∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Objectifs du chapitre :

(1)

Chap. n°18 : Intégration, partie 3.

Objectifs du chapitre :

C18.a - Niv1 - Savoir appliquer la technique d’intégration par partie.

C18.b - Niv1 - Savoir appliquer la technique de changement de variable.

C18.c - Niv1 - Volumes de solide de révolution

Activité d’approche n°1

1. Rappeler la formule de la dérivée d’un produit de deux fonctions u et v .

...

2. On considère que les fonctions u et v , en plus d’être dérivables, sont continues.

Déduire de la relation précédente une relation entre ∫

a b

u ’ ( t ) v ( t ) dt , ∫

a b

u ( t ) v ’ ( t ) dt et

[ ^u ⁽ ^t ⁾ ^v ⁽ ^t ⁾ ]

a b

.

...

3. Déduire de ce qui précède ∫

a b

u ’ ( t ) v ( t ) dt en fonction de ∫

a b

u ( t ) v ’ ( t ) dt et [ ^u ⁽ ^t ⁾ ^v ⁽ ^t ⁾ ]

a b

,

et ∫

a b

u ( t ) v ’ ( t ) dt en fonction de ∫

a b

u ’ ( t ) v ( t ) dt et [ ^u ⁽ ^t ⁾ ^v ⁽ ^t ⁾ ]

a b

.

...

4. Application : on veut calculer ∫

0 π

t sin t dt .

a. On choisit u’(t) = t et v(t)=sin t . Que valent u(t) et v’(t) ?

...

b. Écrire l’une des relations précédentes (celles de la question 3 ) et l’appliquer ici.

Que constate-t-on ?

...

(2)

c. Modifier les choix du a. et écrire la nouvelle relation obtenue. Terminer le calcul.

...

Fin de l’activité d’approche n°1

Cours n°1 : Intégration par partie

C18.a - Niv1 - Savoir appliquer la technique d’intégration par partie.

Théorème n°1

Soient u et v deux fonctions, dérivables sur [ a ; b ] . Alors, on a :

∫

a b

u ' ( t ) v ( t ) dt =……… et :

∫

a b

u ( t ) v ' ( t ) dt =………

Démonstration : cf activité 1.

Exemple n°1 :

Calculer ∫

0 1

xe

^x

dx .

...

(3)

...

(résultat : -4e+7 )

Exemple n°2 :

Calculer ∫

−1 2

( 1+t )

²

e

^3t

dt .

...

(4)

(résultat : −2

27 e

^-3

+ 65 27 e

⁶

)

FIN du cours n°1

Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester C18.1

Objectifs.

C18.a - Niv1 - Savoir utiliser l’intégration par partie. 1 2 3 4 (Ex.1 du Setester du cours n°1) , Exercice n°1

Calculer ∫

−1 9

( 7 t + 4 ) e

^t

dt

...

(Ex.2 du Setester du cours n°1) , Exercice n°2 Calculer ∫

−1 9

( 7 t +6 )

²

e

^3t

dt

(5)

...

(6)

...

(7)

Résultats

Ex1 : ∫

−1 9

( 7 t + 4 ) e

^t

dt = 60e

⁹

+ 10e

^-1

. Ex2 : ∫

−1 9

( 7 t +6 )

^¿

dt = 40049

27 e

²⁷

− 149 27 e

^-3

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester C18.1

Objectifs.

C18.a - Niv1 - Savoir utiliser l’intégration par partie. 1 2 3 4 (Ex.1 du Setester du cours n°1) , Exercice n°3

Calculer ∫

−1 7

( 5 t + 7 ) e

^t

dt

...

(8)

...

(Ex.2 du Setester du cours n°1) , Exercice n°4 Calculer ∫

−1 4

( 9 t +6 )

²

e

⁴^t

dt

...

(9)

...

(10)

Résultats

Ex1 : ∫

−1 7

( 5 t + 7 ) e

^t

dt = 37e

⁷

+ 3e

^-1

. Ex2 : ∫

−1 4

( 9 t +6 )

^¿

dt = 12681

32 e

¹⁶

− 261 32 e

^-4

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1

Interrogation n°1

Objectif : C18.a - Niv1 - Savoir appliquer la technique d’intégration par partie.

Exercices du cours n°1

(Cours n°1) , Exercice n°5

Calculer les intégrales suivantes : 1. I

1

= ∫

0

π

x sin x dx

2. I

2

= ∫

0

π

x

²

cos x dx

3. I

3

= ∫

0 1

x

²

e

^x

dx

4. I

4

= ∫

1 2

x ln x dx

5. I

5

= ∫

1 2

x

²

ln x dx

(Cours n°1) , Exercice n°6

Calculer les intégrales suivantes : 1. I

1

= ∫

1 x

ln t dt

2. I

2

= ∫

1 x

ln

²

t dt

3. I

3

= ∫

1 x

ln

³

t dt

4. I

4

= ∫

1 x

( t

³

−t ) e

²^t

dt

(Cours n°1) , Exercice n°7

On définit, pour tout entier naturel n non nul, l'intégrale I

n

=

1. Calculer I

1

.

2. Établir que, pour tout entier naturel non nul, 0 ⩽ I

n

⩽ 2

ⁿ

n! (e²-1) .

(11)

3. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, I

n+1

= I

n

- 2

ⁿ⁺¹

( n+ 1 ) ! ^.

4. Démontrer que e

²

=1 + 2 1! + 2

²

2 ! + …+ 2

ⁿ

n! +I

n

. 5. Pour tout entier naturel non nul, on pose u

n

= 2

ⁿ

n! ^.

a. Calculer u

_n+1

u

_n

, et prouver que, pour tout n ⩾ 3 , u

n+1

⩽ 1 2 u

n

. b. En déduire que, pour tout n ⩾ 3 , 0 ⩽ u

n

⩽ u

3

( ¹ 2 )

ⁿ⁻³

^.

c. En déduire la limite de la suite (u

n

) .

6. Déduire la limite de la suite (I

n

) à partir des réponses précédentes.

7. En déduire que e

²

= lim

n→ +∞

1 + 2 1 ! + 2

²

2 ! + …+ 2

ⁿ

n !

8. Cette égalité permet de trouver une valeur approchée de e

²

. Déterminer le nombre

n pour approcher e

²

à 10

^-9

près.

(Cours n°1) , Exercice n°8

On considère les suites (x

n

) et (y

n

) définies pour tout entier naturel n non nul par x

n

=

∫

0 1

t

ⁿ

cos t dt et y

n

= ∫

0 1

t

ⁿ

sin t dt

1.a. Montrer que la suite (x

n

) est minorée.

b. Étudier les variations de la suite (x

n

) . c. Que peut-on en déduire ?

2.a. Démontrer que, pour tout entier n non nul, x

n

⩽ 1 n+1 ^.

b. En déduire la limite de la suite (x

n

).

3.a. Montrer que, pour tout entier n non nul, x

n+1

= -(n+1)y

n

+ sin (1) . b. En déduire la limite de (y

n

) quand n tend vers l’infini.

FIN des exercices du cours n°1

Résultats :

Premier exercice : 1. π 2. −2 π 3. 1 4. -2+e 5. − 3

4 +2ln2 6. - 7 9 + 8

3 ln2 .

Deuxième exercice : 1. 1+xln(x)-x 2. -2 + xln

²

x – 2xlnx +2x 3. 6 + xln

³

x – 3xln

²

x + 6xlnx – 6x. 4. 1

8 (e

²

– e

^2x

+ 2e

^2x

– 6x

²

e

^2x

+ 4x

³

e

^2x

) .

Troisième exercice : 1. e

²

– 3 2. Réponse donnée (Indic : r…) 3. Réponse donnée (Indic : ipp) 4. Réponse donnée (Indic : r…) 5.a. 2

n+1 , et réponse donnée. 5.b.

Réponse donnée (Indic : r…) 5.c. Réponse donnée (Indic : théor. Des ….) 6. 0 7.

Réponse donnée.

Quatrième exercice : 1.a. Par 0. 1.b. Décroissante (Indic : par différence) 1.c.

Convergente 2.a. Réponse donnée 2.b. 0 3.a. Réponse donnée. 3.b. 0.

(12)

Activité d’approche n°2

1. On se propose de calculer I = ∫

e e²

ln ( t )

t + t ( ln ( t ) )

²

^dt en utilisant un « changement de variable ». Pour cela, on pose la nouvelle fonction u(t) = e

^t

a. Si u(t)=e (première borne de l’intégrale), que vaut t ? Et si u(t)=e

²

?

...

b. Calculer la dérivée de u (par rapport à t , donc).

...

c. Rappel : la dérivée par rapport à t de la fonction u se note u’(t) , mais aussi du dt .

En déduire par quoi on peut remplacer « dt » dans l’intégrale, en fonction de

« du ».

...

d. En déduire que I = ∫

1

2

u

1+ u

²

du .

...

/;

e. Calculer I .

...

(13)

...

2. La démonstration. Soit I = ∫

a b

f ( t ) dt , où f est une fonction continue, u une fonction dérivable, c et d deux nombres tels que u(a)=c et u(b)=d .

Soit F une primitive de f .

a. Calculer la dérivée de F(u(x)) .

...

b. En déduire que ∫

a b

f ( u ( t ) ) u ’ ( t ) dt = ∫

u

(

a

)

u

(

b

)

f ( t ) dt .

...

Remarque : dans la pratique, il faut donc trouver a et b de façon que u(a) et u(b)

soient égales aux bornes de l’intégrale de départ (cf la question 1)

Fin de l’activité d’approche n°2

Cours n°2 : Intégration par changement de variables

C18.b - Niv1 - Savoir appliquer la technique de changement de variable.

Théorème n°1

Soit ϕ une fonction dérivable et de dérivée continue sur un intervalle [a;b].

Soit f une fonction continue sur un intervalle contenant l’image de l’intervalle [a;b]

par ϕ

Alors, pour tout couple c et d de l’intervalle [a;b] , on a :

(14)

∫

c d

f [ ^{ϕ (} ^u ⁾ ] ^ϕ ^' ⁽ ^u ⁾ ^du ⁼ ∫

...

f ( t ) dt

Démonstration : cf activité 2.

Exemple n°1 :

1. Démontrer que sin

²

t = 1 – cos

²

t .

...

2. Calculer I = ∫

0 1

√ ¹ ^{– t}

²

^dt

...

(15)

FIN du cours n°2

Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester C18.2

Objectifs.

C18.b - Niv1 - Savoir utiliser le changement de 1 2 3 4 (Ex.1 du Setester du cours n°2) , Exercice n°9

;

a. Montrer que x 9 x +1 = 1

9 ( ¹ ^– ^x ⁺ ¹ ⁹ ¹ ⁹ )

...

b. Calculer ∫

1 8

e

²^t

9 e

^t

+ 1 dt

...

(16)

...

(

Ex.2 du Setester du cours n°2), Exercice n°10

Calculer ∫

1 4

x

²

x+8 dt

...

(17)

...

(18)

Résultats

Ex1 : a. Réponse donnée. b. 1

9 ( e

⁸

– e ) + 1

81 ln ( 9 ^9e+1 e

⁸

+1 )

Ex2 : 71

2 + 64 ln ( ⁴ 7 )

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester C18.2

Objectifs.

C18.b - Niv1 - Savoir utiliser le changement de 1 2 3 4 (

Ex.1 du Setester du cours n°2), Exercice n°11

;

a. Montrer que x 8 x+1 = 1

8 ( ¹ ^– ^x ⁺ ¹ ⁸ ¹ ⁸ )

...

b. Calculer ∫

1 2

e

²^t

8 e

^t

+1 dt

...

(19)

...

(

Ex.2 du Setester du cours n°2), Exercice n°12

Calculer ∫

1 2

x

²

x+9 dt

...

(20)

...

(21)

Résultats

Ex1 : a. Réponse donnée. b. 1

8 ( e

²

– e ) + 1

64 ln ( 8 ^8e+1 e

²

+1 )

Ex2 : 15 +81 ln ( ⁷ 8 )

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2

Interrogation n°2

Objectif : C18.b - Niv1 - Savoir appliquer la technique de changement de variable.

Exercices du cours n°2 (Cours n°2) - Exercice n°13

a. Simplifier F =2 – 2 1 1+ y ^.

b. Calculer ∫

0

1

1 1+ √ t dt

(Cours n°2) - Exercice n°14

Calculer ∫

0

1

1 t ( 1+ln ( t ) ) ^dt

(Cours n°2) - Exercice n°15

a. Simplifier 1 y−1 ^–

1 y +1 ^.

b. Calculer ∫

ln 3 3 ln 2

1 √ ^1+e

^x

(Cours n°2) - Exercice n°16

Calculer une primitive de f ( x ) = 1 cos ( x )

FIN des exercices du cours n°2 Résultats :

Premier exercice : 2 ( ¹ ^– ^ln ( 2) ) ^.

Deuxième exercice : ln ( 2 ) . Troisième exercice : ln ( ³ 2 ) ^.

Quatrième exercice : 1

2 ln ( 1−sin ¹⁺ ^sin ⁽ ( ^x x ⁾ ) ) ^.

Cours n°3 : volume d’un solide de révolution.

(22)

Définition n°1

Un solide de révolution est un solide engendré par la ………. d’une surface de révolution.

Une surface de révolution est une surface engendrée par la ……….. d’une courbe (la directrice) autour d’un ………...

Propriété n°1

Si l’axe (Oz) est l’axe de révolution, le volume V d’un solide de révolution vaut :

V = ∫

a b

… … .. dz où ….. est l’aire de la surface à la cote z .

Exemple n°1

Démontrer la formule du volume d’une boule.

...

(23)

...

Exemple n°2

Démontrer la formule du volume d’un cône.

...

FIN du cours n°3

(Cours n°2) - Exercice n°17

Un tore est un solide qui a la forme d’une « chambre à air ». Il est caractérisé par d et

par R comme indiqué ci-dessous :

(24)

a. Déterminer S(z) en fonction de d et r(z) , où r(z) est le rayon à la cote z :

b. Montrer que le volume d’un tore vaut 2 π²R²d .

(25)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Objectifs du chapitre :

Chap. n°18 : Intégration, partie 3.