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2) En utilisant cet algorithme, montrer que si toutes les composantes deb sont positives, il en est de mˆeme de celles dex

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour 2017-2018

D´epartement de Math´ematiques Licence L3 – ANSL

Devoir Maison n◦2

Exercice 1. On consid`ere la matriceA∈Rd×d,d≥3, d´efinie par a11= 1, a22= 2, ai,i= 3 pour i= 3, . . . , d a12=a21=−1, ai,i+1=ai+1,i= 0 pour i= 2, . . . , d−1

ai,i+2=ai+2,i=−1 pour i= 1, . . . , d−2

et ai,j = 0 pour toutes les autres valeurs de ietj.

1) Donner de mani`ere pr´ecise un algorithme de r´esolution du syst`eme lin´eaire Ax = b. Quel est le nombre d’op´erations n´ecessaires ? Montrer que la matrice Aest d´efinie positive.

Indication : on explicitera la factorisation de Cholesky de la matriceA.

2) En utilisant cet algorithme, montrer que si toutes les composantes deb sont positives, il en est de mˆeme de celles dex. En d´eduire que les coefficients deA−1sont tous positifs.

3) Soitele vecteur deRd tel queeT = (1,1, . . . ,1), montrer que l’on a A−1

∞=

A−1e ∞. En d´eduire la valeur du nombre de condition C∞(A) =kAk∞

A−1

∞, pour les valeurs d= 4 et d= 5.

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