UPMC 3M270 Algèbre 2018-2019
TD 1
1 Groupes et sous-groupes
Exercice 1. Soit (E,∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne ∗ associative, avec élément neutre à gauche e (i.e.pour tout x∈G, on a ex=x) et telle que tout élément deGadmet un inverse à gauche pour e(i.e.
pour toutx∈G, il existey∈Gtel que l’on aityx=e). Montrer queGest un groupe.
Exercice 2. Soit Gun groupe dont tous les éléments sont d’ordre au plus 2. Montrer que Gest abélien. Si Gest fini, on peut même montrer que son cardinal est une puissance de 2.
Exercice 3. SoitH un sous-ensemble non-vide d’un groupeG.
1) Montrer queH est un sous-groupe deGsi et seulement si on ag−1h∈H pour tousg, h∈H. 2) Un sous-groupe deGest-il un groupe ?
Exercice 4. SoitGun groupe. Montrer que l’intersection de deux sous-groupes deGest un sous-groupe deG. Que dire de la réunion de deux tels sous-groupes ?
Exercice 5. Soient Gun groupe et H un sous-ensemble fini non-vide de Gstable pour la loi de composition deG.
Montrer queH est un sous-groupe deG. Donner un contre-exemple dans le cas où H n’est pas supposé fini.
Exercice 6. Décrire le groupe D3 des isométries d’un triangle équilatéral. Montrer qu’il est engendré par deux éléments. De même, décrire le groupeD4des isométries d’un carré, et montrer qu’il est engendré par deux éléments.
Exercice 7. SoitGun groupe. On définit soncentre comme étant l’ensemble
Z(G) = {g∈G, ∀h∈G, hg=gh} . 1) Montrer queZ(G)est un sous-groupe deG.
2) On suppose queGadmette un unique élément d’ordre2. Montrer que cet élément est dansZ(G).
3) Déterminer le centre deGLn(R).
4) Quel est le centre deD4? celui deD3?
Exercice 8. SoitH un sous-groupe additif deZ. Montrer qu’il existe un entier naturelntel que l’on ait
H = nZ .
Indication : considérer le plus petit entier naturel non nul appartenant àH.
Exercice 9. Le groupe des rotations du plan.Pour chaque réel ϑ, on pose
Rϑ =
"
cos (ϑ) −sin (ϑ) sin (ϑ) cos (ϑ)
# ,
que l’on appelle rotation du plan autour de l’origine d’angle ϑ. On note R le sous-groupe deGL2(R)engendré par lesRϑ. Montrer qu’un sous-groupe finiH deRest engendré par une seule rotation.
Exercice 10. Le groupe des mouvements.On noteM l’ensemble des fonctions
f : R2 −→ R2 qui préservent la distance, c’est-à-dire qui vérifient
kf(x)−f(y)k = kx−yk
pour tous pointsxety du plan. Les éléments deM sont appelésmouvements rigides.
1) Montrer queM est un groupe pour la composition des applications.
2) Le groupeM est-il abélien ?
3) On noteO l’ensemble des éléments deM qui fixent l’origine. Montrer queO est un sous-groupe deM. 4) On note S la réflexion du plan par rapport à l’axe des abscisses. On note R la rotation d’angle 2πn et de centre l’origine, oùn≥3est un entier fixé. Montrer que
Dn =
id, R, . . . , Rn−1 ∪
S, SR, . . . , SRn−1 est un sous-groupe non-abélien deO.
5) On notePnle polygone régulier àncôtés ayant un sommet au point(1,0). Montrer queDnest le sous-groupe deO constitué des éléments stabilisantPn,i.e.des élémentsσ∈O tels que l’on aitσ(Pn) = Pn.
Exercice 11. Le but de cet exercice est de montrer queO est le groupeO2(R)des matrices orthogonales.
1) Rappeler la définition deO2(R), et montrer qu’il est inclus dans le groupeO défini précédemment.
2) On noteh·,·ile produit scalaire usuel du plan. Montrer qu’un élément f deM est dansO si et seulement si l’on a, pour tous points xet ydu plan,
hf(x), f(y)i = hx, yi .
Indication : développer kx−yk2.
3) Soitf un élément deO. On note(e1, e2)la base canonique deR2, et on pose ( f1 = f(e1)
f2 = f(e2) .
Montrer quef est la matrice dont les colonnes sontf1 et f2. Conclure.
Exercice 12. SoitGun groupe fini de cardinal2n, oùnest un entier naturel au moins égal à2. On suppose queG contient deux sous-groupes H et H0 de cardinal ntels que l’on aitH∩H0 = {e}, oùeest le neutre deG.
1) Montrer queG \ (H∪H0)est un singleton, noté{a}.
2) Soith∈H \ {e}. Montrer que l’on ahH0 = {h, a}, puis que l’on an = 2.
3) On écritG = {a, e, h, h0}. Donner la table deG, puis un exemple d’un tel groupe.
2 Morphismes de groupes
Exercice 13. SoientGetH deux groupes. On noteeG eteH les neutres respectifs deGet deH. 1) Rappeler la définition d’un morphisme de groupes.
Soitf :G−→H un morphisme de groupes 2) Montrer que l’on af(eG) = eH. 3) Montrer que l’on af g−1
= f(g)−1 pour toutg∈G.
4) Montrer que le noyau def est un sous-groupe deG, et que l’image def est un sous-groupe deH. 5) Montrer que l’on akerf = {eG} si et seulement sif est un morphisme injectif.
Exercice 14. Traduire en termes de morphismes les propriétés suivantes.
1) Pour tousx, y∈R∗+, on aln (xy) = lnx+ lny.
2) Pour tousM, M0∈GLn(R), on a det (M M0) = (detM) (detM0).
3) Pour tousz, z0∈C, on a|zz0| = |z| |z0|.
4) Pour tousx, y∈R∗+, on a√
xy = √ x√
y.
5) Pour tousz, z0∈C, on aez+z0 = ezez0. 6) Pour tousz, z0∈C, on az+z0 = z+z0.
Exercice 15. Déterminer tous les endomorphismes de groupes deZ. Parmi ceux-ci, déterminer ceux qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs.
Exercice 16. Montrer que les groupes multiplicatifsR∗ et C∗ ne sont pas isomorphes.
Exercice 17. 1) Montrer que les groupes(R,+) et R∗+,×
sont isomorphes.
2) Qu’en est-il des groupes(Q,+)et Q∗+,×
?
Exercice 18. SoitGun groupe.
1) Montrer que l’ensemble des automorphismes deGest un groupe pour la loi de composition, noté Aut(G).
2) Montrer que l’application
Φ : G −→ Aut(G)
g 7→ [Φ (g) : h 7→ ghg−1 est un morphisme de groupes. Déterminer son noyau.
3) Déterminer les groupes Aut(Z)et Aut(Q).
Exercice 19. 1) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, le groupe quotient Q/Zcontient exactement un sous-groupe cyclique d’ordren.
2) Soitαun élément deQ/Z. Quels sont les sous-groupes cycliques de Q/Zqui contiennentα? 3) Déterminer les morphismes de groupes deZ/nZdansQ/Z.
4) Déterminer les morphismes de groupes deQ/ZdansZ.
3 Sous-groupes distingués
Exercice 20. Déterminer un groupeG, un sous-groupeH deG, et un sous-groupeKdeG, tels queKsoit distingué dansH etH soit distingué dansG, mais tel queK ne soit pas distingué dansG.
Exercice 21. SoientGetH deux groupes, ainsi quef :G−→H un morphisme de groupes.
1) Montrer que le noyau def est un sous-groupe distingué deG.
2) L’image d’un sous-groupe distingué de Gest-elle un sous-groupe distingué deH? L’image réciproque d’un sous-groupe distingué deH est-elle un sous-groupe distingué deG?
3) Le groupe SLn(R) est-il distingué dans GLn(R)? Qu’en est-il de On(R) dans GLn(R), puis de SOn(R) dansOn(R)?
Exercice 22. SoitGun groupe.
1) On définit lecentre deGpar
Z(G) = {g∈G, ∀h∈G, gh=hg} . Montrer queZ(G)est un sous-groupe distingué deG.
2) On définit le groupe dérivé deGcomme étant le sous-groupeD(G)engendré par les éléments qui s’écrivent sous la formexyx−1y−1. Montrer queD(G)est distingué dansG.
3) Déterminer le centre et le groupe dérivé du groupe des quaternionsH8.
4) Même question pourGLn(R), pourSLn(R), pour le groupeBn(R)des matrices triangulaires supérieures inversibles, et pour le groupeUn(R)des matrices triangulaires supérieures avec des1 sur la diagonale.
Exercice 23. Sous-groupes caractéristiques. Un sous-groupe H d’un groupe G est dit caractéristique si pour tout élément αde Aut(G), on a α(H) = H.
1) Montrer que le centre et le groupe dérivé d’un groupeGsont tous deux caractéristiques.
2) Montrer que siH est un sous-groupe caractéristique deG, alors il s’agit d’un sous-groupe distingué deG.
Donner un contre-exemple à la réciproque.
3) SoientG un groupe, ainsi queH un sous-groupe caractéristique deGet K un sous-groupe caractéristique deH. Montrer queK est un sous-groupe caractéristique deG.
4) SoientGun groupe, ainsi que H un sous-groupe distingué deGet K un sous-groupe caractéristique deH.
Montrer queK est un sous-groupe distingué deG. S’agit-il d’un sous-groupe caractéristique deG?
Exercice 24. SoitH un sous-groupe d’un groupeG. On définit lesconjugués deH comme étant les sous-ensembles de G de la forme xHx−1, pour x ∈ G. Montrer que les conjugués de H sont des sous-groupes de G, et que leur intersection est un sous-groupe distingué deG.
Exercice 25. SoientGun groupe etH un sous-groupe deG.
1) Montrer queH est distingué dansG si et seulement s’il existe un groupe K tel que H soit le noyau d’un morphisme de groupes deGdansK.
2) On suppose queH soit d’indice2dansG. Montrer queH est distingué dans G.
Exercice 26. SoientGun groupe etA une partie non vide deG. On appellenormalisateur deAla partie
NG(A) =
g∈G, gAg−1=A , deG, et on définit lecentralisateur deApar
CG(A) =
g∈G, ∀a∈A, gag−1=a .
Montrer queNG(A)etCG(A)sont des sous-groupes deG, et queCG(A)est distingué dansNG(A).
4 Théorème de Lagrange
Exercice 27. 1) Rappeler le théorème de Lagrange.
2) Soientpun nombre premier etH un groupe d’ordrep. Quels sont les sous-groupes deH?
Exercice 28. SoientGun groupe, ainsi queH etK deux sous-groupes finis deGd’intersection triviale. On définit le sous-ensembleHK deGpar
HK = {hk, h∈H, k∈K} .
1) Montrer que le cardinal deHK est égal à#H×#K. L’ensembleHK est-il un groupe ?
2) On suppose queGsoit d’ordrepq, oùpest premier et vérifiep > q. Montrer queGa au plus un sous-groupe d’ordrep. Montrer que si ce sous-groupe existe, alors il est distingué dansG.
Exercice 29. SoientGun groupe fini de neutreeetxun élément deG. Montrer que l’on a les propriétés suivantes.
1) L’ordre dexest fini.
2) Les élémentse, x, x2, . . . , xo(x)−1 sont distincts, et sont exactement les éléments dehxi.
3) L’ordre dexest égal au cardinal dehxi.
4) L’ordre dexdivise celui deG.
5) On ax#G = e.
6) Sik∈Zvérifiexk = e, alorskest un multiple de l’ordre dex.
7) On aZ/o(x)Z ' hxien tant que groupes.
8) Pour toutk∈Z, l’ordre de xk vaut pgcd(o(x), k)o(x) .
Exercice 30. SoitGun groupe. On noteo(a)∈N∪ {+∞}l’ordre d’un élémentadeG. On se donneaetbdansG.
1) Montrer que l’on ao a−1
= o(a).
2) Montrer que l’on ao(ab) = o(ba).
On suppose désormais aet btous deux d’ordre fini.
3) On suppose dans cette question queaet b commutent. Montrer que l’ordre deab diviseppcm (o(a), o(b)).
Montrer que ces deux quantités ne sont pas forcément égales.
4) On note hai et hbi les sous-groupes de G respectivement engendrés par a et b. On suppose o(a) et o(b) premiers entre eux. Montrer que l’on ahai ∩ hbi = {e}.
5) On suppose dans cette question queaet bcommutent, et que leurs ordres sont premiers entre eux. Montrer que l’on a o(ab) = o(a)o(b).
6) Donner un contre-exemple aux questions3 et5 siaetb ne commutent pas. Donner un contre-exemple à la question 5si les ordres deaetb ne sont pas premiers entre eux.
Exercice 31. 1) Donner des exemples d’entiers n et d, avec ddivisant n, et de groupes d’ordren n’ayant pas de sous-groupes d’ordre d.
2) Soitpun nombre premier. Montrer que tout groupe d’ordrepest cyclique.
Exercice 32. SoientGun groupe, ainsi quegun élément deGd’ordre fini etf :G−→H un morphisme de groupes.
Montrer que l’ordre de f(g)dansH est fini et divise l’ordre degdansG.
Exercice 33. SoientGun groupe fini etnun entier premier avec#G. Montrer que l’application
G −→ G g 7→ gn est une bijection de Gsur lui-même.
Exercice 34. Montrer que l’ensemble des éléments d’ordre fini d’un groupe abélienH est un sous-groupe deH.
Exercice 35. SoitGun groupe.
1) Montrer que l’applicationx7→x−1 est un morphisme de groupes si et seulement siGest abélien.
2) On supposeGfini. Soitϕun endomorphisme involutif deG, i.e. vérifiantϕ◦ϕ=idG, dont le seul point fixe est le neutree. Montrer que pour tout z∈G, il existet∈Gtel que l’on aitz=tϕ t−1
. En déduire l’expression de l’endomorphismeϕ, puis queGest abélien.
Exercice 36. SoitGun groupe dont l’ensemble des sous-groupes propres est fini. Montrer queGest fini.
5 Groupes abéliens d’ordre p
nExercice 37. Soitpun nombre premier. On appellep-groupe un groupe dans lequel l’ordre de tout élément est une puissance dep. Soit(A,+)unp-groupe abélien fini.
1) Soientk un entier non multiple depet aun élément deA. Montrer queaet kaont même ordre dansA.
2) On notea0un élément deAd’ordre maximalpn0. On noteA0le quotientA/ha0ietπla projection canonique
π : A −→ A0 . a) Montrer que A0 est encore unp-groupe abélien fini.
Soita0un élément deA0, dont on notepn0 l’ordre. Le but est de montrer qu’il existeadansAd’ordrepn0 tel que l’on ait π(a) = a0. Soitb∈A tel que l’on aitπ(b) = a0.
b) Montrer qu’il existe deux entiers naturels k et n, où k n’est pas un multiple de p, tels que l’on ait l’égalitépn0b = pnka0dansA.
c) Si pn0best nul (dans A), montrer que a = b répond au problème. Sinon, montrer que l’on an≥n0. Indication : raisonner par l’absurde, et montrer que l’ordre de bvaut alors n0+n0−n.
d) Montrer que, dans le second cas de la question précénte, l’élément a = b−pn−n0ka0convient.
3) On se propose maintenant de montrer qu’il existe des entiers naturels non nulsn1, . . . , nr tels que l’on ait
A ' (Z/pn0Z)×(Z/pn1Z)× · · · ×(Z/pnrZ) ,
en tant que groupes additifs, oùn0est comme dans la question2. On va procéder par récurrence sur le cardinal deA.
a) Traiter le cas oùA est trivial.
b) SiAn’est pas le groupe trivial, montrer que l’on a#A0 < #A. Par hypothèse de récurrence, on peut donc fixer des entiersn1, . . . , nr tels que l’on ait
A0 ' (Z/pn1Z)× · · · ×(Z/pnrZ)
comme groupes additifs. Pour touti ∈J1, rK, on note a0i l’élément deA0 dont toutes les coordonnées dans l’écriture ci-dessus sont nulles, sauf lai-ème, qui vaut1. Montrer que, pour touti∈J1, rK, il existe un élémentaideAde même ordre quea0i, tel que l’on aitπ(ai) = a0i.
c) Montrer que l’application
ϕ : (Z/pn0Z)×(Z/pn1Z)× · · · ×(Z/pnrZ) −→ A qui envoie chaque ei suraiest un isomorphisme de groupes additifs.
6 Relations d’équivalence
Exercice 38. Les relations binaires suivantes sont-elles réflexives, symétriques, transitives ? 1) L’égalité surR.
2) L’ordre strict<surR. 3) L’ordre≤surR.
4) La relation « avoir le même carré » surR. 5) La relation « avoir le même sinus » surR.
6) Le parallélisme, sur l’ensemble des droites du plan.
7) L’orthogonalité, sur l’ensemble des droites du plan.
Exercice 39. SoientX un ensemble et R1,R2 deux relations d’équivalence surX. On définit la relation binaireR0
parxR0ysi(xR1yetxR2y). Montrer queR0 est une relation d’équivalence.
Exercice 40. SoientX un ensemble etRune relation d’équivalence surX. On rappelle que laclasse d’équivalence dex∈X est définie par
[x] = {y∈X, xRy} . Montrer que, pour tout(x, y)∈X2, on a les équivalences suivantes
x∈[y] ⇐⇒ y∈[x] ⇐⇒ [x] = [y] ⇐⇒ [x]∩[y]6=∅ .
Exercice 41. On définit la relation binaireRsurCparzRz0si|z| = |z0|. Montrer queRest une relation d’équivalence, et déterminer ses classes d’équivalence.
Exercice 42. Relations d’équivalences et partitions. SoitX un ensemble. On rappelle qu’une partition de X est un ensembleΠ de sous-ensembles non vides de X deux à deux disjoints tel que pour toutx∈X, il existeA∈Π pour lequel on aitx∈A.
1) Donner des exemples de partitions d’ensembles.
2) SoitRune relation d’équivalence surX. Pour toutx∈X, on note[x]la classe d’équivalence de x. Montrer que l’ensembleΠ = {[x], x∈X} est une partition deX.
3) Soit Πune partition de X. Montrer que la relation binaireR sur X définie par xRy sixet y sont dans le même élément de Πest une relation d’équivalence surX.
4) En déduire qu’il existe une bijection entre l’ensemble des relations d’équivalence sur X et l’ensemble des partitions deX.
Exercice 43. Soient X, Y deux ensembles non vides et f :X −→Y une application surjective. Pour tout y ∈Y, on pose Xy = {x∈X, f(x) =y}. Montrer que l’ensemble des Xy forme une partition de X. Décrire la relation d’équivalence associée.
Exercice 44. Soitnun entier naturel non nul. On définit la relation d’équivalence≡nsurZpara≡nbsia−b∈nZ. On parle d’égalité modulon, aussi notéea≡b modnoua≡b[n].
1) Montrer que≡n est une relation d’équivalence.
2) Donner le nombre d’éléments de l’ensemble quotientZ/≡n, ainsi qu’un système de représentants.
3) Montrer que≡n est compatible avec l’addition et la multiplication surZ.
4) On étend≡n en une relation surRen posanta≡nbsi l’on aa−b∈nZ. Montrer que cette relation binaire est encore une relation d’équivalence. Est-elle compatible avec l’addition et la multiplication sur les réels ?
Exercice 45. Soient X et Y deux ensembles non vides, ainsi que f : X −→ Y une application. On se donne une relation d’équivalenceR surX, et on note
π : X −→ X/R
la projection canonique, qui envoie un élément xdeX sur sa classe d’équivalence [x] moduloR. On suppose quef soit compatible avec R, c’est-à-dire que l’on ait
∀(x, y)∈X2, xRy =⇒ f(x) = f(y) . Montrer qu’il existe une unique fonction
g : X/R −→ Y telle que l’on aitf = g◦π.
Exercice 46. 1) On définit la relation binaireRsur X = N2 par(a, b)R(a0, b0)si l’on aa+b0 = a0+b. Montrer queR est une relation d’équivalence, et identifier l’ensemble quotient associé.
2) Idem avecX = Z×N∗ et(p, q)R(p0, q0)sipq0 = p0q.
3) Idem avecX = R2 et(x, y)R(x0, y0)siy = y0.
Exercice 47. SoientGun groupe etH un sous-groupe deG. On définit surGla relation binaireRparaRbsia−1b est dans H.
1) Montrer queRest une relation d’équivalence. Quelle est la classeR(g)d’un élémentg deG? DécrireG/R.
2) L’ensembleG/Rest notéG/H, et la classeR(g)est notéegH. Montrer queG/Hn’est pas un groupe pour la loi définie par (gH) (g0H) = (gg0)H.
3) Montrer queG/H est un groupe pour la loi ci-dessus quandH est distingué dans G.
