L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Recueil d’exercices d’analyse
Exercice 1 (suite d´ecroissante minor´ee)
Soit (un)n∈N une suite d´ecroissante et minor´ee par 0. Que peut-on dire du comportement asymptotique de (un)n∈N?
Exercice 2 (´etudes de limites de fonctions)
Etudier si les limites suivantes existent. Si oui, les calculer.´ (a) lim
x→+∞
x2−x+ 2
3−x (b) lim
x→+∞x−ln(x) (c) lim
x→−∞2x (d) lim
x→+∞
sin(x)
x (e) lim
x→0+xln(x)−1
Exercice 3 (´equivalents de suites) Montrer que ln
1 + 1
n
n→+∞∼ 1 n.
Exercice 4 (th´eor`eme d’encadrement et th´eor`eme de comparaison pour les suites)
1. Soitα∈R. Soit (un)n∈N une suite telle que :
∀n∈N, |un−α| ≤ 1
4 n
.
Que peut-on dire du comportement asymptotique de (un)n∈N? On d´emontrera le r´esultat.
2. Soit (un)n∈Nune suite telle que :
∀n∈ N, ln(n+ 1)≤un. Que peut-on dire du comportement asymptotique de (un)n∈N?
Exercice 5 (sommes t´elescopiques)
1. Sachant que :
∀k∈N∗, 1
k(k+ 1) = 1 k− 1
k+ 1 calculerSn =
n
X
k=1
1
k(k+ 1) pour toutn∈N∗.
2. En d´eduire le comportement asymptotique de (Sn)n∈N∗ et traduire le r´esultat dans le langage des s´eries.
Exercice 6 (th´eor`eme des valeurs interm´ediaires) Soitf la fonction d´efinie par :
f:R→R; x7→x3+ 2x2+ 3x+ 4.
Montrer que l’´equationf(x) = 0 poss`ede au moins une solution surR. 1
Exercice 7 (une application classique du th´eor`eme des accroissements finis)
Soitf: [0,1]→Rune fonction continue sur [0,1] et d´erivable sur ]0,1[. On suppose que :
∀x∈]0,1[, |f0(x)| ≤ 1 3. Montrer que :
∀x∈[0,1], ∀y∈[0,1], |f(x)−f(y)| ≤ |x−y]
3 .
Exercice 8 (calculs d’int´egrales)
Calculer les int´egrales suivantes apr`es avoir justifi´e qu’elles existent.
(a) Z 2
0
t
t2+ 4 dt (b) Z e
1
ln(t)
t dt (c) Z 1
0
te−tdt (d) Z 1
0
1 2 + 3t2 dt
Exercice 9 (suites d’int´egrales)
Pour toutn∈N, on poseIn= Z 1
0
tnet2 dt.
1. Montrer que pour toutn∈N, 0≤In ≤ e n+ 1.
2. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (In)n∈N.
Exercice 10 (suites d´efinies par r´ecurrence)
Soitf: [0,+∞[→Rtelle que :
(A) le tableau de signe def(x)−xest x 0 1 +∞
f(x)−x + 0 − (B) f est d´erivable sur [0,+∞[
(C) ∀x∈[0,+∞[, 0≤f0(x)≤ 1 2.
Soit (un)n∈Nla suite d´efinie paru0∈]1,+∞[ et la relation de r´ecurrence un+1=f(un)
valable pour toutn∈N. 1. (a) Que vautf(1) ?
(b) Quel est le sens de variation def?
2. (a) Montrer que la suite (un)n∈N est bien d´efinie et que pour toutn∈N,un ≥1.
(b) Montrer que la suite (un)n∈N est d´ecroissante.
(c) En d´eduire que la suite (un)n∈Nest convergente et pr´eciser sa limite.
3. (a) Montrer que pour toutn∈N,|un+1−1| ≤ 1
2 |un−1|.
(b) Montrer que pour toutn∈N,|un−1| ≤ 1
2 n
|u0−1|.
(c) En d´eduire une autre d´emonstration du r´esultat 2.(c).
2
Exercice 11 (th´eor`eme de la bijection) Soitf la fonction d´efinie par :
f: [0,+∞[→R; x7→ex−x−2.
1. Montrer quef r´ealise une bijection de [0,+∞[ sur un intervalle que l’on pr´ecisera. On notef−1la bijection r´eciproque.
2. Pr´eciserDf−1 et donner la d´efinition def−1(y), pour touty∈ Df−1. 3. Justifier qu’il existe un unique r´eelα∈[0,+∞[ tel quef(α) = 0.
4. En d´eduire le tableau de signes def.
5. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´eD0f−1 def−1. 6. V´erifier que 0∈ Df0−1 et montrer que (f−1)0(0) = 1
eα−1.
Exercice 12 (fonction d´efinie par une int´egrale) SoitF la fonction d´efinie par :
F: ]1,+∞[→R; x7→
Z 2x
x
1 ln(t) dt.
1. Justifier que la fonctionF est bien d´efinie.
2. Montrer queF est d´erivable sur ]1,+∞[ et calculerF0(x) pour toutx∈]1,+∞[.
3. D´eterminer le sens de variation deF sur ]1,+∞[.
4. Pr´eciser le signe deF sur ]1,+∞[.
5. (a) Soitx∈]1,+∞[ et soitt∈[x,2x]. Montrer que : 1
ln(2x) ≤ 1
ln(t) ≤ 1 ln(x) et en d´eduire un encadrement deF(x).
(b) En d´eduire queF(x) →
x→+∞+∞.
6. (a) Montrer que pour toutt∈]0,+∞[, ln(t)≤√
t.On pourra utiliser l’encadrement 0,6<ln(2)<0,7.
(b) En d´eduire queF(x) →
x→1++∞.
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