7u a8v a9w) N2 (a11 a22 a31 a4r a5s a6t a7u a8v a9w) N3 (a12 a21 a32 a4r a5s a6t a7u a8v a9w) N4 (a12 a22 a32 a4r a5s a6t a7u a8v a9w)

Le produit N1N2N3N4 contient bien l' exposant 2 x (ai1 + ai2) pour les trois premiers pi ; lequel est un multiple de 4.

Il faut noter que, à partir le l' indice 4 pour ai, les valeurs retenues a4r a5s a6t a7u a8v a9w sont les mêmes pour les quatre nombres Ni : on a sélectionné 4 nombres Ni « se terminant » ainsi de la même façon : p4^a4r x p5^a5s x p6^a6t x p7^a7u x p8^a8v x p9^a9w

Cela est bien sûr possible puisque la suite considérée des 1728 nombres, contient toutes les combinaisons possibles formées à partir des valeurs des exposants ai (3valeurs pour les trois premiers pi et 2 valeurs pour les six autres pi)

Le produit de ces QUATRE nombres Ni ainsi sélectionnés est donc bien une puissance quatrième