Cours de math´ematiques
Statistiques ` a deux variables
D´efinition 1. Les statistiques `a deux variables consistent `a ´etudier deux caract`eres simultan´e- ments. Dans le cas o`u les deux caract`eres sont d’ordre quantitatif la s´erie de leurs valeurs se note (xi;yi)16i6n o`u nest l’effectif total.
Exemple 1. Etude simultan´´ ee du poids et de la taille des individus d’une population.
D´efinition 2. On appelle nuage de pointsassoci´e `a une s´erie statistique(xi;yi)16i6n, l’ensemble des points de coordonn´ees (xi;yi) dans un rep`ere orthogonal.
Exercice 1. On consid`ere la s´erie statistique `a deux variables suivante :
xi 1 3 4 5 7 yi 2 4 2 4 3 Repr´esenter le nuage de points associ´e `a cette s´erie statistique.
D´efinition 3. On appelle point moyen du nuage de points associ´e `a une s´erie statistique (xi;yi)16i6n le point G(x;y) avec x= Σxi
n et y = Σyi
n .
Exercice 2. D´eterminer les coordonn´ees du point moyen du nuage de l’exercice pr´ec´edent.
D´efinition 4. On appelle droite d’ajustement d’un nuage de points toute droite le rempla¸cant
«au mieux» .
Exemple 2. Les droites d’´equations y = 3 et y = 1
2x + 1 sont des droites d’ajustement du nuage de points de l’exercice pr´ec´edent.
Propri´et´e 1. Pour toute droite d’ajustement passant par le point moyen du nuage, la somme des ´ecarts verticaux des points par rapport `a cette droite est nulle.
Exercice 3. V´erifier la propri´et´e pour les droites d’ajustement pr´ec´edentes.
D´efinition 5. On appelle droite de r´egression deyenxou droite d’ajustement deyenxpar la m´ethode des moindres carr´es d’un nuage de points la droite qui minimise la somme des carr´es des ´ecarts verticaux.
Propri´et´e 2. La droite de r´egression dey enx d’un nuage de points passe par le point moyen.
Propri´et´e 3. La droite de r´egression de yenxd’un nuage de points a pour ´equation y=ax+b avec a= Σ(xi−x)(yi−y)
Σ(xi−x)2 etb=y−ax.
Exercice 4. D´eterminer la droite de r´egression de y en x du nuage de points de l’exercice pr´ec´edent.
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