B B B dB dB d ! dS B dS "" ! ! ! ! ! ! !

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1

E.M.VI - THÉORÈME D’AMPÈRE

1. Flux magnétique (conservatif)

• Contrairement à lʼélectrostatique, il nʼy a pas de “charges magnétiques”, et pour une surface S fermée, le flux magnétique est nul : Φ =

!

B•dS

""

S ^{= 0.}

De ce fait, pour un contour fermé Γ, le flux est le même à travers toute surface de bord Γ (en orientant la surface selon lʼorientation du contour) ; on cite généralement cette propriété en disant que le flux ma- gnétique est “conservatif”.

• Ceci peut se démontrer dans le cas du champ dʼun fil rectiligne “infini”, pour lequel les lignes de champ sont des cercles ayant le fil pour axe.

Le flux à travers toute surface fermée peut être décomposé en contributions infinitési- males à travers des “tubes de champ” toriques élémentaires.

Or les contributions algé- briques

!

B•dS = ± B_θ dSʼ se compensent aux extrémités de tels tores.

Dans le cas général, la contribution

!

dB de la loi de Biot et Savart possède les mêmes propriétés de symétrie, par rapport à lʼélément de courant

!

d! ^{, que le} champ

!

B dʼun fil rectiligne infini ; par suite

!

dB a un flux conservatif et

!

B aussi après intégration (compte tenu de lʼadditivité des flux).

◊ remarque : l'unité de base du flux magnétique est le weber (symbole Wb).

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2

2. Théorème d’Ampère

• Contrairement au cas de lʼélectrostatique, la “circulation” du champ

!

B sur un trajet fermé nʼest pas forcément nulle, car la circulation C =

!

B•d!

M

"

N ^{sur un}

trajet MN dépend en général du chemin suivi pour aller de M à N. De ce fait, le champ magnétique ne dérive pas dʼun potentiel (scalaire).

◊ remarque : par contre, le champ magnétostatique dérive dʼun “potentiel vecteur”, relation faisant intervenir lʼopérateur “rotationnel” (non étudié ici).

• Pour un fil rectiligne “infini”, dont le champ peut sʼécrire en coordonnées cylindriques

!

B =

!

µ₀I 2"r

!

u_", lʼintégration le long d'une ligne de champ donne :

C =

!

µ₀I

2"

$

d#^{= µ}⁰ N I où N est le nombre de tours du contour autour du fil.

Cette propriété se généralise à un champ magnétostatique quelconque ; elle peut sʼécrire (théorème dʼAmpère) : C =

!

B^•d!

"

#

^{= µ}⁰Îînt^{où I}înt désigne le courant total “traversant” le contour fermé (comptée un nombre de fois cor- respondant au nombre de tours).

3. Application au Solénoïde “infini”

• Pour un solénoïde rectiligne “infini” :

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3

◊ la symétrie par rapport au plan perpendiculaire à lʼaxe et contenant le point M étudié impose que

!

B est axial :

!

B(M) =

!

B(r, θ, z) = B_z(r, θ, z)

!

u_z ;

◊ les invariances par translation selon lʼaxe et par rotation autour de lʼaxe imposent : B_z(r, θ, z) = B_z(r) ;

◊ la circulation sur les contours Γ₁ et Γ₂ est nulle, donc le champ est uniforme à lʼintérieur et uniforme à lʼextérieur (mais avec des valeurs respec- tives B et Bʼ a priori différentes) ;

◊ la loi de Biot et Savart montre que le champ sur lʼaxe est B = µ₀nI où n est le nombre de spires par unité de longueur, donc cette valeur corres- pond au champ uniforme à lʼintérieur ;

◊ la circulation sur le contour Γ₃ est : C = (B - Bʼ) L = µ₀n_LI, où n_L est le nombre de spires correspondant à la longueur L, donc : B - Bʼ = µ₀nI et Bʼ = 0 à lʼextérieur.

◊ remarque : la loi de Biot et Savart est utile car on ne peut pas envisager la circulation sur une ligne de champ, infinie et non fermée (sinon il faut compa- rer avec les lignes de champ d'un solénoïde très long mais fini).

◊ remarque : on néglige ici lʼaspect hélicoïdal des spires, dans la mesure où lʼenroulement est assez “serré”.

& exercice n° I.