Übungen 11
Einführungskurs Logik, Universität Bern, Frühlingssemester 2012 abzugeben vor Montag, dem 14.5.2012, 14h15
Name(n):
Erzielte Punkte (in 4 Fragen mit insgesamt 20 Punkten): Note:
1. (4 Punkte) Bestimme Sie mittels der Baummethode, ob folgende Formeln gültig sind:
(a) “∃x∀y(Rxy)→ ∀y∃x(Rxy)” (b) “∀x(F x)→ ∃x(F x)”
(c) “¬∃y(P y) → ∀y(F y→ ∃xF x)”
(d) “∀x(F x→(Gx∧Hx))→ ∀x((F x∧Gx)→Hx)”
2. (4 Punkte) Finden Sie mittels der Baummethode Modelle für die folgenden Formeln:
(a) “∃x∀y(Rxy)∧ ∃x∃y(¬Rxy)”
(b) “∀x(¬Sxx)∧ ∃x∃y∃z(Sxy∧Syx∧ ¬Sxz)” (c) “∀x∃y(Rxy)∧ ∀x(¬Rxx)∧ ¬∀x∀y(Rxy→Ryx)” (d) “∀x∃y(Rxy)∧ ∀x(¬Rxx)∧ ∃x∃y(Rxy∧ ¬Ryx)”
3. (6 Punkte) Überprüfen Sie die Gültigkeit folgender Formeln mittels der Baummethode.Beschrei- ben Sie (in natürlicher Sprache) Strukturen, in denen die Umkehrungen von (b) und (d) falsch sind.
(a) “∀x(F x∧Gx)↔(∀x(F x)∧ ∀x(Gx))” (b) “(∀xF x∨ ∀xGx)→ ∀x(F x∨Gx)” (c) “∃x(F x∨Gx)↔(∃x(F x)∨ ∃x(Gx))” (d) “∃x(F x∧Gx)→(∃x(F x)∧ ∃x(Gx))”
4. (6 Punkte) Seien die folgenden Abkürzungen gegeben:
“p” für “∀x∀y(Rxy→Ryx)” (“die RelationRist symmetrisch”)
“q” für “∀x∀y∀z((Rxy∧Ryz)→Rxz)” (“die RelationRist transitiv”)
“r” für “∀x∀y(Rxy→Rxx)” (“die RelationRist reflexiv”)
“s” für “∀x∃y(Rxy)” (“die RelationRist ‘offen”’)
“t” für “∀x∀y(Rxy→ ¬Ryx)” (“die RelationRist anti-symmetrisch”) (a) Beweisen Sie mittels der Baummethode folgende Behauptung:
(p∧q)→r (1)
(b) Zeigen Sie, dass es mit der Baummethode nicht möglich ist, für folgenden Satz ein Modell zu finden:
¬((q∧s∧t)→ ∃x∀y(¬Ryx)) (2)
(c) Beschreiben Sie eine Struktur, in der (2) wahr ist.
