Un enfant saute d’un sommet à un autre d’un triangle de sommets A, B, C tracé à la craie sur le sol (un saut vertical est admis). Il joue de la manière suivante :

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Exercices de colle de la semaine 2

ECS2

Colle de 17h à 18h Exercice 2.1

Un enfant saute d’un sommet à un autre d’un triangle de sommets A, B, C tracé à la craie sur le sol (un saut vertical est admis). Il joue de la manière suivante :

• s’il est au sommet A ou au sommet B, il sautera vers le sommet A, B ou C avec la même probabilité ;

• s’il est au sommet C, il saute toujours vers le sommet A.

Avant le premier saut, l’enfant se trouve en A. La probabilité pour que l’enfant soit en A (resp. B, C ) après le n-ème saut est notée a _n (resp. b _n , c _n ).

1. (a) Déterminer des relations de récurrence entre a _n+1 , b _n+1 , c _n+1 et a _n , b _n , c _n . (b) Montrer qu’il existe une matrice A ∈ M 3 ( R ) telle que :

∀n ∈ N ,





 a n+1

b n+1

c _n+1





 = A





 a n

b n

c _n





 .

(c) En déduire que pour tout entier n,





 a _n b n

c n





 = A ⁿ





 a ₀ b 0

c ₀





 .

2. (a) Déterminer un polynôme annulateur P de degré 3 de A.

(b) Montrer que pour tout n ∈ N , il existe Q _n ∈ R [X] et (α _n , β _n , γ _n ) ∈ R ³ tels que : X ⁿ = P × Q _n + α _n X ² + β _n X + γ _n .

(c) Déterminer α n , β n , γ n en fonction de n.

(d) En déduire l’expression de A ⁿ en fonction de n.

3. Donner une expression des suites (a _n ) _{n∈ N} , (b _n ) _{n∈ N} et (c _n ) _{n∈ N} .

Exercice 2.2

On note, pour tout entier n ≥ 1, A _n = 1

n! n ⁿ e ⁻ⁿ √ n.

On note, pour tout entier n ≥ 2, a n = −1 −

n − 1 2

ln

1 − 1

n

.

1. À l’aide d’un développement limité, déterminer un équivalent simple de la suite a n . En déduire que la série ^X

n≥2

a n converge.

2. Montrer, pour tout entier n ≥ 2, que a n = ln(A n ) − ln(A n−1 ).

3. En déduire que la suite (A _n ) n∈ N

converge, et que sa limite ` est strictement positive.

4. Justifier que n! ∼ 1

` n ⁿ e ⁻ⁿ √ n.

1

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Exercice 2.3

Soit (A _n ) n∈ N

une suite d’évènements d’un espace probabilisé (Ω, A , P ). On note p _n = P (A _n ).

On note B = ^\

n≥1



 [

k≥n

A _k



 . 1. Expliquer pourquoi on a :

B = {ω ∈ Ω, ω appartient à une infinité des A _n }.

2. On suppose que la série ^X

k

P (A _k ) converge. Montrer que P (B) = 0.

3. On suppose que les évènements (A n ) sont indépendants, et que la série ^X

k

P (A _k ) est divergente.

(a) Montrer que l’évènement B est égal à ^[

n≥1





\

k≥n

A _k



 . (b) Exprimer P ^{T m} _k=n A _k en fonction des p _k .

(c) Montrer que la série ^X

k

ln(1 − p k ) est divergente.

On pourra pour cela discuter des cas p k → 0 et p k 9 0.

(d) En déduire que P (B ) = 1.

Colle de 18h à 19h Exercice 2.4

1. Montrer que pour tout k ∈ N et tout x ∈ R , cos ^(k) (x) = cos

x + k π 2

.

2. En déduire que cos ^(k) (0) =

( 0 si k est impair (−1) ^p si k = 2p est pair . 3. Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N :

cos(x) −

n

X

k=0

cos ^(k) (0) x ^k k!

≤ x ⁿ⁺¹ (n + 1)! . 4. En déduire que pour tout x ∈ R , la série ^X

k

(−1) ^k x ^2k

(2k)! est convergente et que

+∞

X

k=0

(−1) ^k x ^2k (2k)! = cos(x).

Exercice 2.5 ( FF )

Soit α ∈ R . Pour tout n ∈ N ^∗ , on pose u _n =

1 + 1 n ^α

n

.

1. Déterminer suivant la valeur du paramètre α la limite de la suite (u _n ).

On distinguera les cas α ≤ 0, 0 < α < 1, α = 1 et α > 1.

2. Déterminer suivant la valeur du paramètre α la nature de la série ^X (u n − 1).

Exercice 2.6

Un laboratoire fabrique un alcool-test et les essais montrent que :

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• 2% des personnes contrôlées sont en état d’ébriété ;

• 95 fois sur 100 l’alcool-test a donné un résultat positif alors que la personne était en état d’ébriété ;

• 95 fois sur 100 l’alcool-test a donné un résultat négatif alors que la personne n’était pas en état d’ébriété.

1. On essaie l’appareil sur une personne et on constate que le résultat est positif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en état d’ébriété ?

2. On essaie l’appareil sur une personne et on constate que le résultat est négatif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en état d’ébriété ?

3. Déterminer la probabilité que le résultat donné par l’appareil soit faux.

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