L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚4
Pour le lundi 16 mai.
Un enfant saute d’un sommet `a l’autre d’un triangle de sommets A, B, C trac´e sur le sol de la mani`ere suivante :
• s’il est au sommet A ou au sommet B, il sautera vers l’un des trois sommets du triangle avec la mˆeme probabilit´e (il peut donc ´eventuellement sauter sur place) ;
• s’il est au sommet C, il sautera toujours vers le sommet A.
Avant le premier saut, l’enfant se trouve en A (resp.B, resp.C) avec une probabilit´ea0 (resp.
b0, resp. c0). La probabilit´e que l’enfant soit en A (resp. B, resp. C) apr`es le n-i`eme saut est not´ee an (resp. bn, resp. cn). Pour chaque entier n, on pose :
Xn =
an
bn cn
∈R3.
1. Soitn∈N. Exprimer chacune des probabilit´es an+1,bn+1, cn+1, en fonction des probabi- lit´esan, bn, cn et montrer qu’il existe une matrice A∈ M3(R) (ind´ependante den) telle qu’on ait :
Xn+1 =AXn. 2. En d´eduire que :
∀n∈N Xn=AnX0. 3. Justifier que la matriceP d´efinie par :
P =
1 2 2
−1 1 −1 0 1 −1
est inversible et calculer P−1. 4. Calculer la matriceD=P−1AP.
5. Exprimer A en fonction deP, D etP−1.
6. Montrer par r´ecurrence que : ∀n∈N∗ An=P DnP−1. 7. Soitn∈N∗. Calculer Dn et en d´eduire An.
8. Exprimer alors an, bn, cn en fonction dea0,b0, c0 et de n pour tout n∈N.
9. ´Etudier le comportement asymptotique de chacune des suites (an)n∈N, (bn)n∈N, (cn)n∈Net interpr´eter les r´esultats obtenus.
