Chapitre n°7 : Logarithme népérien Objectifs du chapitre :
Savoirs et savoir-faire :
C7.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.
C7.b - Niv1 - Savoir résoudre des équations et inéquations comportant des exponentielles et/ou du logarithme.
C7.c - Niv1 - Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.
C7.d - Niv1 - Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.
C7.e - Niv1 - Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.
Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction logarithme népérien
1. Démontrer que, quelque soit le nombre réel strictement positif k choisi, l'équation
ex=k admet toujours une unique solution.
...
...
...
...
...
...
2. Résoudre l'équation dans les cas suivants : a. k = 1
...
...
...
b. k = e.
...
...
...
c. k = 1 e
...
...
...
3. Déterminer une valeur approchée au centième près de la solution pour k=2.
...
...
...
...
...
...
4. On appelle logarithme népérien de k, noté ln k, l'unique solution de ex=k. Calculer ln(1), ln(e), et ln(
(
1e)
....
...
...
5. Soient k1 et k2 deux réels positifs. Soient x1=ln k1 et x2=lnk2 les solutions respectives de ex=k1 et de ex=k2. Démontrer que ln k1 + ln k2 = ln (k1 × k2).
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède les valeur de ln
(
en)
où n est un entier relatif non nul....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
FIN de l’activité n°1
Cours n°1 : Définition et premières propriétés
C7.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.
Définition n°1 :
On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k l'unique solution d'inconnue x de l'équation …....
On note cette solution lnk.
{
y=k>ln0k équivaut à …...Remarque :
On dit que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Propriété n°1 : propriétés de ln
1. Soit a et b deux nombres positifs. Alors ln (a×b) = ...
2. Soit a et b deux nombres positifs, b ≠ 0. Alors ln
(
ab)
=...3. ln 1 = …… ; ln e = …… ; Pour tout entier relatif n non nul, ln
(
en)
= ……4. Soit a un nombre positif et n un entier relatif différent de 0, ln(an) =.…………..
5.Soit a un nombre positif ln
√
a = ……….Démonstration :
Pour le 1 et le 3, cf activité d'approche précédente.
Pour le 2. :
ln
(
ab)
=ln(
a×1b)
=... + …... = …... + …... = …... – …...Pour le 4. : Par récurrence :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Pour le 5. :
ln a = ln
(
(√
a¿)2)
=... ln√
(a) donc : ………Exemple n°1 :
On pose ln2=a et ln3=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
a.ln6 :
...
...
b.ln9 :
...
...
c.ln 2 3 :
...
d. ln 1 12
...
...
e. ln72 :
...
f.e-n²+ln(2e) :
...
g.ln
(
32e2)
:...
FIN du cours n°1
Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester n°1
C7.1 (/7)
Objectifs :
C7.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.
1 - 2 - 3
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°15
Donner la dérivée de e−x :
……….
Fin du savoir n°15 (Se Tester n°1) - Exercice n°1 [/7]
On pose ln 9=a et ln 12=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
ln 9
12 ; ln(9e) ; ln 108 ; ln 144 ; ln9721 ; ln1212e2 ; ln 1296
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats ou indices
Dans le désordre :
−2a – b ; 2b ; a+2b ; a+1 ; a – b ; a+b ; b – a+2
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester n°1 C7.1 (/7)
Objectifs :
C7.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.
1 - 2 - 3
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°10
f est une fonction. Donner la dérivée de ¿
√
f :………..
Fin du savoir n°10 (Se Tester n°1) - Exercice n°2 [/7]
On pose ln 4=a et ln 6=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :
ln 144 ; ln 36 ; ln 6e2
6 ; ln 1
96 ; ln 4
6 ; ln(4e) ; ln 24
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats ou indices
Dans le désordre :
a+2b ; a – b ; b – a+2 ; a+1 ; 2b ; a+b ; −2a – b
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1
Interrogation n°1
Objectif : C.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.
(Cours n°1) - Exercice n°3
Ex.20 p.145
Résultat ( dans le désordre ) :
–ln2 ; 6ln2 + 3 ; 5ln2 + 1 ; 4ln2 ; 5
2 ln2 ; 1 – ln2 ; 2 – 2ln2 ; 3ln2 . (Cours n°1) - Exercice n°4
Ex.22 p.145
Résultat ( dans le désordre ) :
ln5 ; ln4 ; ln (3e2) ; ln2.
Activité d'approche n°2 : Représentation graphique de la fonction logarithme népérien
1. Construire ci-dessous dans un même repère la représentation graphique de la fonction exponentielle et la représentation graphique de la fonction logarithme.
2. Tracer dans ce repère la droite d'équation y = x. Que constate-t-on ?
...
...
FIN de l’activité n°2
Cours n°2 : logarithme et équations
C7.b - Niv1 - Savoir résoudre des équations et inéquations comportant des exponentielles et/ou du logarithme.
Propriété n°1 : domaine de définition, relations avec exp 1.La fonction ln est définie et continue sur …....
2. Pour tout réel x positif, eln x= …... 3. Pour tout réel x, ln (ex )= …...
Démonstration :
Ces propriétés découlent de la définition.
Propriété n°2 : dérivée de ln
La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)'= ...
...
Démonstration :
1. Rappeler quelle est la dérivée de f(u(x)) si f est une fonction dérivable quelconque :
...
2. En dérivant la relation eln x=... par rapport à x, exprimer (lnx)' en fonction de x : ...
...
...
...
...
Propriété n°3 : variations de ln
La fonction ln est strictement …... sur ]0;+∞[.
Démonstration :
Conséquence du signe de la dérivée.
Propriété n°4 : ln, équations et inéquations Pour tous réels a et b strictement positifs :
1. Les deux égalités suivantes sont équivalentes : a = b et ……….
2. Les deux inégalités suivantes sont équivalentes : a < b et………. Démonstration :
La fonction ln est une bijection (l'antécédent d'un nombre y par ln est un nombre unique x), et est croissante.
Exemple n°1 :
Résoudre l'équation suivante : ln x + ln(x + 8) = 2 ln3
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°2 :
Résoudre 0,7n ≤ 10-3 pour n ∈ N.
...
...
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...
Exemple n°3 :
Résoudre 4ex – 7 = 5.
...
...
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...
...
...
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Exemple n°4 : Résoudre e2x-1 = 3.
...
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Exemple n°5 :
Résoudre ln(1 – x) = 2.
...
...
...
...
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Exemple n°6 :
Résoudre 2ln²x + 5lnx – 18 = 0.
...
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Exemple n°7 :
Résoudre ln(5 – x) ⩽ –2.
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Exemple n°8 :
Résoudre ln(1 + x) ln(3 – 2x).
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Exemple n°9 :
Résoudre ln(1 + ex) > 0.
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FIN du cours n°2
Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester n°2 C7.2 (/9)
Objectifs :
Niveau 1 2 3
C7.b 1 savoir résoudre des équations et inéquations
comportant des exponentielles et/ou du logarithme.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°14
Compléter :
1. ea× eb = ………..
2. ea
eb = ……….
Fin du savoir n°14 (Se Tester n°2) - Exercice n°5 [/1]
Résoudre l'équation suivante : lnx+ln(x+6)=2 ln 3
...
...
...
...
...
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...
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...
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...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°6 [/1]
Résoudre 0,2n ≤ 10-6 pour n ∈ N.
...
...
...
...
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...
(Se Tester n°2) - Exercice n°7 [/1]
Résoudre 6ex – 7 = 4.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°8 [/1]
Résoudre e 8x-6 = 5.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°9 [/1]
Résoudreln(8– x)=2.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°10 [/1]
Résoudre8 ln ²x+8lnx+ 3 2=0.
...
...
...
...
...
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...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°11 [/1]
Résoudre ln(5 – x) ≤ –6.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°12 [/1]
Résoudre ln(6 + x) ≥ ln(4 – 6x).
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°13 [/1]
Résoudre ln(-5 + ex) > 0.
...
...
...
...
...
...
Résultats et indices
Premier exercice du se tester : −6+
√
722
Deuxième exercice du se tester : Tous les entiers supérieurs à −6 ln(10) ln(0 ,2)
Troisième exercice du se tester : ln
(
116)
Quatrième exercice du se tester : ln(5)+6 8
Cinquième exercice du se tester : 8– e2
Sixième exercice du se tester : e
(
−14)
et e(
−34)
Septième exercice du se tester :
[
5−e−6;5[
Huitième exercice du se tester :
]
0;23[
Neuvième exercice du se tester :
]
ln(6);+∞[
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester n°2 C7.2 (/9)
Objectifs :
Niveau 1 2 3
C7.b 1 savoir résoudre des équations et inéquations
comportant des exponentielles et/ou du logarithme.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°12
f est une fonction, g est une fonction. Donner la dérivée de f
(
g(x))
:………..
Fin du savoir n°12 (Se Tester n°2) - Exercice n°14 [/1]
Résoudre l'équation suivante : lnx+ln(x+7)=3 ln 3
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°15 [/1]
Résoudre 0,2n ≤ 10-7 pour n ∈ N.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°16 [/1]
Résoudre 3e – 7 = 4.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°17 [/1]
Résoudre e 4x-2 = 9.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°18 [/1]
Résoudreln(8– x)=8.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°19 [/1]
Résoudre5 ln ²x+7lnx+ 9 4=0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°20 [/1]
Résoudre ln(7 – x) ≤ –5.
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°21 [/1]
Résoudre ln(4 + x) ≥ ln(1 – 7x).
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°2) - Exercice n°22 [/1]
Résoudre ln(-8 + ex) > 0.
...
...
...
...
...
...
Résultats et indices
Premier exercice du se tester : −7+
√
1572
Deuxième exercice du se tester : Tous les entiers supérieurs à −7 ln(10) ln(0 ,2)
Troisième exercice du se tester : ln
(
113)
Quatrième exercice du se tester : ln(9)+2 4
Cinquième exercice du se tester : 8– e8
Sixième exercice du se tester : e
(
−12)
et e(
−109)
Septième exercice du se tester :
[
7−e−5;7[
Huitième exercice du se tester :
]
32;17[
Neuvième exercice du se tester :
]
ln(9);+∞[
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2
Interrogation n°2
Objectif : C.b - Niv1 - Savoir additionner, multiplier, et diviser des fractions numériques.
(Cours n°2) - Exercice n°23*
Ex.6 p.144
Résultats ( dans le désordre ) :
S=
{
71e}
; S={ √
e}
; S={
e53}
; S={1}(Cours n°2) - Exercice n°24*
Ex.26 p.145
Résultats :
a. S={(2;2)} b. S={(2;3);(3;2)}
(Cours n°2) - Exercice n°25*
Ex.15 p.144
Résultats :
1. R 2. x ∈]–1;1[ et S=
]
−1 ;−12[
3. x ∈]–7;7[ et S=]–5;5[ 4. x ∈]
−12 ;3[
et S=¿ ¿
Cours n°3 : logarithme et limites
C7.c - Niv1 - Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.
Propriété n°1 : limites en + ∞ et 0+ 1. lim
x→+∞ln(x)=...
2. lim
x→0
x>0
ln(x)=...
Démonstration :
1. Soit A un nombre positif quelconque. Alors, si x>eA, lnx>.... Donc lim
x→+∞ln(x)=...
2. lnx = (–1)×(–1)×ln(x) = (–1)×ln
(
1x)
.lim
x→0
x>0
1
x=... et lim
X→+∞ln(X)=... , donc lim
x→0
x>0
ln
(
1x)
=... , donc limx→0x>0
−1×ln
(
1x)
=... ,donc lim
x→0
x>0
ln(x)=... .
Propriété n°2 : limites particulières 1. lim
x→+∞
ln(x) x =...
2. lim
x→0
x>0
xln(x)=...
3. lim
x→0
x>0
ln(1+x) x =... Démonstration :
1. lnx
x = lnx
e... = 1 ...
...
. Or, lim
x→+∞ln(x)=... et lim
X→+∞
eX
X =... donc lim
X→+∞
1 eX
X
=...
lim
x→+∞
ln(x) x =... 2. lim
x→0
x>0
xln(x) = lim
X→+∞
1
X ln
(
X1)
= – Xlim→+∞ln(X) X =....
3. ln(1+x)
x =ln(1+x)−...
1+x−... et la fonction ln est dérivable en 1. Donc
lim
x→0
x>0
ln(1+x)
x =...'(1)=...
Exemple n°1 :
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
a. La fonction f définie sur ]0;1[ par f (x)=x+3 lnx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
b. La fonction f définie sur ]0;+∞[ par f (x)=x−lnx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
FIN du cours n°3
Premier ‘Se tester’ du cours n°3 : Se tester n°3
C7.3 (/8 )
Objectifs :
Niveau 1 2 3
C7.c 1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un
logarithme népérien.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°21
Compléter :
f est une fonction. Donner la dérivée de ef :
………..
Fin du savoir n°21 ( S e Tester n°3 ) - Exercice n°26[/5]
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
Soit f la fonction définie par f(x) = −7x+5 lnx .
a. Donner son ensemble de définition, en justifiant.
...
...
...
...
...
b. Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(S
e Tester n°3) - Exercice n°27 [/2]
La fonction f est définie sur ]0;+∞[ par f(x)=lnx –4x . Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
( S e Tester n°3) - E xercice n°28[/1]
Soit f la fonction définie par f(x)=ln
(
(x+1)8)
x . Déterminer la limite en 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
Indices et résultats
Premier exercice du se tester : a. ℝ*+ ; b. en 0 : 0 ; en + ∞ : - ∞ . Deuxième exercice du se tester : en 0 : - ∞ ; en + ∞ : - ∞ .
Troisième exercice du se tester : 8
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°3
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 : Se tester n°3 C7.3 (/8 )
Objectifs :
Niveau 1 2 3
C7.c 1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un
logarithme népérien.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°1
Donner le résultat de (il peut y avoir des formes indéterminées) : 1. + ∞× + ∞ = ………...
2. + ∞× 0 = ………
3. a ∈ ℝ+ , + ∞×a = ………...
Fin du savoir n°1 ( S e Tester n°3 ) - Exercice n°29[/5]
Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
Soit f la fonction définie par f(x) = 9x−9 lnx .
a. Donner son ensemble de définition, en justifiant.
...
...
...
...
...
b. Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(S
e Tester n°3) - Exercice n°30 [/2]
La fonction f est définie sur ]0;+∞[ par f(x)=5x –lnx . Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
( S e Tester n°3) - E xercice n°31[/1]
Soit f la fonction définie par f(x)=ln
(
(x+1)3)
x . Déterminer la limite en 0.
...
...
...
...
...
...
...
...
Indices et résultats
Premier exercice du se tester : a. ℝ*+ ; b. en 0 : 0 ; en + ∞ : + ∞ . Deuxième exercice du se tester : en 0 : + ∞ ; en + ∞ : + ∞ .
Troisième exercice du se tester : 3
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3
Interrogation n°3
Objectif : C7.c - Niv1 - Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.
(Cours n°3) - Exercice n°32*
Ex.14 p.144
Résultats :
1.x ∈]0;+ ∞[ et S=
]
0 ;e3]
2. S=[3;4[ 3. S=[
23; 32[
4. S=] – ∞ ; –3] U [3;+ ∞[.(Cours n°3) - Exercice n°33**
Ex.17 p.144
Résultats :
f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[. g est croissante sur ]0;+∞[. h est décroissante sur
]
0 ;e1]
et croissante sur]
e1;+∞]
.(Cours n°3) - Exercice n°34*
Ex.33 p.145
Résultats :
a. –∞ b. +∞ c. +∞ d. +∞ .
(Cours n°3) - Exercice n°35*
Ex.56 p.147
Résultats :
1. u(x)<0 si 0<x<e, u(x)>0 si x>e. 2.b. f est décroissante si 0<x<e, f est croissante si x>e.
(Cours n°3) - Exercice n°36*
Ex.59 p.147
Résultats : /
(Cours n°3) - Exercice n°37*
Ex.81 p.149
Résultats :
lim
x→0+
f (x) =0 et lim
x→e-
f (x) = –∞. La deuxième égalité donne une asymptote verticale d'équation x=e.
(Cours n°3) - Exercice n°38***
Sujet C p.157
Résultats :
1. f est strictement croissante sur ]1;+∞[ 2. –∞ et +∞.
(Cours n°3) - Exercice n°39***
Sujet B p.157
Résultats :
1. V 2. F 3. F 4. F 5. V 6. V .
Cours n°4 : logarithme de fonctions, logarithme décimal
C7.d - Niv1 - Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.
C7.e - Niv1 - Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.
Propriété n°1 : dérivée de ln(u(x))
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. On considère la fontion g définie par g(x)=ln(u(x)).
Alors g est dérivable et g'(x)= ...
...
Exemple n°1 :
Soit g la fonction définie par g(x)=ln(2x² – 1)
Calculer g'(x)
...
...
...
...
...
...
Définition n°1 : logarithme décimal
On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par log(x)= …… …..
… ……….
Remarque :
Cette fonction possède les mêmes propriétés que le logarithme népérien (seule différence : log(e)≠1).
Exemple n°2 : Calculer log(10n) :
...
...
...
FIN du cours n°4
Premier ‘Se tester’ du cours n°4 : Se tester n°4 C7.4 (/4)
Objectifs :
Niveau 1 2 3
C7.d 1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée
comportant un logarithme népérien.
C7.e 1 Savoir transformer un logarithme décimal en un
logarithme népérien.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°9
f est une fonction. Donner la dérivée de fn :
………..
Fin du savoir n°9
(Se Tester n°4) - Exercice n°40 [/3]
Soit g la fonction définie par g(x)=ln(3x² +4x – 4) Calculer g'(x)
...
...
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°4) - Exercice n°41 [/1]
Calculer log
(
2n)
:...
...
...
...
...
...
Indices et résultats
Ex.1 : 6x+4 3x2+4x−4
Ex.2 : nln 2 ln 10
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°4
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4 : Se tester n°4 C7.4 (/4)
Objectifs :
Niveau 1 2 3
C7.d 1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée
comportant un logarithme népérien.
C7.e 1 Savoir transformer un logarithme décimal en un
logarithme népérien.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°18
Compléter :
xlim→+∞
x
ex = …………
Fin du savoir n°18
(Se Tester n°4) - Exercice n°42 [/3]
Soit g la fonction définie par g(x)=ln(9x² +2x – 3) Calculer g'(x)
...
...
...
...
...
...
...
...
(Se Tester n°4) - Exercice n°43 [/1]
Calculer log
(
5n)
:...
...
...
...
...
Indices et résultats
Ex.1 : 18x+2 9x2+2x−3
Ex.2 : nln 5 ln 10
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4
Interrogation n°4
Objectif : C7.d - Niv1 - Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.
Objectif : C7.e - Niv1 - Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.
(Cours n°4) - Exercice n°44*
Ex.84 p.149
Résultats :
…. u prend pour valeur 2+log(u)...
(Cours n°4) - Exercice n°45*
Ex.91 p.149
Résultats :
1. +∞ 2. f est décroissante sur
]
−∞;−32]
et croissante sur]
−23;+∞]
minimum=−11 4 .
(Cours n°4) - Exercice n°46*
Ex.95 p.149
Résultats :
Dans le désordre : 2x – 2
1+2x ; 1+
2x x2+1 ;
2x –3 x2−3x+1 ;
6 x+2x
(Cours n°4) - Exercice n°47***
Sujet A p.157
Résultats :
1. f est strictement croissante sur [0;+ ∞[ 2.a. g est strictement décroissante sur ]0;+
∞[ 3.b..
(Cours n°4) - Exercice n°48***
Ex.128 p.159
Résultats :
1.a. f '(x)=2a(lnx)2 + 2(2a+b)lnx + 2(b + c). b. 0;0;4 2.b et c.
(Cours n°4) - Exercice n°49***
Ex.135 p.161
Résultats :
1. –∞ 2.b. –∞ 5. Si k>e
2 , l'équation fk(x)=0 n'a pas de solution. Si k=e
2 , l'équation fk(x)=0 n'a une solution x= 1
√
2k . Si k<e
2 , l'équation fk(x)=0 a deux solutions. 6.
k=1 2 .