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Objectifs du chapitre :Savoirs et savoir-faire

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Academic year: 2022

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(1)

Chapitre n°7 : Logarithme népérien Objectifs du chapitre :

Savoirs et savoir-faire :

C7.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.

C7.b - Niv1 - Savoir résoudre des équations et inéquations comportant des exponentielles et/ou du logarithme.

C7.c - Niv1 - Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.

C7.d - Niv1 - Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.

C7.e - Niv1 - Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.

Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction logarithme népérien

1. Démontrer que, quelque soit le nombre réel strictement positif k choisi, l'équation

ex=k admet toujours une unique solution.

...

...

...

...

...

...

2. Résoudre l'équation dans les cas suivants : a. k = 1

...

...

...

b. k = e.

...

...

...

c. k = 1 e

...

...

...

3. Déterminer une valeur approchée au centième près de la solution pour k=2.

...

...

...

...

...

...

4. On appelle logarithme népérien de k, noté ln k, l'unique solution de ex=k. Calculer ln(1), ln(e), et ln(

(

1e

)

.

...

...

...

(2)

5. Soient k1 et k2 deux réels positifs. Soient x1=ln k1 et x2=lnk2 les solutions respectives de ex=k1 et de ex=k2. Démontrer que ln k1 + ln k2 = ln (k1 × k2).

...

...

...

...

...

...

...

...

6. Déduire de ce qui précède les valeur de ln

(

en

)

n est un entier relatif non nul.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

FIN de l’activité n°1

Cours n°1 : Définition et premières propriétés

C7.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.

Définition n°1 :

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif k l'unique solution d'inconnue x de l'équation …....

On note cette solution lnk.

{

y=k>ln0k équivaut à …...

Remarque   :

On dit que la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Propriété n°1 : propriétés de ln

1. Soit a et b deux nombres positifs. Alors ln (a×b) = ...

2. Soit a et b deux nombres positifs, b ≠ 0. Alors ln

(

ab

)

=...

3. ln 1 = …… ; ln e = …… ; Pour tout entier relatif n non nul, ln

(

en

)

= ……

4. Soit a un nombre positif et n un entier relatif différent de 0, ln(an) =.…………..

5.Soit a un nombre positif ln

a = ……….

(3)

Démonstration   :

Pour le 1 et le 3, cf activité d'approche précédente.

Pour le 2. :

ln

(

ab

)

=ln

(

a×1b

)

=... + …... = …... + …... = …... – …...

Pour le 4. : Par récurrence :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

Pour le 5. :

ln a = ln

(

(

a¿)2

)

=... ln

(a) donc : ………

Exemple n°1 :

On pose ln2=a et ln3=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :

a.ln6 :

...

...

b.ln9 :

...

...

c.ln 2 3 :

...

d. ln 1 12

...

...

e. ln72 :

...

f.e-n²+ln(2e) :

...

g.ln

(

32e2

)

:

...

FIN du cours n°1

Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester n°1

C7.1 (/7)

(4)

Objectifs   :

C7.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.

1 - 2 - 3

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :

Savoir n°15

Donner la dérivée de e−x :

……….

Fin du savoir n°15 (Se Tester n°1) - Exercice n°1 [/7]

On pose ln 9=a et ln 12=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :

ln 9

12 ; ln(9e) ; ln 108 ; ln 144 ; ln9721 ; ln1212e2 ; ln 1296

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(5)

Résultats ou indices

Dans le désordre :

−2a – b  ; 2b  ; a+2b  ; a+1  ; a – b  ; a+b  ; b – a+2

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : Se tester n°1 C7.1 (/7)

Objectifs   :

C7.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.

1 - 2 - 3

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :

Savoir n°10

f est une fonction. Donner la dérivée de ¿

f :

………..

Fin du savoir n°10 (Se Tester n°1) - Exercice n°2 [/7]

On pose ln 4=a et ln 6=b. Exprimer en fonction de a et b chacun des nombres suivants :

ln 144 ; ln 36 ; ln 6e2

6 ; ln 1

96 ; ln 4

6 ; ln(4e) ; ln 24

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(6)
(7)

Résultats ou indices

Dans le désordre :

a+2b ; a – b  ; b – a+2 ; a+1  ; 2b  ; a+b ; −2a – b

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1

Interrogation n°1

Objectif : C.a - Niv1 - Savoir utiliser la définition du logarithme népérien et ses propriétés.

(Cours n°1) - Exercice n°3

Ex.20 p.145

Résultat ( dans le désordre ) :

–ln2 ; 6ln2 + 3 ; 5ln2 + 1 ; 4ln2 ; 5

2 ln2 ; 1 – ln2 ; 2 – 2ln2 ; 3ln2 . (Cours n°1) - Exercice n°4

Ex.22 p.145

Résultat ( dans le désordre ) :

ln5 ; ln4 ; ln (3e2) ; ln2.

Activité d'approche n°2 : Représentation graphique de la fonction logarithme népérien

1. Construire ci-dessous dans un même repère la représentation graphique de la fonction exponentielle et la représentation graphique de la fonction logarithme.

2. Tracer dans ce repère la droite d'équation y = x. Que constate-t-on ?

...

...

FIN de l’activité n°2

Cours n°2 : logarithme et équations

C7.b - Niv1 - Savoir résoudre des équations et inéquations comportant des exponentielles et/ou du logarithme.

Propriété n°1 : domaine de définition, relations avec exp 1.La fonction ln est définie et continue sur …....

2. Pour tout réel x positif, eln x= …... 3. Pour tout réel x, ln (ex )= …...

Démonstration :

Ces propriétés découlent de la définition.

Propriété n°2 : dérivée de ln

La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)'= ...

...

Démonstration :

(8)

1. Rappeler quelle est la dérivée de f(u(x)) si f est une fonction dérivable quelconque :

...

2. En dérivant la relation eln x=... par rapport à x, exprimer (lnx)' en fonction de x : ...

...

...

...

...

Propriété n°3 : variations de ln

La fonction ln est strictement …... sur ]0;+∞[.

Démonstration :

Conséquence du signe de la dérivée.

Propriété n°4 : ln, équations et inéquations Pour tous réels a et b strictement positifs :

1. Les deux égalités suivantes sont équivalentes : a = b et ……….

2. Les deux inégalités suivantes sont équivalentes : a < b et………. Démonstration :

La fonction ln est une bijection (l'antécédent d'un nombre y par ln est un nombre unique x), et est croissante.

Exemple n°1 :

Résoudre l'équation suivante : ln x + ln(x + 8) = 2 ln3

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°2 :

Résoudre 0,7n ≤ 10-3 pour n ∈ N.

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°3 :

Résoudre 4ex – 7 = 5.

...

...

...

...

...

(9)

...

...

...

Exemple n°4 : Résoudre e2x-1 = 3.

...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°5 :

Résoudre ln(1 – x) = 2.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°6 :

Résoudre 2ln²x + 5lnx – 18 = 0.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(10)

...

...

...

...

Exemple n°7 :

Résoudre ln(5 – x) ⩽ –2.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°8 :

Résoudre ln(1 + x)  ln(3 – 2x).

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°9 :

Résoudre ln(1 + ex) > 0.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(11)

...

...

...

...

...

...

...

FIN du cours n°2

Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester n°2 C7.2 (/9)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3

C7.b 1 savoir résoudre des équations et inéquations

comportant des exponentielles et/ou du logarithme.

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :

Savoir n°14

Compléter :

1. ea× eb = ………..

2. ea

eb = ……….

Fin du savoir n°14 (Se Tester n°2) - Exercice n°5 [/1]

Résoudre l'équation suivante : lnx+ln(x+6)=2 ln 3

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°6 [/1]

Résoudre 0,2n ≤ 10-6 pour n ∈ N.

...

...

(12)

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°7 [/1]

Résoudre 6ex – 7 = 4.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°8 [/1]

Résoudre e 8x-6 = 5.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°9 [/1]

Résoudreln(8– x)=2.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°10 [/1]

Résoudre8 ln ²x+8lnx+ 3 2=0.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(13)

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°11 [/1]

Résoudre ln(5 – x) –6.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°12 [/1]

Résoudre ln(6 + x) ln(4 – 6x).

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°13 [/1]

Résoudre ln(-5 + ex) > 0.

...

...

...

...

...

...

Résultats et indices

Premier exercice du se tester : −6+

72

2

Deuxième exercice du se tester : Tous les entiers supérieurs à −6 ln(10) ln(0 ,2)

Troisième exercice du se tester : ln

(

116

)

Quatrième exercice du se tester : ln(5)+6 8

Cinquième exercice du se tester : 8– e2

Sixième exercice du se tester : e

(

14

)

et e

(

34

)

Septième exercice du se tester :

[

5−e−6;5

[

(14)

Huitième exercice du se tester :

]

0;23

[

Neuvième exercice du se tester :

]

ln(6);+

[

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : Se tester n°2 C7.2 (/9)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3

C7.b 1 savoir résoudre des équations et inéquations

comportant des exponentielles et/ou du logarithme.

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :

Savoir n°12

f est une fonction, g est une fonction. Donner la dérivée de f

(

g(x)

)

:

………..

Fin du savoir n°12 (Se Tester n°2) - Exercice n°14 [/1]

Résoudre l'équation suivante : lnx+ln(x+7)=3 ln 3

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°15 [/1]

Résoudre 0,2n ≤ 10-7 pour n ∈ N.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°16 [/1]

(15)

Résoudre 3e – 7 = 4.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°17 [/1]

Résoudre e 4x-2 = 9.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°18 [/1]

Résoudreln(8– x)=8.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°19 [/1]

Résoudre5 ln ²x+7lnx+ 9 4=0.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°20 [/1]

(16)

Résoudre ln(7 – x) –5.

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°21 [/1]

Résoudre ln(4 + x) ln(1 – 7x).

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°2) - Exercice n°22 [/1]

Résoudre ln(-8 + ex) > 0.

...

...

...

...

...

...

Résultats et indices

Premier exercice du se tester : −7+

157

2

Deuxième exercice du se tester : Tous les entiers supérieurs à −7 ln(10) ln(0 ,2)

Troisième exercice du se tester : ln

(

113

)

Quatrième exercice du se tester : ln(9)+2 4

Cinquième exercice du se tester : 8– e8

Sixième exercice du se tester : e

(

12

)

et e

(

109

)

Septième exercice du se tester :

[

7−e−5;7

[

Huitième exercice du se tester :

]

32;17

[

Neuvième exercice du se tester :

]

ln(9);+

[

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2

(17)

Interrogation n°2

Objectif : C.b - Niv1 - Savoir additionner, multiplier, et diviser des fractions numériques.

(Cours n°2) - Exercice n°23*

Ex.6 p.144

Résultats ( dans le désordre ) :

S=

{

71e

}

 ; S=

{

e

}

 ; S=

{

e53

}

 ; S={1}

(Cours n°2) - Exercice n°24*

Ex.26 p.145

Résultats :

a. S={(2;2)} b. S={(2;3);(3;2)}

(Cours n°2) - Exercice n°25*

Ex.15 p.144

Résultats :

1. R 2. x ∈]–1;1[ et S=

]

1 ;12

[

3. x ∈]–7;7[ et S=]–5;5[ 4. x ∈

]

−12 ;3

[

et S=

¿ ¿

Cours n°3 : logarithme et limites

C7.c - Niv1 - Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.

Propriété n°1 : limites en + et 0+ 1. lim

x→+∞ln(x)=...

2. lim

x0

x>0

ln(x)=...

Démonstration   :

1. Soit A un nombre positif quelconque. Alors, si x>eA, lnx>.... Donc lim

x→+∞ln(x)=...

2. lnx = (–1)×(–1)×ln(x) = (–1)×ln

(

1x

)

.

lim

x0

x>0

1

x=... et lim

X→+∞ln(X)=... , donc lim

x0

x>0

ln

(

1x

)

=... , donc limx0

x>0

−1×ln

(

1x

)

=... ,

donc lim

x0

x>0

ln(x)=... .

Propriété n°2 : limites particulières 1. lim

x→+∞

ln(x) x =...

(18)

2. lim

x0

x>0

xln(x)=...

3. lim

x0

x>0

ln(1+x) x =... Démonstration   :

1. lnx

x = lnx

e... = 1 ...

...

. Or, lim

x→+∞ln(x)=... et lim

X→+∞

eX

X =... donc lim

X→+∞

1 eX

X

=...

lim

x→+∞

ln(x) x =... 2. lim

x0

x>0

xln(x) = lim

X→+∞

1

X ln

(

X1

)

= – Xlim→+∞

ln(X) X =....

3. ln(1+x)

x =ln(1+x)−...

1+x−... et la fonction ln est dérivable en 1. Donc

lim

x0

x>0

ln(1+x)

x =...'(1)=...

Exemple n°1 :

Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

a. La fonction f définie sur ]0;1[ par f (x)=x+3 lnx .

...

...

...

...

...

...

...

...

...

b. La fonction f définie sur ]0;+∞[ par f (x)=x−lnx .

...

...

...

...

...

...

...

...

...

FIN du cours n°3

Premier ‘Se tester’ du cours n°3 : Se tester n°3

C7.3 (/8 )

(19)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3

C7.c 1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un

logarithme népérien.

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :

Savoir n°21

Compléter :

f est une fonction. Donner la dérivée de ef :

………..

Fin du savoir n°21 ( S e Tester n°3 ) - Exercice n°26[/5]

Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

Soit f la fonction définie par f(x) = −7x+5 lnx .

a. Donner son ensemble de définition, en justifiant.

...

...

...

...

...

b. Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(20)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(S

e Tester n°3) - Exercice n°27 [/2]

La fonction f est définie sur ]0;+∞[ par f(x)=lnx –4x . Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

( S e Tester n°3) - E xercice n°28[/1]

Soit f la fonction définie par f(x)=ln

(

(x+1)8

)

x . Déterminer la limite en 0.

...

...

...

...

(21)

...

...

...

...

(22)

Indices et résultats

Premier exercice du se tester : a. *+ ; b. en 0 : 0 ; en + ∞ : - ∞ . Deuxième exercice du se tester : en 0 : - ∞ ; en + ∞ : - ∞ .

Troisième exercice du se tester : 8

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°3

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 : Se tester n°3 C7.3 (/8 )

Objectifs   :

Niveau 1 2 3

C7.c 1 Savoir calculer les limites de fonctions comportant un

logarithme népérien.

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :

Savoir n°1

Donner le résultat de (il peut y avoir des formes indéterminées) : 1. + ∞× + = ………...

2. + ∞× 0 = ………

3. a + , + ∞×a = ………...

Fin du savoir n°1 ( S e Tester n°3 ) - Exercice n°29[/5]

Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

Soit f la fonction définie par f(x) = 9x−9 lnx .

a. Donner son ensemble de définition, en justifiant.

...

...

...

...

...

b. Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(23)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(S

e Tester n°3) - Exercice n°30 [/2]

La fonction f est définie sur ]0;+∞[ par f(x)=5x –lnx . Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(24)

...

...

...

...

...

...

( S e Tester n°3) - E xercice n°31[/1]

Soit f la fonction définie par f(x)=ln

(

(x+1)3

)

x . Déterminer la limite en 0.

...

...

...

...

...

...

...

...

(25)

Indices et résultats

Premier exercice du se tester : a. *+ ; b. en 0 : 0 ; en + ∞ : + ∞ . Deuxième exercice du se tester : en 0 : + ∞ ; en + ∞ : + ∞ .

Troisième exercice du se tester : 3

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3

Interrogation n°3

Objectif : C7.c - Niv1 - Savoir calculer les limites de fonctions comportant un logarithme népérien.

(Cours n°3) - Exercice n°32*

Ex.14 p.144

Résultats :

1.x ∈]0;+ ∞[ et S=

]

0 ;e3

]

2. S=[3;4[ 3. S=

[

23; 32

[

4. S=] – ∞ ; –3] U [3;+ ∞[.

(Cours n°3) - Exercice n°33**

Ex.17 p.144

Résultats :

f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[. g est croissante sur ]0;+∞[. h est décroissante sur

]

0 ;e1

]

et croissante sur

]

e1;+∞

]

.

(Cours n°3) - Exercice n°34*

Ex.33 p.145

Résultats :

a. –∞ b. +∞ c. +∞ d. +∞ .

(Cours n°3) - Exercice n°35*

Ex.56 p.147

Résultats :

1. u(x)<0 si 0<x<e, u(x)>0 si x>e. 2.b. f est décroissante si 0<x<e, f est croissante si x>e.

(Cours n°3) - Exercice n°36*

Ex.59 p.147

Résultats : /

(Cours n°3) - Exercice n°37*

Ex.81 p.149

Résultats :

lim

x→0+

f (x) =0 et lim

x→e-

f (x) = –∞. La deuxième égalité donne une asymptote verticale d'équation x=e.

(Cours n°3) - Exercice n°38***

Sujet C p.157

Résultats :

1. f est strictement croissante sur ]1;+∞[ 2. –∞ et +∞.

(26)

(Cours n°3) - Exercice n°39***

Sujet B p.157

Résultats :

1. V 2. F 3. F 4. F 5. V 6. V .

Cours n°4 : logarithme de fonctions, logarithme décimal

C7.d - Niv1 - Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.

C7.e - Niv1 - Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.

Propriété n°1 : dérivée de ln(u(x))

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. On considère la fontion g définie par g(x)=ln(u(x)).

Alors g est dérivable et g'(x)= ...

...

Exemple n°1 :

Soit g la fonction définie par g(x)=ln(2x² – 1)

Calculer g'(x)

...

...

...

...

...

...

Définition n°1 : logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0;+∞[ par log(x)= …… …..

… ……….

Remarque   :

Cette fonction possède les mêmes propriétés que le logarithme népérien (seule différence : log(e)≠1).

Exemple n°2 : Calculer log(10n) :

...

...

...

FIN du cours n°4

Premier ‘Se tester’ du cours n°4 : Se tester n°4 C7.4 (/4)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3

C7.d 1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée

comportant un logarithme népérien.

C7.e 1 Savoir transformer un logarithme décimal en un

(27)

logarithme népérien.

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :

Savoir n°9

f est une fonction. Donner la dérivée de fn :

………..

Fin du savoir n°9

(Se Tester n°4) - Exercice n°40 [/3]

Soit g la fonction définie par g(x)=ln(3x² +4x – 4) Calculer g'(x)

...

...

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°4) - Exercice n°41 [/1]

Calculer log

(

2n

)

:

...

...

...

...

...

...

(28)

Indices et résultats

Ex.1 : 6x+4 3x2+4x−4

Ex.2 : nln 2 ln 10

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°4

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4 : Se tester n°4 C7.4 (/4)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3

C7.d 1 Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée

comportant un logarithme népérien.

C7.e 1 Savoir transformer un logarithme décimal en un

logarithme népérien.

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :

Savoir n°18

Compléter :

xlim→+∞

x

ex = …………

Fin du savoir n°18

(Se Tester n°4) - Exercice n°42 [/3]

Soit g la fonction définie par g(x)=ln(9x² +2x – 3) Calculer g'(x)

...

...

...

...

...

...

...

...

(Se Tester n°4) - Exercice n°43 [/1]

Calculer log

(

5n

)

:

...

...

...

...

...

(29)

Indices et résultats

Ex.1 : 18x+2 9x2+2x−3

Ex.2 : nln 5 ln 10

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4

Interrogation n°4

Objectif : C7.d - Niv1 - Savoir calculer la dérivée d'une fonction composée comportant un logarithme népérien.

Objectif : C7.e - Niv1 - Savoir transformer un logarithme décimal en un logarithme népérien.

(Cours n°4) - Exercice n°44*

Ex.84 p.149

Résultats :

…. u prend pour valeur 2+log(u)...

(Cours n°4) - Exercice n°45*

Ex.91 p.149

Résultats :

1. +∞ 2. f est décroissante sur

]

−∞;32

]

et croissante sur

]

23;+∞

]

minimum=

−11 4 .

(Cours n°4) - Exercice n°46*

Ex.95 p.149

Résultats :

Dans le désordre : 2x – 2

1+2x  ; 1+

2x x2+1  ;

2x –3 x2−3x+1  ;

6 x+2x

(Cours n°4) - Exercice n°47***

Sujet A p.157

Résultats :

1. f est strictement croissante sur [0;+ ∞[ 2.a. g est strictement décroissante sur ]0;+

∞[ 3.b..

(Cours n°4) - Exercice n°48***

Ex.128 p.159

Résultats :

1.a. f '(x)=2a(lnx)2 + 2(2a+b)lnx + 2(b + c). b. 0;0;4 2.b et c.

(Cours n°4) - Exercice n°49***

Ex.135 p.161

Résultats :

(30)

1. –∞ 2.b. –∞ 5. Si k>e

2 , l'équation fk(x)=0 n'a pas de solution. Si k=e

2 , l'équation fk(x)=0 n'a une solution x= 1

2k . Si k<

e

2 , l'équation fk(x)=0 a deux solutions. 6.

k=1 2 .

(31)
(32)
(33)

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